全国通用高考推荐高三数学全册阶段检测试题二Word文档下载推荐.docx
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解析:
由题sin15°
=sin30°
=.
2.(2016恩施州模拟)已知|a|=1,b=(0,2),且a·
b=1,则向量a与b夹角的大小为( C )
因为|a|=1,b=(0,2),且a·
b=1,
所以cos<
a,b>
===,
所以向量a与b夹角的大小为.
3.(2015高考陕西卷)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( B )
(A)|a·
b|≤|a||b|(B)|a-b|≤||a|-|b||
(C)(a+b)2=|a+b|2(D)(a+b)·
(a-b)=a2-b2
|a·
b|=|a|·
|b|·
|cos<
|≤|a||b|,故A恒成立;
由向量的运算法则知C,D也恒成立;
当b=-a≠0时,|a-b|>
||a|-|b||,B不恒成立.
故选B.
4.(2016嘉兴外国语学校模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,a=,b=1,则c等于( B )
(A)1(B)2(C)-1(D)
法一 (余弦定理)由a2=b2+c2-2bccosA得
3=1+c2-2c×
1×
cos=1+c2-c,
所以c2-c-2=0,
所以c=2或-1(舍去).
法二 (正弦定理)由=,得=,
所以sinB=,
因为b<
a,
所以B=,从而C=,
所以c2=a2+b2=4,
所以c=2.
5.(2015宁城县一模)在△ABC中,点G是△ABC的重心,若存在实数λ,μ,使=λ+μ,则( A )
(A)λ=,μ=(B)λ=,μ=
(C)λ=,μ=(D)λ=,μ=
因为点G是△ABC的重心,
所以点G分中线为,
所以=×
(+)=(+),
因为=λ+μ,
所以λ=μ=.
6.(2015东北三校联合二模)已知向量与向量a=(1,-2)的夹角为π,||=2,点A的坐标为(3,-4),则点B的坐标为( A )
(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(5,-8)(D)(-8,5)
由题意可设=λa(λ<
0),
所以=λa=(λ,-2λ),
又||=2,
所以λ2+(-2λ)2=20,
所以λ=-2,
所以=(-2,4),
设B(x,y),又A(3,-4),
所以=(x-3,y+4),
所以
即B(1,0).
7.(2016浙江仿真模拟)已知cos(x-)=-,则cosx+cos(x-)等于( C )
(A)-(B)±
(C)-1(D)±
1
cosx+cos(x-)=cosx+cosx+sinx
=cosx+sinx
=cos(x-)
=-1.
8.(2016河北冀州中学高三月考)设函数f(x)=cos(ωx+)对任意的x∈R,都有f(-x)=f(+x),若函数g(x)=3sin(ωx+)-2,则g()的值是( D )
(A)1(B)-5或3(C)(D)-2
根据题意有x=是函数f(x)=cos(ωx+)图象的对称轴,从而有ω+=kπ,k∈Z,
所以有g()=3sinkπ-2=-2,故选D.
9.(2016南昌二中高三上第三次月考)若函数f(x)=a2sin2x+(a-2)cos2x的图象关于直线x=-对称,则f(x)的最大值为( B )
(A)2(B)或4
(C)4(D)
因为函数f(x)=a2sin2x+(a-2)cos2x的图象关于直线x=-对称,
所以x=-时,函数取得最值,
所以a2sin(-)+(a-2)cos(-)=或a2sin(-)+(a-2)cos(-)=-,
所以[a2-(a-2)]2=a4+(a-2)2,
化简可得a2+a-2=0,解得a=1,或a=-2,
所以f(x)的最大值为=或4.故选B.
10.(2016南昌二中高三月考)已知点A,B,C是圆O上三点,线段OC与线段AB交于圆内一点M,若=m+n(m>
0,n>
0),m+n=2,则∠AOB的最小值为( D )
由已知条件知,m,n∈(0,2),设圆O的半径为1,
=(m+n)2;
所以1=m2+2mncos∠AOB+n2,
将m=2-n代入并整理得
-2n2+4n-3=(-2n2+4n)cos∠AOB,
所以cos∠AOB=1+;
因为n∈(0,2)时,2n2-4n<
0,
且n=1时,2n2-4n取最小值-2,
1+取最大值-,
此时,∠AOB=,即为最小值.故选D.
11.(2015潮州模拟)函数f(x)=cos(ωx+)(x∈R,ω>
0)的最小正周期为π,为了得到f(x)的图象,只需将函数g(x)=sin(ωx+)的图象( C )
(A)向左平移个单位长度
(B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度
(D)向右平移个单位长度
由于函数f(x)=cos(ωx+)(x∈R,ω>
0)的最小正周期为π=,
所以ω=2,f(x)=cos(2x+),
故g(x)=sin(ωx+)
=sin(2x+)
=cos(2x+-)
=cos(2x-).
把函数g(x)=cos(2x-)的图象向左平移个单位长度,可得y=cos[2(x+)-]=cos(2x+)=f(x)的图象.
12.(2015兰州二模)在△ABC中,·
=7,|-|=6,则△ABC面积的最大值为( C )
(A)24(B)16(C)12(D)8
设A,B,C所对边分别为a,b,c,
由·
=7,|-|=6,
得bccosA=7,a=6,
S△ABC=bcsinA
=bc
=,
由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=36,
得b2+c2=50,
所以b2+c2≥2bc,
所以bc≤25,当且仅当b=c=5时取等号,
所以S△ABC=≤12,
故△ABC的面积的最大值为12.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2016成都模拟)在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则的值为 .
设图中每个小正方形的边长为1,
则a=(2,1),b=(-2,-2),c=(1,-2),
所以xa+yb=(2x-2y,x-2y),
因为c与xa+yb共线,
所以-2(2x-2y)=x-2y,
所以5x=6y,即=.
答案:
14.(2016杭州模拟)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(acosB-bcosA)=2b2,则= .
因为c(acosB-bcosA)=2b2,
所以由余弦定理可得ac·
-bc·
=2b2,
即a2+c2-b2-b2-c2+a2=4b2,
即a2=3b2,则a=b,
所以=.
再利用正弦定理可得=.
15.(2015金华模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+θ)(ω>
0)的图象如图所示,则ω= ,若将函数f(x)的图象向左平移(0<
<
)个单位后得到一个偶函数,则= .
由题图知,T=π-(-)=,
即T=π=,即ω=2,
则f(x)=2sin(2x+θ),
由五点对应法可得2×
+θ=π,
解得θ=-,
即f(x)=2sin(2x-),
将函数f(x)的图象向左平移(0<
)个单位后得到y=2sin(2x+2-),此时函数为偶函数,
则2-=+kπ,k∈Z,
解得=+,k∈Z,
当k=0时,=.
2
16.(2015金华一模)已知点A(1,-1),B(4,0),C(2,2),平面区域D由所有满足=λ+μ(1<
λ≤a,1<
μ≤b)的点P(x,y)组成的区域.若区域D的面积为8,则a+b的最小值为 .
点A(1,-1),B(4,0),C(2,2),
所以=(3,1),=(1,3),
则cos∠BAC===,
故sin∠BAC==,
若平面区域D由所有满足=λ+μ(1<
μ≤b)的点P(x,y)组成的区域,则区域D的面积S=(a-1)×
(b-1)×
sin∠BAC=8[ab-(a+b)+1]=8,
即ab-(a+b)=0,
即-(a+b)≥0,
解得a+b≥4或a+b≤0(舍去),
即a+b的最小值为4.
4
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
(2015江西一模)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4).
(1)求sin(α+)的值;
(2)若P关于x轴的对称点为Q,求·
的值.
解:
(1)因为角α的终边经过点P(3,4),
所以sinα=,cos=,
所以sin(α+)=sinαcos+cosαsin
=×
+×
(2)因为P(3,4)关于x轴的对称点为Q,
所以Q(3,-4).
所以=(3,4),=(3,-4),
所以·
=3×
3+4×
(-4)=-7.
18.(本小题满分12分)
(2015肇庆二模)已知向量a=(2,sinθ)与b=(1,cosθ)互相平行,其中θ∈(0,).
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)若sin(θ-)=,0<
求cos的值.
(1)因为向量a=(2,sinθ)与b=(1,cosθ)互相平行,
所以sinθ=2cosθ,
又sin2θ+cos2θ=1,
由θ∈(0,),
则sinθ=,cosθ=.
(2)因为sin(θ-)=,0<
又θ∈(0,),则-<
θ-<
则cos(θ-)===,
则有cos=cos[θ-(θ-)]
=cosθcos(θ-)+sinθsin(θ-)
19.(本小题满分12分)
(2015温州十校联考)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2sinB,2-cos2B),n=(2sin2(+),-1),m⊥n,a=,b=1.
(1)求角B的大小;
(2)求c的值.
(1)根据已知,有m·
n=0,
则4sinBsin2(+)+cos2B-2=0,
则2sinB[1-cos(+B)]+cos2B-2=0,
又B∈(0,π),则B=或,
又a>
b,所以B=.
(2)由余弦定理:
b2=a2+c2-2accosB,
故有1=3+c2-3c,
解得c=2或c=1.
20.(本小题满分12分)
已知两个不共线的向量a,b,它们的夹角为θ,且|a|=3,|b|=1,x为正实数.
(1)若a+2b与a-4b垂直,求tanθ;
(2)若θ=,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并判断此时向量a与xa-b是否垂直.
(1)因为a+2b与a-4b垂直,
所以(a+2b)·
(a-4b)=0,
所以a2-2a·
b-8b2=0,
所以32-2×
3×
cosθ-8×
12=0,
所以cosθ=,
又θ∈(0,π)
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- 全国 通用 高考 推荐 数学 阶段 检测 试题