高中数学第二章推理与证明222反证法同步学案新人教A选修17498Word格式.docx
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(2)一般地,以下几种情况宜用反证法:
结论本身是以否定形式出现的命题,结论是以“至多”“至少”形式出现的命题,关于唯一性、存在性的问题,或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等.
梳理 反证法的证题步骤
(1)反设:
假设所要证明的结论不成立,即假设结论的反面成立.
(2)归谬:
由“反设”出发,通过正确的推理,得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定理、公理、定义、事实矛盾等.
(3)结论:
因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而证明了结论成立.
1.反证法属于间接证明问题的方法.( √ )
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( ×
)
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( √ )
类型一 反证法概念的理解
例1 反证法是( )
A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法
B.对其否命题的证明
C.对其逆命题的证明
D.分析法的证明方法
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 A
解析 反证法是先否定结论,在此基础上,经过正确的推理,最后得出矛盾,从而证明了原命题成立.
反思与感悟 对于反证法,其实质是先否定结论,根据否定后的结论,连同题目条件,推出矛盾,从而侧面说明原命题成立.
跟踪训练1
(1)命题“在△ABC中,若∠A>
∠B,则a>
b”的结论的否定应该是( )
A.a<
bB.a≤b
C.a=bD.a≥b
(2)用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,则a,b,c中存在偶数”时,下列假设正确的是________.(填序号)
①假设a,b,c都是偶数;
②假设a,b,c都不是偶数;
③假设a,b,c至多有一个是偶数;
④假设a,b,c至多有两个是偶数.
答案
(1)B
(2)②
解析
(1)“a>
b”的否定应为“a=b或a<
b”,即“a≤b”.
(2)“a,b,c中存在偶数”的反面就是“a,b,c中没有偶数”,即“a,b,c都不是偶数”.
类型二 反证法的应用
命题角度1 证明一般性命题
例2 用反证法证明:
已知a,b均为有理数,且和都是无理数,求证:
+是无理数.
题点 反证法的应用
证明 假设+为有理数,易知(+)(-)=a-b,
由a>
0,b>
0,得+>
0,
∴-=.
∵a,b为有理数,且+为有理数,
∴为有理数,即-为有理数,
∴(+)+(-)为有理数,
即2为有理数,
从而也应为有理数,这与为无理数矛盾.
∴+是无理数.
反思与感悟 用反证法证明数学命题步骤:
第一步,写出与命题结论q相矛盾的假设綈q;
第二步,由綈q出发,应用正确的推理,得出矛盾;
第三步,断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题.
跟踪训练2 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:
,,不成等差数列.
证明 假设,,成等差数列,
则+=2,即a+c+2=4b.
又b2=ac,即b=,∴a+c+2=4,
∴(-)2=0,即=,
从而a=b=c,这与a,b,c不成等差数列矛盾,
故,,不成等差数列.
命题角度2 证明“至多、至少、唯一性”问题
例3 若x,y均是正实数,且x+y>
2,求证:
<
2和<
2中至少有一个成立.
证明 假设<
2都不成立,
∴≥2且≥2.
又∵x,y都是正实数,
∴相加得2+x+y≥2(x+y),
∴x+y≤2,与x+y>
2矛盾,
∴假设不成立,原命题结论正确.
反思与感悟 常用的“原结论词”与“反设词”如下表:
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
跟踪训练3 已知函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,求证:
方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根.
证明 假设方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有两个实根α,β,
即f(α)=f(β)=0,且α≠β,不妨设α>
β,
∵f(x)在区间[a,b]上单调递增,
∴f(α)>
f(β),这与f(α)=f(β)=0矛盾,
∴f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根.
命题角度3 证明否定性命题
例4 已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证:
,,不可能构成等差数列.
证明 假设,,成等差数列,则=+,
∴2ac=bc+ab.①
又a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c.②
∴2ac=b(a+c)=b·
2b,
∴b2=ac.③
由②,得4b2=(a+c)2,
把③代入上式得4ac=(a+c)2,
∴(a-c)2=0,∴a=c.
把a=c代入②得b=a,故a=b=c,
∴公差为0,这与已知矛盾.
∴,,不可能成等差数列.
反思与感悟 证明否定性问题常用反证法,例如证明异面直线,可以先假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.
跟踪训练4 设0<
a<
1,0<
b<
c<
1,求证:
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于.
证明 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于,
则(1-a)b>
,(1-b)c>
,(1-c)a>
,
所以(1-a)b·
(1-b)c·
(1-c)a>
即(1-a)a·
(1-b)b·
(1-c)c>
.
因为(1-a)a≤2=,(1-b)b≤2=,(1-c)c≤2=,
所以(1-a)a·
(1-c)c≤,
这与(1-a)a·
矛盾.
所以假设不成立,所以原结论成立.
1.以下各数不能构成等差数列的是( )
A.3,4,5B.,,
C.3,6,9D.,,
答案 B
解析 假设,,成等差数列,则2=+,即12=7+2,此等式不成立,故,,不能构成等差数列.
2.异面直线在同一个平面上的射影不可能是( )
A.两条平行直线B.两条相交直线
C.一个点与一条直线D.同一条直线
答案 D
解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A与B1C1是两条异面直线,它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC,故排除C;
BA1与B1C1是两条异面直线,它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC,故排除B;
BA1与C1D1是两条异面直线,它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD,故排除A.故选D.
3.由四种命题的关系可知,反证法的实质是通过________来证明原命题的正确性.
答案 逆否命题
4.用反证法证明命题:
“若a,b是实数,且|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”时,应作的假设是________________.
答案 a≠1或b≠1
解析 结论“a=b=1”的含义是a=1且b=1,故其否定应为“a≠1或b≠1”.
5.证明:
方程2x=3有且仅有一个实根.
证明 ∵2x=3,∴x=,
∴方程2x=3至少有一个实根.
设x1,x2是方程2x=3的两个不同实根,
则
由①-②得2(x1-x2)=0,∴x1=x2,
这与x1≠x2矛盾.
∴方程2x=3有且仅有一个实根成立.
用反证法证题要把握三点:
(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( )
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
2.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为( )
A.a,b,c都是偶数
B.a,b,c都是奇数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
解析 自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:
3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为“a,b,c中都是奇数或至少有2个偶数”.
3.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )
A.无解B.两解
C.至少两解D.无解或至少两解
解析 “唯一”的意思是“有且只有一个”,其反面是“没有或至少有两个”.
4.已知α∩β=l,a⊂α,b⊂β,若a,b为异面直线,则( )
A.a,b都与l相交
B.a,b中至少有一条与l相交
C.a,b中至多有一条与l相交
D.a,b都不与l相交
解析 逐一从假设选项成立入手分析,易得B正确.
5.“集合M不是集合N的子集”的充要条件是( )
A.若x∈M,则xD∈/N
B.若x∈N,则x∈M
C.存在x1∈M,使得x1∈N,且存在x2∈M,x2D∈/N
D.存在x0∈M,使得
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