寒假半角模型Word格式文档下载.docx
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(延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF)
结论:
①MN=BM+DN②③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM
(2)对称(翻折)
思路:
分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.(∠B+∠D=且AB=AD)
例题应用:
例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM+DN,求证:
①.∠MAN=
②.
③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.
思路同上略.
例2拓展:
在正方形ABCD中,已知∠MAN=,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动,
①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.
②.求证:
AB=AH.
(提示)
例3.在四边形ABCD中,∠B+∠D=,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上,且满足EF=BE+DF.求证:
例4,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=120°
,若BD=5,CE=8,求DE。
例五.请阅读下列材料:
已知:
如图1在中,,,点、分别为线段上两动点,若.探究线段、、三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把绕点顺时针旋转,得到,连结,
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想、、三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)当动点在线段上,动点运动在线段延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
例6探究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°
,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:
;
(2)如图2,若把
(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°
,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD”,则
(1)问中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)在
(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,
如图3所示,其它条件不变,则
(1)问中的结论是否发生变化?
若变化,请给出结论并予以证明..
练习巩固1:
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上的点,且.求证:
EF=BE+DF.
练习巩固2,已知:
正方形中,,绕点顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.
(1)如图1,当绕点旋转到时,有.当绕点旋转到时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?
如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;
(2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间有怎样的等量关系?
请写出你的猜想,并证明.
练习巩固3
(1)如图,在四边形中,,分别是边上的点,且.求证:
;
(2)如图在四边形中,,分别是边上的点,且,
(1)中的结论是否仍然成立?
不用证明.
(3)如图,在四边形中,,,分别是边延长线上的点,且,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;
若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
(4)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长= 6 cm;
②求证:
EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?
请说明理由.
(5).如图17,正方形ABCD,E、F分别为BC、CD边上一点.
(1)若∠EAF=45º
.求证:
EF=BE+DF.
(2)若⊿AEF绕A点旋转,保持∠EAF=45º
,问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化?
图17
(3)已知正方形ABCD的边长为1,如果⊿CEF的周长为2.求∠EAF的度数.
练习巩固4.如图,五边形ABCDE中,AB=BC=CD=DE=EA,,求∠BAE
练习巩固5.如图,已知在正方形ABCD中,=45°
,连接BD与AM,AN分别交于E、F两点。
求证:
(1)MN=MB+DN;
(2)点A到MN的距离等于正方形的边长;
(3)的周长等于正方形ABCD边长的2倍;
(4);
(5)若=20°
,求;
(6)若,求;
(7);
(8)与是等腰三角形;
(9)。
练习巩固6.在等边的两边,所在直线上分别有两点为外一点,且,,,探究:
当点分别爱直线上移动时,之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系.
(1)如图①,当点在边上,且时,之间的数量关系式_________;
此时__________
(2)如图②,当点在边上,且时,猜想
(1)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(3)如图③,当点分别在边的延长线上时,若,则_________(用表示)
练习巩固7.如图所示,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角为120°
的等腰三角形,以D为顶点作一个60°
的∠MDN,点M,N分别在AB,AC上,求△AMN的周长
练习巩固8.如图,在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求∠BAE+∠DCF为多少度。
巩固练习9、(三新练习册P131)如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°
,∠A=∠E=30°
.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.
(1)①如图2、图3,当∠CDF=0°
或60°
时,AM+CK_______MK(填“>
”,“<
”或“=”).
②如图4,当∠CDF=30°
时,AM+CK___MK(只填“>
”或“<
”).
(2)猜想:
如图1,当0°
<∠CDF<60°
时,AM+CK_______MK,证明你所得到的结论.
图1
图2
图3
图4
(3)如果,请直接写出∠CDF的度数和的值.
**必会结论--------图形研究正方形半角模型
【例】已知:
正方形,、分别在边、上,且,、分别交于、,连.
一、全等关系
(1)求证:
①;
②;
③平分,平分.
二、相似关系
(2)求证:
③.
(3)求证:
④;
⑤;
⑥.
三、垂直关系
(4)求证:
(5)、和差关系
中考链接----正方形二相关题型--半角模型
1,(2016石景山28).在正方形ABCD中,E为边CD上一点,连接BE.
(1)请你在图-1画出△BEM,使得△BEM与△BEC关于直线BE对称;
(2)若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF,请你在图2中探究∠ABF与
∠CBE的数量关系并证明;
(3)在
(2)的条件下,若点E为边CD的三等分点,且CE<
DE,请写出求
cos∠FED的思路.(可以不写出计算结果).
图1图2备用图
答案
石景山28.
(1)补全图形,如图1所示.
…………………………………1分
(2)与的数量关系:
.………2分
证明:
连接,,延长到,使得,连接…3分
∵四边形为正方形,
∴,.
∴△≌△.
∵,
∴.……………………4分
∴∠=∠.
∴.………………5分
(3)求解思路如下:
a.设正方形的边长为,为,则,;
b.在Rt△中,由,
可得
从而得到与的关系;
c.根据cos∠FED,可求得结果.………7分
2,(2016门头沟28).在正方形ABCD中,连接BD.
(1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数.
(2)如图1,在
(1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°
后得到△AB'
E'
,AB'
与BD交于M,AE'
的延长线与BD交于N.
①依题意补全图1;
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.
(3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)
门头沟28.(本小题满分7分)
解:
(1)∠BAE=45°
.…………………………………………………………………1分
(2)①依题意补全图形(如图1);
………………………………………2分
②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+ND2=MN2.………………3分
证明:
如图1,将△AND绕点A顺时针旋转90°
,得△AFB.
∴∠ADB=∠FBA,∠1=∠3,DN=BF,AF=AN.
∵正方形ABCD,AE⊥BD,
∴∠ADB=∠ABD=45°
.
∴∠FBM=∠FBA+∠ABD
=∠ADB+∠ABD=90°
∴由勾股定理得FB2+BM2=FM2.
∵旋转△ABE得到△AB'
,
∴∠E'
AB'
=45°
∴∠2+∠3=90°
-45°
又∵∠1=∠3,
∴∠2+∠1=45°
即∠FAM=45°
∴∠F
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