图形的相似复习Word下载.doc
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图形的相似复习Word下载.doc
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三、相似三角形
各角对应________,各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形.
2.判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与________相似;
(2)两角对应________,两三角形相似;
(3)两边对应成________且夹角________,两三角形相似;
(4)三边对应成________,两三角形相似;
(5)斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
3.性质
(1)相似三角形的对应角________,对应边成________;
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________;
(3)相似三角形周长的比等于________;
(4)相似三角形面积的比等于____________.
四、位似变换与位似图形
取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′,使得线段OP′与OP的______等于常数k(k>0),点O对应到它自身,这种变换叫做位似变换,点O叫做________,常数k叫做________,一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形.
两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上,并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于________.
3.画位似图形的步骤
(1)确定位似________;
(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线);
(3)按位似比进行取点;
(4)顺次连接各点,所得的图形就是所求图形.
命题点1 比例线段
1.若=,则=__________.
2.如图,直线a∥b∥c,点B是线段AC的中点,若DE=2,则EF=________.
第2题图第3题图第4题图
命题点2
3.如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABC.AB2=AD·
ACD.=
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为( )A.3B.5C.6D.8
5.如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是( )
A.B.C.D.
第5题图第6题图
6.如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是________________________.(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)
7.若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16,则△ABC与△DEF的周长之比为________.
8.如图,D是△ABC的边AC上的一点,连接BD.已知∠ABD=∠C,AB=6,AD=4.求线段CD的长.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.
(1)求证:
△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
命题点3 相似三角形的实际应用
10.如图,小明用长为3m的竹竿CD做测量工具,测量学校旗杆AB的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O,此时O点与竹竿的距离OD=6m,竹竿与旗杆的距离DB=12m,则旗杆AB的高为________m.
第10题图图1) ,图2)
11.已知,在△ABC中,∠ABC=90°
,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:
△APQ∽△ACB.
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.
12.如图,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,
下列结论:
①=;
②=;
③=;
④=
其中正确的个数有个
13.如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°
得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.
四边形BMNP是平行四边形.
(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?
请说明理由.
相似三角形的基本类型
知识点1.“A”型、“X”型、“反A”型、“反X”型:
例1.如图,在中,,点从点出发,以每秒的速度向运动,点从点出发,以每秒的速度向运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也停止运动,设运动时间为.
(1)用含的代数式表示的长度;
(2)当为何值时,以为顶点的三角形与相似.
知识点2.“M”型:
例2.如图,点在一条直线上,,求证:
.
知识点3.“母子”型、“射影”型:
例3.如图,在中,,若,求的长.
基础训练:
一、解答题:
1.如图,点为□边延长线上的一点,连结,交于,若,,
,求的长和□的周长.
2.如图,在正方形中,点在上,于,求证:
3.如图,在矩形中,,点分别从点三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点的速度均为,点的速度为,当追上时,三个点随之停止移动,设移动时,的面积为.
(1)当时,求的值;
(2)求与之间的函数解析式,并指出自变量的取值范围;
(3)若点在矩形的边上移动,当为何值时,以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似,并说明理由.
二.相似三角形的应用
知识点1.相似三角形的性质:
例1.如图,在正方形中,是上一点,是的中点,,垂足为,交的延长线于点,交于点.
(1);
(2)若,求的长.
知识点2.相似三角形的应用:
例2.一块材料的形状是锐角,边,高,把它加工成矩形零件,使得长方形的一边在上,其余两个顶点分别在上.
;
(2)设,矩形的面积为,求关于的函数关系式.
知识点3.函数中的相似三角形:
例3.如图,□的一边,若的长是的一元二次方程的两个根,.
(1)求直线的解析式;
(2)若为轴上的点,且,求经过的直线的解析式,并判断与是否相似,并说明理由;
(3)若点在平面直角坐标系内,则在直线上是否存在点,使得以为顶点的四边形是菱形,若存在,求点的坐标;
若不存在,请说明理由.
1.将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中,当容器中的牛奶刚好接触到点时,停止倒入,图2是它的平面示意图,,请根据图中信息,求出容器中牛奶的高度.
2.如图,小华在晚上由路灯走向路灯,当他走到点时,发现身后他的影子的顶端刚好接触路灯的底部,当他向前再走到达时,发现身后他的影子的顶部刚好接触到路灯的底部,小明的身高,两路灯的高,且.
(1)求两路灯之间的距离;
(2)当他走到路灯时,求他在路灯下的影长.
3.如图,平分,,为的中点.
(2)求证:
(3)若,求.
三.重点题型总结
题型一有关比例线段的计算
1、已知a、b、c为的三边,且求的三边长。
2.已知,则一次函数与坐标轴围成的图形的面积是多少?
题型二证明比例式或等积式
Ø
如果比例式或等积式中的四条线段分布在两个三角形内,想办法证明两个三角形相似。
3、如图所示,AD、CE是的高,AD和CE相交于点F,请证明:
A
D
E
C
B
F
做平行线,构建相似三角形或寻找比例线段。
P
4、已知,如图,在中,,在边AB上取点D,在边AC上取点E,使,连接DE并延长,和BC的延长线交于点P,求证:
。
等线段代换或等比线段代换。
5、如图所示,在梯形中,,G是BC边上的任意一点,且,请证明:
G
题型三实际应用问题
6、如图所示是圆桌上方的灯泡(可看做一个点)发出的光线照射桌面后在地面上形成的阴影(圆形)的示意图,已知桌面的直径为1.2m,桌面距离地面1m,若灯泡距离地面3m,则地面上阴影部分的面积是多少?
7、如图所示,有一块三角形形状的铁板,其中,现要在边上确定两点D、E,然后沿DE将上面部分剪去,使剩下的四边形BDEC为梯形,且DE=15cm,如何确定点D和点E的位置?
8、(湖北恩施中考)宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感。
如图所示,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?
请证明你的结论。
9、如图,已知△ABC与△A1B1C1是位似图形,找出位似中心.
C1
B1
A1
题型四相似三角形判定与性质的综合题
10、如图所示,在等腰梯形中,,,P为下底BC上一点(不与点B、C重合),连接AP,过点P做PE交CD或其延长线于点E,使得.
(1)求等腰梯形的腰AB的长。
(2)试说明∽。
(3)在底边BC上是否存在一点P,使得如果存在,求BP的长;
如果不存在,请说明理由。
11、已知和是两个等腰直角三角形,,的顶点E位于边BC的中点上。
(1)如图所示,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:
∽。
M
N
(1)
(2)
(2)如图所示,将绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,连接MN,于是,除
(1)中的一对相似三角形和∽外,能否再找出一对相似三角形?
并证明你的结论。
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