含绝对值不等式的解法Word格式.doc
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原不等式等价于
∴即
∴原不等式的解集为{x|-1≤x<或<x≤6}
解法二:
原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集
(Ⅰ)
(Ⅱ)
不等式组(Ⅰ)的解集为{x|<x≤6}
不等式组(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x<}
∴原不等式的解集是{x|-1≤x<或<x≤6}
解法三:
原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集.
(Ⅰ)2<2x-5≤7
(Ⅱ)2<5-2x≤7
不等式(Ⅰ)的解集为{x|<x≤6}
不等式(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x<}
∴原不等式的解集是{x|-1≤x<或<x≤6}.
点评:
含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转
化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三.
[例2]解关于x的不等式:
(1)|2x+3|-1<a(a∈R);
(2)|2x+1|>x+1.
解:
(1)原不等式可化为|2x+3|<a+1
当a+1>0,即a>-1时,由原不等式得-(a+1)<2x+3<a+1
-<x<
当a+1≤0,即a≤-1时,原不等式的解集为,
综上,当a>-1时,原不等式的解集是{x|-<x<
当a≤-1时,原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解
(Ⅰ)或(Ⅱ)
不等式组(Ⅰ)的解为x>0
不等式组(Ⅱ)的解为x<-
∴原不等式的解集为{x|x<-或x>0}
由于无论x取何值,关于x的代数式的绝对值均大于或等于0,即不可能小于0,故|f(x)|<a(a≤0)的解集为.
解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如
(1)对变量分类,解集必须合并如
(2).
[例3]解不等式|x-|2x+1||>1.
∵由|x-|2x+1||>1等价于(x-|2x+1|)>1或x-|2x+1|<-1
(1)由x-|2x+1|>1得|2x+1|<x-1
∴
即均无解
(2)由x-|2x+1|<-1得|2x+1|>x+1
∴或
即,∴x>0或x<-
综上讨论,原不等式的解集为{x|x<-或x>0}.
这是含多重绝对值符号的不等式,可以从“外”向“里”,反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法,去掉绝对值的符号,逐次化解.
【随堂训练】
1.不等式|8-3x|>0的解集是()
A.
B.R
C.{x|x≠,x∈R}
D.{}
答案:
C
2.下列不等式中,解集为R的是()
A.|x+2|>1
B.|x+2|+1>1
C.(x-78)2>-1
D.(x+78)2-1>0
3.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是()
A.{x|-2<x<2
B.{x|0<x≤2
C.{x|-2≤x≤2}
D.{x|x≥2或x≤-2}
解析:
所求点的集合即不等式|x|≤2的解集.
4.不等式|1-2x|<3的解集是()
A.{x|x<1
B.{x|-1<x<2
C.{x|x>2}
D.{x|x<-1或x>2}
由|1-2x|<3得-3<2x-1<3,∴-1<x<2
B
5.不等式|x+4|>9的解集是__________.
由原不等式得x+4>9或x+4<-9,∴x>5或x<-13
{x|x>5或x<-13
6.当a>0时,关于x的不等式|b-ax|<a的解集是________.
由原不等式得|ax-b|<a,∴-a<ax-b<a
∴-1<x<+1
∴{x|-1<x<+1
{x|-1<x<+1}
【强化训练】
1.不等式|x+a|<1的解集是()
A.{x|-1+a<x<1+a
B.{x|-1-a<x<1-a
C.{x|-1-|a|<x<1-|a|
D.{x|x<-1-|a|或x>1-|a|}
由|x+a|<1得-1<x+a<1
∴-1-a<x<1-a
2.不等式1≤|x-3|≤6的解集是()
A.{x|-3≤x≤2或4≤x≤9}
B.{x|-3≤x≤9}
C.{x|-1≤x≤2}
D.{x|4≤x≤9}
不等式等价于或
解得:
4≤x≤9或-3≤x≤2.
A
3.下列不等式中,解集为{x|x<1或x>3}的不等式是()
A.|x-2|>5
B.|2x-4|>3
C.1-|-1|≤
D.1-|-1|<
A中,由|x-2|>5得x-2>5或x-2<-5
∴x>7或x<-3
同理,B的解集为{x|x>或x<-1}
C的解集为{x|x≤1或x≥3}
D的解集为{x|x<1或x>3}
D
4.已知集合A={x||x-1|<2},B={x||x-1|>1},则A∩B等于()
A.{x|-1<x<3}
B.{x|x<0或x>3}
C.{x|-1<x<0}
D.{x|-1<x<0或2<x<3}
|x-1|<2的解为-1<x<3,|x-1|>1的解为x<0或x>2.
∴A∩B={x|-1<x<0或2<x<3}.
5.已知不等式|x-2|<a(a>0)的解集是{x|-1<x<b},则a+2b=.
不等式|x-2|<a的解集为{x|2-a<x<2+a}
由题意知:
{x|2-a<x<2+a}={x|-1<x<b}
∴a+2b=3+2×
5=13
13
6.不等式|x+2|>x+2的解集是______.
∵当x+2≥0时,|x+2|=x+2,x+2>x+2无解.
当x+2<0时,|x+2|=-(x+2)>0>x+2
∴当x<-2时,|x+2|>x+2
{x|x<-2}
7.解下列不等式:
(1)|2-3x|≤2;
(2)|3x-2|>2.
(1)由原不等式得-2≤2-3x≤2,各加上-2得-4≤-3x≤0,各除以-3得≥x≥0,解集为{x|0≤x≤}.
(2)由原不等式得3x-2<-2或3x-2>2,解得x<0或x>,故解集为{x|x<0或x>}.
8.解下列不等式:
(1)3≤|x-2|<9;
(2)|3x-4|>1+2x.
(1)原不等式等价于不等式组
由①得x≤-1或x≥5;
由②得-7<x<11,把①、②的解表示在数轴上(如图),
∴原不等式的解集为{x|-7<x≤-1或5≤x<11}.
(2)原不等式等价于下面两个不等式组,即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集:
①②
由不等式组①解得x>5;
由不等式组②解得x<.
∴原不等式的解集为{x|x<或x>5}.
9.设A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|<1},求集合M,使其同时满足下列三个条件:
(1)M[(A∪B)∩Z];
(2)M中有三个元素;
(3)M∩B≠
∵A={x||2x-1|≤3}={x|-1≤x≤2}
B={x||x+2|<1}={x|-3<x<-1}
∴M[(A∪B)∩Z]={x|-1≤x≤2}∪{x|-3<x<-1}∩Z={x|-3<x≤2}∩Z={-2,-1,0,1,2}
又∵M∩B≠,∴-2∈M.
又∵M中有三个元素
∴同时满足三个条件的M为:
{-2,-1,0},{-2,-1,1},{-2,-1,2},{-2,0,1},{-2,0,2},{-2,1,2}.
【学后反思】
解绝对值不等式,关键在于“转化”.根据绝对值的意义,把绝对值不等式转化为一次不等式(组).
|x|<a与|x|>a(a>0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集.
不等式|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a}.其解集在数轴上表示为(见图1—7):
不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a},其解集在数轴上表示为(见图1—8):
把不等式|x|<a与|x|>a(a>0)中的x替换成ax+b,就可以得到|ax+b|<b与|ax+b|>b(b>0)型的不等式的解法.
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- 关 键 词:
- 绝对值 不等式 解法