数学北京市101中学届高三月考试题文Word文档下载推荐.docx
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频率
0.1
0.2
0.3
试估计该商品日平均需求量为()
A.16B.16.2C.16.6D.16.8
4.“sin=”是“cos2=0”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.下列函数中,是奇函数且在(0,1)内是减函数的是()
①f(x)=-x3②f(x)=()|x|③f(x)=-sinx④f(x)=
A.①③B.①④C.②③D.③④
6.某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为l,则该四棱锥的体积为()
A.B.4C.D.4
7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:
平面内到两定点距离之比为常数k(k>
0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是()
A.2B.C.D.
8.如图,△PAD为等边三角形,四边形ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD.若点M为平面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为()
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.一段圆弧
D.一条线段
二、填空题
9.执行如图所示的程序框图,输出S的值为___________.
10.已知双曲线C的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线C的方程是___________.
11.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°
,则·
=___________.
12.若变量x,y满足约束条件则x2+y2的最小值为___________.
13.高斯说过,他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题.一位同学受到启发,按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”:
(1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积;
(2)左图阴影区域面积用a,b,c,d表示为__________;
(3)右图中阴影区域的面积为;
(4)则柯西不等式用字母a,b,c,d可以表示为(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程:
_____________.
14.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-kx(k∈R).
①当k=l时,函数g(x)有__________个零点;
②若函数g(x)有三个零点,则k的取值范围是___________.
三、解答题
15.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x.
(I)求f(x)的最小正周期;
(II)求证:
当x∈[0,]时,f(x)≥0.
16.已知由实数构成的等比数列{an}满足a1=2,a1+a3+a5=42.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求a2+a4+a6+…+a2n.
17.2017年,世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行.整个比赛精彩纷呈,参赛选手展现出很高的竞技水平,为观众奉献了多场精彩对决.图1(扇形图)和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计.两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1.在乒乓球比赛中,接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法.选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1,其中的前4项技术统称反手技术,后3项技术统称为正手技术.
图1
选手乙的接发球技术统计表
技术
反手拧球
反手搓球
反手拉球
反手拨球
正手搓球
正手拉球
正手挑球
使用次数
2
4
12
1
得分率
55%
50%
0%
75%
41.7%
100%
表1
(I)观察图1,在两位选手共同使用的8项技术中,差异最为显著的是哪两项技术?
(II)乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球.从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率是多少?
(III)如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看(不考虑使用次数),你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?
(结论不要求证明)
18.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中点,AB=AA1=2.
(I)求证:
平面AB1D⊥平面BB1C1C;
A1C∥平面AB1D;
(III)求三棱锥A1-AB1D的体积.
19.已知椭圆C:
(b>
0)的一个焦点坐标为(2,0).
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知点E(3,0),过点(1,0)的直线l(与x轴不重合)与椭圆C交于M,N两点,直线ME与直线x=5相交于点F,试证明:
直线FN与x轴平行.
20.已知函数f(x)=xcos+a,a∈R.
(I)求曲线y=f(x)在点x=处的切线的斜率;
(II)判断方程f'
(x)=0(f'
(x)为f(x)的导数)在区间(0,1)内的根的个数,说明理由;
(III)若函数F(x)=xsinx+cosx+ax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围.
【参考答案】
题号
3
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
9
10
11
13
48
ac+bd;
两个要点:
(1)两图中的阴影部分面积相等;
(2)|sin∠BAD|≤1
1,(0,]
15.解:
(I)因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x
=1+sin2x-cos2x=sin(2x-)+1.
所以函数f(x)的最小正周期为;
(II)由(I)可知,f(x)=sin(2x-)+1.
当x[0,]时,2x-[-,],sin(2x-)[-,1],
sin(2x-)+1∈[0,+1].
当2x-=-,即x=0时,f(x)取了最小值0.所以当x∈[0,]时,f(x)≥0..
16.解:
(I)由可得2(1+q2+q4)=42.
由数列{an}各项为实数,解得q2=4,q=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n或an=(-1)n-1·
2n
(II)当an=2n时,a2+a4+a6+…+a2n=·
(4n-1);
当an=(-1)n-1·
2n时,a2+a4+a6+…+a2n=·
(1-4n).
17.解:
(I)根据所给扇形图的数据可知,差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.
(II)根据表1的数据可知,选手乙的反手拉球2次,分别记为A,B,正手拉球4次,分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次,共15种结果,分别是:
AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd.
其中至少抽出一次反手拉球的共有9种,分别是:
AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd.
则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率
.
(III)正手技术更稳定.
18.(I)证明:
由已知△ABC为正三角形,且D是BC的中点,所以AD⊥BC.因为侧棱AA1⊥底面ABC,AA1∥BB1,所以BB1⊥底面ABC.又因为AD底面ABC,所以BB1⊥AD.而B1BBC=B,所以AD⊥平面BB1C1C.因为AD平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面BB1C1C;
(II)证明:
连接A1B,设A1BAB1=E,连接DE.
由已知得,四边形A1ABB1为正方形,则E为A1B的中点.
因为D是BC的中点,所以DE∥A1C.
又因为DE平面AB1D,A1C平面AB1D,
所以A1C∥平面AB1D.
(III)由(II)可知A1C∥平面AB1D,所以A1与C到平面AB1D的距离相等,
所以.由题设及AB=AA1=2,得BB1=2,且.
所以=×
,
所以三棱锥A1-AB1D的体积为.
19.解:
(I)由题意可知所以a2=5,b2=1.
所以椭圆C的方程为=1;
(II)①当直线l的斜率不存在时,此时MN⊥x轴.设D(1,0),直线x=5与x轴相交于点G,易得点E(3,0)是点D(1,0)和点G(5,0)的中点,又因为|MD|=|DN|,所以|FG|=|DN|.所以直线FN∥x轴.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).因为点E(3,0),所以直线ME的方程为y=(x-3).
令x=5,所以yF=(5-3)=.
由消去y得(1+5k2)x2-10k2x+5(k2-1)=0.
显然>
0恒成立.所以x1+x2=,x1x2=.
因为y2-yF=y2-==
==
=·
所以y2=yF.所以直线FN∥x轴.综上所述,所以直线FN∥x轴.
20.解:
(I)f'
(x)=cosx-xsinx·
k=f'
()=.
(II)设g(x)=f'
(x),g'
(x)=-sinx-(sinx+xcosx)=-2sinx-xcosx.
当x∈(0,1)时,g'
(x)<
0,则函数g(x)为减函数.
又因为g(0)=1>
0,g
(1)=cos1-sin1<
0,
所以有且只有一个x0∈(0,1),使g(x0)=0成立.
所以函数g(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点,即方程f'
(x)=0在区间(0,1)内有且只有一个实数根.
(III)若函数F(x)=xsinx+cosx+ax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,由于F'
(x)=f(x),即f(x)=xcosx+a在区间(0,1)内有且只有一个零点x1,且f(x)在x1两侧异号.
因为当x∈(0,1)时,函数g(x)为减函数,所以在(0,x0)上,g(x)>
g(x0)=0,即f'
(x)>
0成立,函数f(x)为增函数;
在(x0,1)上,g(x)<
0成立,函数f(x)为减函数.
则函数f(x)在x=x0处取得极大值f(x0).
当f(x0)=0时,虽然函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点x0,但f(x)在x0两侧同号,不满足F(x)在区间(0,1)内有且只有一个极值点的要求.
由于f
(1)=a+cos1,f(0)=a,显然f
(1)>
f(0).
若函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点x1,且f(x)在x1两侧异号,
则只需满足:
.即,解得-cos1a<
0.
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- 数学 北京市 101 中学 三月 考试题