勾股定理综合性难题(习题)Word文件下载.doc
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3已知:
如图,∠B=∠D=90°
,∠A=60°
,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
4.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.
解:
OC=1米 (大门宽度一半),
OD=0.8米 (卡车宽度一半)
在Rt△OCD中,由勾股定理得:
CD===0.6米,
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
5、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°
,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
思路点拨:
(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。
(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。
解析:
作AB⊥MN,垂足为B。
在RtΔABP中,∵∠ABP=90°
,∠APB=30°
,AP=160,
∴AB=AP=80。
(在直角三角形中,30°
所对的直角边等于斜边的一半)
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),
由勾股定理得:
BC2=1002-802=3600,∴BC=60。
同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h=5m/s
t=120m÷
5m/s=24s。
答:
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。
6、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.
连接AD.
因为∠BAC=90°
,AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线,
所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°
.
因为∠EDA+∠ADF=90°
. 又因为∠CDF+∠ADF=90°
所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理:
AF=BE=12.
在Rt△AEF中,根据勾股定理得:
,所以EF=13。
总结升华:
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题,我们可以了解:
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
7如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°
,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=45°
。
求证:
DE2=AD2+BE2。
分析:
利用全等三角形的旋转变换,进行边角的全等变换,将边转移到一个三角形中,并构造直角三角形。
8如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部分△AFC的面积是。
设EF=x,那么AF=CF=8-x,AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3,
S=4*8/2-3*4/2=10
答案:
10
9.一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点
C1处,如图,已知长方形长6cm,宽5cm,高3cm。
蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方形
的表面向上爬,它要从A点爬到C1点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着
怎样的路线爬上去,所走的距离最短?
你能帮蜘蛛求出最短距离吗?
10.已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13,△ABC是否是直角三角形?
你能说明理由吗?
是直角三角形。
(平方差公式的灵活运用)
=。
家庭作业:
一、选择题
1.下列说法正确的有()
①△ABC是直角三角形,∠C=90°
,则a2+b2=c2. ②△ABC中,a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形. ③若△ABC中,a2-b2=c2,则△ABC是直角三角形. ④若△ABC是直角三角形,则(a+b)(a-b)=c2. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知Rt△ABC中,∠C=90°
,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
3.已知,如图,一轮船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,则2小时后,两船相距( )
A.35海里 B.40海里 C.45海里 D.50海里
4.如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'
处,BC'
交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题后的横线上.)
5.如图,学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走
“捷径”,在草坪内走出了一条"
路"
.他们仅仅少走了_________
步路(假设2步为1米),却踩伤了青草.
6.如图,圆柱形玻璃容器高20cm,底面圆的周长为48cm,在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇,则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.
7.如果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm,这三条线段恰好能组成一个直角三角形,那么以x为边长的正方形的面积为__________.
8.已知△ABC的三边a、b、c满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|,则△ABC的面积为________.
三、解答题(共6小题,1、2题各10分,3-6题各12分,共68分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
9.如图是一块地,已知AB=8m,BC=6m,∠B=90°
,AD=26m,CD=24m,求这块地的面积.
10.如图,将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中,求细木棒露在盒外面的最短长度是多少?
11.如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,若DA=10km,CB=15km,现要在AB上建一个周转站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则周转站E应建在距A点多远处?
12.如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)AC,再折叠使AB边与AC重合,得折痕AE,若AB=3,AD=4,求BE的长.
13.如图,A、B两个小镇在河流CD的同侧,到河流的距离分别为AC=10km,BD=30km,且CD=30km,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每km3万元,请你在河流CD上选择建水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
14.“交通管理条例”规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置A处正前方30米的C处,过了2秒后,测得小汽车所在位置B处与车速检测仪间距离为50米,这辆小汽车超速了吗?
附加题(10分,不计入总分)
如图,P是矩形ABCD内一点,PA=1,PB=5,PC=7,则PD=_________.
一、1.C2.A3.D4.C
二、5.4 6.30cm 7.260cm或388cm 8.30
三、9.解:
连接AC.……1分
在△ABC中,∵AB=8m,BC=6m,∠B=90°
,
∴由勾股定理,AC2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10.……3分
在△ACD中,AC2+CD2=102+242=676,AD2=676,
∴AC2+CD2=AD2.∴△ACD是直角三角形.……6分
∴……8分
求这块地的面积是96m2.……10分
10.解:
由勾股定理,82+62=102,……3分
102+242=262.……6分
∴30-26=4.……8分
答:
细木棒露在盒外面的最短长度是4cm.……10分
11.解:
设E点建在距A点xkm处.……1分
如图,则AE长xkm,BE长(25-x)km.……2分
∵DA⊥AB,∴△DAE是直角三角形.
由勾股定理,DE2=AD2+AE2=102+x2.……5分
同理,在Rt△CBE中,CB2+BE2=152+(25-x)2.……7分
依题意,102+x2=152+(25-x)2,……9分
解得,x=15.……11分
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- 勾股定理 综合性 难题 习题