周矶中学专题复习二次函数与菱形Word文件下载.doc
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(1)∵抛物线y=经过点B(0,4)
∴c=4,
∵顶点在直线x=上,
∴;
∴所求函数关系式为;
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,
∴AB=,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,y=,
当x=2时,y=,
∴点C和点D都在所求抛物线上;
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
则,
解得:
,
∴,
当x=时,y=,
∴P(),
(4)∵MN∥BD,
∴△OMN∽△OBD,
∴即得ON=,
设对称轴交x于点F,
则(PF+OM)•OF=(+t)×
∵,
()×
=,
S=(-),
=-(0<t<4),
S存在最大值.
由S=-(t-)2+,
∴当S=时,S取最大值是,
此时,点M的坐标为(0,).
点评:
此题主要考查了二次函数的综合应用,以及菱形性质和待定系数法求解析式,求图形面积最值,利用二次函数的最值求出是解题关键.
26.(2012•烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?
最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?
请直接写出t的值.
(1)根据矩形的性质可以写出点A得到坐标;
由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x﹣1)2+4,然后将点C的坐标代入,即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式);
(2)利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6;
由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(1,4﹣t),据此可以求得点E的纵坐标,将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标;
然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣;
最后根据三角形的面积公式可以求得
S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣(t﹣2)2+1,由二次函数的最值可以解得t=2时,S△ACG的最大值为1;
(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点H在直线EF上.
(1)A(1,4).…(1分)
由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4
∵抛物线过点C(3,0),
∴0=a(3﹣1)2+4,
解得,a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3.…(2分)
(2)∵A(1,4),C(3,0),
∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6.
∵点P(1,4﹣t).…(3分)
∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+.…(4分)
∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣.
∴GE=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣.…(5分)
又点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣,
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG(2﹣)
=•2(t﹣)=﹣(t﹣2)2+1.…(7分)
当t=2时,S△ACG的最大值为1.…(8分)
(3)t=或t=20﹣8.…(12分)
(说明:
每值各占(2分),多出的值未舍去,每个扣1分)
本题考查了二次函数的综合题.其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式,待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法.
28.(12分)(2010•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
190187
专题:
压轴题。
(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;
(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标;
(3)由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大;
过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.
(1)将B、C两点的坐标代入得(2分)
;
所以二次函数的表达式为:
y=x2﹣2x﹣3(3分)
(2)存在点P,使四边形POPC为菱形;
设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO;
连接PP′,则PE⊥CO于E,
∴OE=EC=
∴y=;
(6分)
∴x2﹣2x﹣3=
解得x1=,x2=(不合题意,舍去)
∴P点的坐标为(,)(8分)
(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x2﹣2x﹣3),
易得,直线BC的解析式为y=x﹣3
则Q点的坐标为(x,x﹣3);
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•OF+QP•BF
=
=(10分)
当时,四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积的最大值为.(12分)
此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识,当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解.
26.(2012年铁岭市)如图,已知抛物线经过原点O和轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴
与轴交于点D.直线经过抛物线上一点B(-2,m)且与轴交于点C,
与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求m的值及该抛物线对应的解析式;
(2)P是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标;
(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能,请直接写出点M的运动时间t的值;
若不能,请说明理由.
第26题图备用图
26.解:
(1)∵点B(-2,m)在直线上
∴m=3即B(-2,3)┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分
又∵抛物线经过原点O
∴设抛物线的解析式为
∵点B(-2,3),A(4,0)在抛物线上
∴解得:
∴设抛物线的解析式为┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
(2)∵是抛物线上的一点
∴
若
∵┅┅┅┅┅┅┅┅6分
又∵点C是直线与轴交点
∴C(0,1)∴OC=1
∴,即或
解得:
∴点P的坐标为┅┅┅10分
(3)存在:
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
28.(2012兰州本小题满分12分)
(1)∵抛物线经过(0,4),∴----------1分
∵顶点在直线上∴,-------------------2分
∴所求函数关系式为:
------------------------------3分
(2)在中,,,∴
∵四边形是菱形∴
∴、两点的坐标分别是、.-------------------------4分
当时,
∴点和点都在所求抛物线上.----------------------------5分
(3)设与对称轴交于点,则为所求的点-------------------------6分
设直线对应的函数关系式为
则,解得:
∴----------------------7分
当时,
∴P(,),-------------------8分
(4)∥∴∽
∴即得----------------------------9分
设对称轴交轴于点F,则
∵
(--------------10分
存在最大值.
由
∴当时,S取得最大值为.--------------------------
11分
此时点的坐标为(0,).-------------------------------12分
25
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- 中学 专题 复习 二次 函数 菱形