高考北京版高考数学 85 空间向量及其应用空间角与距离.docx
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高考北京版高考数学85空间向量及其应用空间角与距离
8.5 空间向量及其应用、空间角与距离
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测
热度
考题示例
考向
关联考点
1.用向量证明空间中的平行和垂直关系
1.理解直线的方向向量与平面的法向量
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系
3.能用向量法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)
2017北京,16
用向量求空间角
面面垂直的性质
★★★
2016北京,17
2015北京,17
用向量求空间角、用向量证明空间中的垂直关系
线面垂直、面面垂直的判定和性质
2.用向量求空间角与距离
1.能用向量法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题
2.能用向量法解决点面、线面、面面距离问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用
2013北京,17
2011北京,17
用向量求空间角、用向量证明空间中的垂直关系
线面垂直、面面垂直的判定和性质
★★★
分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养运算能力.3.本节内容在高考中常以解答题的形式,以多面体为载体,考查空间角的问题,属于中档题.
破考点
【考点集训】
考点一 用向量证明空间中的平行和垂直关系
1.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:
CE∥平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
解析
(1)证明:
设AD的中点为O,连接OB,OP.
∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,∴OP⊥AD.
∵BC=AD=OD,且BC∥OD,
∴四边形BCDO为平行四边形,又∵CD⊥AD,
∴OB⊥AD,∵OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB.
过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于M,
以O为原点,OB所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OM所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.
设CD=1,则有A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).
设P(x,0,z)(z>0),由PC=2,OP=1,
得解得x=-,z=,
即点P,
而E为PD的中点,∴E.
设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1),
∵=,=(1,1,0),
∴⇒
取y1=-1,得n=(1,-1,).
而=,则·n=0,而CE⊄平面PAB,
∴CE∥平面PAB.
(2)设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2),
∵=(0,1,0),=,
∴取x2=1,得m=(1,0,).
设直线CE与平面PBC所成角为θ,
则sinθ=|cos
故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.
方法总结 1.证明直线与平面平行的方法.(例:
求证:
l∥α)
①利用线面平行的判定定理:
在平面α内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l∥α.
②利用面面平行的性质:
过直线l找到(或作出)一个平面β,使得β∥α,从而得l∥α.
③向量法:
(i)求出平面α的法向量n和直线l的方向向量l,证明n·l=0,结合l⊄α可得l∥α.
(ii)证明直线l的方向向量l能被平面α内的两个基向量所表示,结合l⊄α可得l∥α.
2.求线面角的方法.
①定义法:
作出线面角,解三角形即可.
②解斜线段、射影、垂线段构成的三角形.
例:
求AB与平面α所成角θ的正弦值,其中A∈α.只需求出点B到平面α的距离d(通常由等体积法求d),由sinθ=得结论.
③向量法:
求出平面α的法向量n,设直线AB与α所成角为θ,则sinθ=|cos
最好是画出图形,否则容易出错.
考点二 空间角与距离
2.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
3.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解析
(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,
∴=,
=,
=(0,0,1).
设平面PEF的法向量为n=(x,y,z).
则有⇒⇒
令x=1,则n=.
∴点D到平面PEF的距离为
d===.
(2)直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离.
∵=,平面PEF的一个法向量为n=,
∴点A到平面PEF的距离为d1===.
∴直线AC到平面PEF的距离为.
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面AA1C1C,AA1=AB=AC=2,∠A1AC=60°.过AA1的平面交B1C1于点E,交BC于点F.
(1)求证:
A1C⊥平面ABC1;
(2)求证:
四边形AA1EF为平行四边形;
(3)若=,求二面角B-AC1-F的大小.
解析
(1)证明:
因为AB⊥平面AA1C1C,A1C⊂平面AA1C1C,所以A1C⊥AB.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC,所以平行四边形AA1C1C为菱形,所以A1C⊥AC1.
又AB∩AC1=A,AB,AC1⊂平面ABC1,所以A1C⊥平面ABC1.
(2)证明:
因为A1A∥B1B,A1A⊄平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,所以A1A∥平面BB1C1C.
因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF,所以A1A∥EF.
因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面AA1EF∩平面ABC=AF,平面AA1EF∩平面A1B1C1=A1E,
所以A1E∥AF,
所以四边形AA1EF为平行四边形.
(3)在平面AA1C1C内,过A作Az⊥AC.
因为AB⊥平面AA1C1C,所以AB,AC,Az两两垂直.
故可建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,1,),C1(0,3,),所以=(-2,2,0),=(0,3,).
因为=,所以==,
所以F,
所以=.
由
(1)得平面ABC1的一个法向量为=(0,1,-).
设平面AC1F的法向量为n=(x,y,z),
则
即
令y=1,则x=-2,z=-,
所以n=(-2,1,-).
所以cos
由图可知二面角B-AC1-F的平面角是锐角,
所以二面角B-AC1-F的大小为45°.
思路分析
(1)通过证明四边形AA1C1C为菱形,得出A1C⊥AC1,从而证得A1C⊥平面ABC1;
(2)由面面平行的性质定理、线面平行的性质定理分别得到两组对边互相平行,进而证明四边形AA1EF为平行四边形;
(3)由平面的法向量和夹角公式求解.
方法总结 正确掌握线面平行和垂直的证明方法和计算空间角的基本方法是求解立体几何问题的基础和保障,务必“记牢活用.”
炼技法
【方法集训】
方法1 空间角与距离的向量求法
1.正四棱锥S-ABCD的八条棱长都相等,SB的中点是E,则异面直线AE,SD所成角的余弦值为 .
答案
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B1的中点,则异面直线D1E和BC1间的距离为 .
答案
方法2 用向量法求立体几何中的探索性问题
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,E为AD的中点,PA⊥AD,BE∥CD,BE⊥AD,PA=AE=BE=2,CD=1.
(1)求证:
平面PAD⊥平面PCD;
(2)求二面角C-PB-E的余弦值;
(3)在线段PE上是否存在点M,使得DM∥平面PBC?
若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由.
解析
(1)证明:
因为平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PA⊥平面ABCD.
又CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD.
又因为BE⊥AD,BE∥CD,
所以CD⊥AD.
又因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.
因为CD⊂平面PCD,
所以平面PAD⊥平面PCD.
(2)以E为原点,以,的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,
则E(0,0,0),P(0,-2,2),A(0,-2,0),B(2,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),
所以=(2,2,-2),=(-1,2,0),=(0,-2,2).
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则即
令y=1,则x=2,z=3,所以n=(2,1,3).
设平面PBE的法向量为m=(a,b,c),
则即
令b=1,则a=0,c=1,所以m=(0,1,1).
所以cos
由图可知,所求二面角为锐角,
所以二面角C-PB-E的余弦值为.
(3)“在线段PE上存在点M,使得DM∥平面PBC”等价于“在线段PE上存在点M,使其满足·n=0”.
设=λ,λ∈[0,1].
因为=(0,2,-2),所以=(0,2λ,-2λ),
则M(0,2λ-2,2-2λ),所以=(0,2λ-4,2-2λ).
由
(2)知平面PBC的一个法向量为n=(2,1,3),
所以·n=2λ-4+6-6λ=0,
解得λ=.
因为λ=∈[0,1],
所以在线段PE上存在点M,使得DM∥平面PBC,此时点M为PE的中点.
4.如图1,在平面五边形ABCDE中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2,CD=1,△ADE是边长为2的正三角形,现将△ADE沿AD折起,得到四棱锥E-ABCD(如图2),且DE⊥AB.
(1)求证:
平面ADE⊥平面ABCD;
(2)求平面BCE与平面ADE所成锐二面角的大小;
(3)在棱AE上是否存在点F,使得DF∥平面BCE?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解析
(1)证明:
由已知得AB⊥AD,因为AB⊥DE,
且AD∩DE=D,AD,DE⊂平面ADE,所以AB⊥平面ADE.
又AB⊂平面ABCD,所以平面ADE⊥平面ABCD.
(2)设AD的中点为O,连接EO.
因为△ADE是正三角形,
所以EA=ED,所以EO⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD,
平面ADE∩平面ABCD=AD,EO⊂平面ADE,
所以EO⊥平面ABCD.
在平面ABCD内过O点作垂直于AD的直线交CB于点M.
以O为原点,OA所在的直线为x轴,OM所在的直线为y轴,OE所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,
则E(0,0,),B(1,2,0),C(-1,1,0),
所以=(1,-1,),=(2,1,0).
设平面BCE的法向量为m=(x,y,z),
则即
令x=1,则y=-2,z=-,
所以m=(1,-2,-).
易知平面ADE的一个法向量为n=(0,1,0),
所以cos
所以平面BCE与平面ADE所成锐二面角的大小为.
(3)在棱AE上存在点F,使得DF∥
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