高中数学必修2知识点归纳docWord下载.docx
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(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:
“长对正”,“高平齐”,“宽相等”
2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图).观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤:
①建立适当直角坐标系(尽可能使更多的点在坐标轴上)
②建立斜坐标系,使=450(或1350),注意它们确定的平面表示水平平面;
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X‘轴,且长度保持不变;
在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y‘轴,且长度变为原来的一半;
一般地,原图的面积是其直观图面积的倍,即
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积;
⑵圆锥侧面积:
⑶圆台侧面积:
⑷体积公式:
;
⑸球的表面积和体积:
.一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。
第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理1:
如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理1的作用:
判断直线是否在平面内
2、公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
若A,B,C不共线,则A,B,C确定平面
推论1:
过直线的直线外一点有且只有一个平面
若,则点A和确定平面
推论2:
过两条相交直线有且只有一个平面
若,则确定平面
推论3:
过两条平行直线有且只有一个平面
公理2及其推论的作用:
确定平面;
判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用:
(1)判定两个平面是否相交的依据;
(2)证明点共线、线共点等。
4、公理4:
也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行.
公理4作用:
证明两直线平行。
5、定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
作用:
该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系:
平行、相交、异面。
(1)没有任何公共点的两条直线平行
(2)有一个公共点的两条直线相交
(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
7、线面位置关系:
(1)直线在平面内,直线与平面有无数个公共点;
(2)直线和平面平行,直线与平面无任何公共点;
(3)直线与平面相交,直线与平面有唯一一个公共点;
8、面面位置关系:
平行、相交。
9、线面平行:
(即直线与平面无任何公共点)
⑴判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
(只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)
证明两直线平行的主要方法是:
①三角形中位线定理:
三角形中位线平行并等于底边的一半;
②平行四边形的性质:
平行四边形两组对边分别平行;
③线面平行的性质:
如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;
④平行线的传递性:
⑤面面平行的性质:
如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;
⑥垂直于同一平面的两直线平行;
⑵直线与平面平行的性质:
(上面的③)
10、面面平行:
(即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
判定定理的推论:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两平面平行
(2)两平面平行的性质:
性质Ⅰ:
如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;
性质Ⅱ:
平行于同一平面的两平面平行;
性质Ⅲ:
夹在两平行平面间的平行线段相等;
性质Ⅳ:
两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;
11、线面垂直:
⑴定义:
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
⑶性质Ⅰ:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
性质Ⅱ:
垂直于同一直线的两平面平行
12、面面垂直:
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)
⑶性质:
两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
证明两直线垂直和主要方法:
①利用勾股定理证明两相交直线垂直;
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;
③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直);
④利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”,“线斜垂”)
④利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。
空间角及空间距离的计算
1.异面直线所成角:
使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一条上取一点,过该点作另一条直线平行线,
2.
斜线与平面成成的角:
斜线与它在平面上的射影成的角。
如图:
PA是平面的一条斜线,A为斜足,O为垂足,OA叫斜线PA在平面上射影,为线面角。
3.二面角:
从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。
二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:
①明确构成二面角两个半平面和棱;
②明确二面角的平面角是哪个?
而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)
4.异面直线间的距离:
指夹在两异面直线之间的
公垂线段的长度。
如图是两异面直线间的距离
(异面直线的公垂线是唯一的,指与两异面直线垂直且相交的直线)
5.点到平面的距离:
指该点与它在平面上的
射影的连线段的长度。
O为P在平面上的射影,
线段OP的长度为点P到平面的距离
求法通常有:
定义法和等体积法
等体积法:
就是将点到平面的距离看成是
三棱锥的一个高。
如图在三棱锥
中有:
\
第三章直线与方程
1.直线方程的概念:
一条直线与一个二元一次方程有如下两个对应:
①直线上任意一点的坐标都满足方程;
②以方程的解为坐标的点都在直线上。
则称方程为直线的方程,直线为方程的直线。
2.直线倾斜角的定义:
把直线向上的方向与轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。
3.直线倾斜角的范围:
,当直线与轴平行或者是重合时,倾斜角为
4.直线斜率的定义:
倾斜角不为直线,倾斜角的正切值叫直线的斜率。
记作
当倾斜角为时直线的斜率不存在。
5、直线过点,则直线的斜率为:
6、直线方程的表示形式:
⑴点斜式:
,
当斜率不存在时,直线与轴垂直,倾斜角为,
此时直线方程为:
,如右图,特别地轴所在
直线方程为。
当直线斜率时,直线与轴平行或者是重合
直线方程为:
,轴所在的直线方程为。
⑵斜截式:
(为直线在轴上的截距)
当直线过轴上一定点时,通常设直线方程为:
,例如直线过定点,设。
当直线过轴上一定点()时,,通常设直线方程为:
,例如直线过定点,设
⑶两点式:
⑷截距式:
一般地,问题中出现两个截距时,通常设直线方程为。
方程中分别表示直线的横截距和纵截距,
一般地,在直线方程中,令可求得横截距,令可求得纵截距
⑸一般式:
,所有直线方程都可化为一般式。
当,直线的斜率,当时,直线斜率不存在,方程可化为
7、两直线的位置关系的判定:
当两直线倾斜角相等时,即时,两直线平行;
当两直线倾斜角满足时,两直线垂直;
当两直线倾斜角不相当时,两直线相交。
对于直线有:
⑴;
⑵和相交;
⑶和重合;
⑷.
对于直线有:
⑴;
(2)和相交;
⑶和重合;
8、交点与距离公式
(1)两直线的交点坐标需将两直线方程组成方程组求解,即:
①
当①有唯一解时,两直线相交;
当①无解时,两直线平行;
当①有无数个解时,两直线重合。
(2)过两直线交点的直线系方程为:
将含有一个参数的直线方程化为直线系方程
的样式就可解决直线恒过定点问题。
(3)两点间距离公式:
(4)点到直线距离公式:
(5)两平行线间的距离公式:
对于直线
,与间的距离为:
(6)线段中点坐标公式:
,,是线段AB的中点。
第四章圆与方程
1、圆的第一定义:
到定点的距离等于定长的点的集合.
圆的第二定义:
到两个定点的距离之比等于常数(不等于1)的点的集合。
2、
圆的标准方程:
,圆心为,半径为。
3、圆的一般方程:
。
圆心为,半径。
当时,方程表示点
当时,方程不表示任何图形。
4、点与圆的位置关系的判定:
(1)当满足时点P在圆上;
(2)当满足时点P在圆内;
(3)当满足时点P在圆外;
5、求圆方程的方法,主要有两种:
(1)待定系数法:
使用待定系数法求圆方程的一般步骤:
①根据提设,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;
③解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。
(2)利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标;
①三角形外心的定义:
三角形三边垂直平分线的交点就是外心;
②垂径定理:
垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧;
③弦的垂直平分线必经过圆心,因此求出两条弦的垂直平分线方程,联立解方程组求
得圆心坐标,而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径,最终写出圆的标准方程。
6、直线与圆的位置关系的判定:
几何法
(1)相切:
圆心到直线的距离=;
(2)相交:
圆心到直线的距离;
(3)相离:
圆心到直线的距离。
代数法:
将直线方程与圆的方程联立组成方程组①
(1)若方程①有唯一一个解,直与圆相切;
(2)若方程①有唯两个不等实数个解,直线与圆相交;
(3))若方程①有无解,直线与圆相离。
特别地,当直线与圆相离时,为圆上
的动点,为点到直线的距离,设
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