高中数学人教A版选修21数学选修21人教A版文档格式.docx
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D.既不充分又不必要条件
若a+b=0,则a=-b,所以a∥b,反之若a∥b,不一定有a+b=0.故选A.
A
3.若椭圆两焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),椭圆的弦AB过点F1,且△ABF2的周长为20,那么该椭圆的方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
A
4.设|a|=3,|b|=6,若a·
b=9,则〈a,b〉等于( )
A.90°
B.60°
C.120°
D.45°
B
5.以双曲线-=1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A.x2+y2-10x+9=0B.x2+y2-10x+16=0
C.x2+y2+10x+16=0D.x2+y2+10x+9=0
因为c==5,所以双曲线的右焦点为(5,0),渐近线为y=±
x,即4x±
3y=0,点(5,0)到渐近线的距离为d==4,所以所求圆的半径为r=d=4,所以圆的方程为(x-5)2+y2=16.故选A.
6.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是( )
A.=++B.=2--
C.=++D.=++
D
7.已知向量a=(1,1,-2),b=,若a·
b≥0,则实数x的取值范围为( )
A.B.
C.(-∞,0)∪D.(-∞,0]∪
8.已知F1,F2是椭圆+=1(a>
b>
0)的两个焦点,若在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=120°
,则椭圆离心率的范围是( )
A.B.C.D.
设椭圆一个短轴的顶点为B,则∠F1PF2是椭圆上的点与焦点连线所成角的最大角,依题意有60°
≤∠F1PF2<
90°
,所以sin∠F1PF2≥sin60°
=,即≥,又<1,所以≤<1.故选D.
D
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)
9.椭圆+=1的离心率为________.
10.已知a=(2,-3,1),b=(4,-6,x),若a⊥b,则x等于________.
-26
11.命题“若x2-4x+3=0,则x=1或x=3”的逆否命题为______________________.
若x≠1且x≠3,则x2-4x+3≠0
12.以下命题:
①以直角三角形的边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③一个平面截圆锥.得到一个圆锥和一个圆台.
其中真命题的个数是________个.
13.若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆的标准方程是________.
抛物线的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,则圆心
到准线的距离为2,则圆的半径为=,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=13.
(x-1)2+y2=13
14.下列四个命题:
①∀x∈R,x2+x+1≥0;
②∀x∈Q,x2+x-是有理数;
③∃α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ;
④∃x,y∈Z,使3x-2y=10.
所有真命题的序号是________.
①②显然正确;
对于③,若α=,β=0,则sin(α+β)=1,sinα+sinβ=1+0=1,等式成立,所以③正确;
对于④,x=4,y=1时,3x-2y=10成立,所以④正确.故填①②③④.
①②③④
三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)命题p:
关于x的不等式x2+2ax+4≥0对于一切x∈R恒成立,命题q:
∀x∈[1,2],x2-a≥0,若p∨q为真,p∧q为假,求实数的取值范围.
设g(x)=x2+2ax+4,由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对于一切x∈R恒成立,所以g(x)函数的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2.
若q为真命题,a≤x2恒成立,即a≤1.由于p或q为真,p且q为假,可知p、q一真一假.
①若p真q假,则所以1<a<2;
②若p假q真,则所以a≤-2;
综上可知,所求实数a的取值范围是{a|1<a<2或a≤-2}.
16.(本小题满分12分)直线l:
y=kx+1与椭圆C:
x2+=1交于A、B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点),如右图所示.
(1)当k=-1时,求AB的长;
(2)当k变化时,求点P的轨迹方程.
(1)当k=-1时,
联立方程组解之得或
即A、B的坐标分别为,(1,0).
∴|AB|==.
(2)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
则E.
联立方程组
整理得(k2+2)x2+2kx-1=0,
由此得x1+x2=-,
y1+y2=k(x1+x2)+2=.
由点E是AB的中点,有
消去k得2x2+y2-2y=0,这就是点P的轨迹方程.
17.(本小题满分14分)如右图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(1)证明:
AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成的角;
(3)证明:
面AED⊥面A1FD1.
方法一 以点D为原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴,建立如下图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1),F(0,1,0).
∴=(-2,0,0),=(0,1,-2),=(0,2,1).
∵·
=0,
∴AD⊥D1F.
(2)解析:
∴AE与D1F所成的角为90°
.
由
(1)知AD⊥D1F,
由
(2)知AE⊥D1F,
又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.
又因为D1F⊂面A1FD1,
所以面AED⊥面A1FD1.
方法二
(1)证明:
∵ABCDA1B1C1D1是正方体,
∴AD⊥面CDD1C1,
又D1F⊂面CDD1C1,
∴AD⊥D1F.
如下图,取AB中点G,连接A1G,FG.
因为F是CD的中点,所以GF与AD平行且相等.
又A1D1与AD平行且相等,所以GF与A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,
∴A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角或其补角.
因为E是BB1的中点,
所以Rt△A1AG≌Rt△ABE.
所以∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°
,即直线AE与D1F所成的角为直角.
所以面AED⊥面A1FD1.
18.(本小题满分14分)(2013·
广东卷)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°
,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.
A′O⊥平面BCDE;
(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值.
在图2中连接AO交DE于点G,在图2中连接A′G,
因为A′G⊥DE,OG⊥BC,BC∥DE,A′G∩OG=G,
所以BC⊥平面A′OG,又A′O⊂平面A′OG,所以BC⊥A′O.
连接OD,在△OCD中,
由余弦定理得OD2=OC2+CD2-2OC·
CDcos45°
=32+2-2×
3×
×
=5,
所以OD=,因为AC=AB=3,所以A′O2+OD2=A′D2,
所以A′O⊥OD,OD∩OG=O,
所以A′O⊥平面BCDE.
以O点为原点,建立空间直角坐标系,如图所示.
则A′(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),
所以=(0,3,),=(-1,2,),设平面A′CD的法向量n=(x,y,z),
则
即
解得
令x=1,得n=(1,-1,).
由图2知,=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,
所以cos〈n,〉===,
所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为.
19.(本小题满分14分)已知椭圆方程为+=1(a>b>0),它的一个顶点为M(0,1),离心率e=.
(1)求椭圆方程;
(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=3.求证:
直线AB过定点,并求出直线AB的斜率k的取值范围.
(1)依题意,得解得
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+t,代入椭圆方程,
得(3k2+1)x2+6ktx+3(t2-1)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1·
x2=,
由k1+k2=3,得+=3,①
又y1=kx1+t,y2=kx2+t,②
由①,②得2k+(t-1)·
=3,化简,得t=.
则直线AB的方程为y=kx+=k(x+)-1,
所以直线AB过定点.
又由于直线AB和椭圆有两个不同的交点,
则Δ=36k2t2-12(3k2+1)(t2-1)>0,
又t=,解得直线AB的斜率的取值范围是k<-或k>0.
20.(本小题满分14分)(2013·
福建卷)如图
,在抛物线E:
y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心|OC|为半径作圆,设圆C与准线l的交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;
(2)若|AF|2=|AM|·
|AN|,求圆C的半径.
(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),
所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.
所以|MN|=2=2=2.
(2)设C,则圆的方程为2+(y-y0)2=+y,
即x2-x+y2-2y0y+1+=0.
由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则:
由|AF|2=|AM|·
|AN|,得|y1y2|=4,
所以+1=4,解得y0=±
,此时Δ>
0,
所以圆心C的坐标为或,
从而|CO|2=,|CO|=,即圆的半径为.
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