山东省诸城市桃林镇桃林初中届中考数学压轴题专项汇编专题16对角互补模型附答案Word格式文档下载.docx
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从而△MCD≌△NCE(ASA),
故CD=CE.
易证四边形MONC为正方形.
所以OD+OE=OD+ON+NE=2ON=OC.
所以.
方法二:
如图,过C作CF⊥OC,交OB于点F.
易证∠DOC=∠EFC=45°
,CO=CF,∠DCO=∠ECF.
所以△DCO≌△ECF(ASA)
所以CD=CE,OD=FE,
可得OD+OE=OF=.
【拓展】如图,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,则:
(2)OE-OD=OC;
如图,证明同上.
2.全等型之“120”
如图,∠AOB=2∠DCE=120°
,OC平分∠AOB,则:
(2)OD+OE=OC;
(3).
证明 方法一:
所以
易证△MCD≌△NCE(ASA),
所以CD=CE,OD+OE=2ON=OC.
如图,以CO为一边作∠FCO=60°
,交OB于点F,则△OCF为等边三角形.
易证△DCO≌△ECF(ASA).
所以CD=CE,OD+OE=OF=OC,
∴S△OCD+S△OCE=S△OCF=OC2
【拓展】如图,当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时,则:
(2)OD-OE=OC;
(3)S△OCD-S△OCE=OC2
3、全等型之“任意角”
如图,∠AOB=2,∠DCE=180°
-2,OC平分∠AOB,则:
(2)OD+OE=2OC·
cos;
(3)S△ODC+S△OEC=OC2·
sincos
证明:
方法一:
如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N
易证△MCD≌△NCE(ASA)
∴CD=CE,OD+OE=2ON=2OC·
cos
∴S△ODC+S△OEC=2S△ONC=OC2·
如图,以CO为一边作∠FCO=180°
-2,交OB于点F.
易证△DCO≌△ECF(ASA)
∴CD=CE,OD+OE=OF=2OC·
∴S△ODC+S△OEC=S△OCF=OC2·
(2)OD-OE=2OC·
(3)S△ODC-S△OEC=OC2·
如图,证明同上
4、相似性之“90°
,∠COB=,则CE=CD·
tan
如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M、N
易证△MCD∽△NCE,∴,即CE=CD·
如图,过点C作CF⊥OC,交OB于点F.
易证△DCO∽△ECF,∴,即CE=CD·
方法三:
如图,连接DE.
易证D、O、E、C四点共圆
∴∠CDE=∠COE=,故CE=CD·
【拓展】如图,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,则CE=CD·
例题讲解
例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,在∠BAC所对弧BC上任取一点D,连接AD,BD,CD.
(1)如图1,若∠BAC=120°
,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么?
(2)如图2,若∠BAC=,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么?
解:
(1)BD+CD=AD
如图3,过点A分别向∠BDC的两边作垂线,垂足分别为E、F.
由题意可得∠ADB=∠ADC=30°
易证△AEB≌△AFC
∴BD+CD=2DE=AD
⑵BD+CD=2ADsin.
如图4,作∠EAD=∠BAC,交DB的延长线于点E.
则△EBA≌△DCA,所以BE=CD,AE=AD.
作AF⊥DE于点F,则∠FAD=.所以BD+CD=DE=2DF=2ADsin.
例2如图1,将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点F.
⑴求证:
PA=PE;
⑵如图2,将⑴中的正方形变为矩形,其余不变,且AD=10,CD=8,求AP:
PE的值;
⑶如图3,在⑵的条件下,当P滑动到BD的延长线上时,AP:
PE的值是否发生变化?
⑴如图4,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为M,N.
则PM=PN,∠MPN=90°
,由已知条件可得∠APE=90°
,所以∠APM=∠EPN,所以△APM≌△EPN.
故AP=PE.
⑵如图5,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为M,N.则PM∥AD,PN∥CD.
所以△BPM∽△BDA,△BNP∽△BCD.可得,所以.
易证△APM∽△EPN,所以.
⑶AP:
PF的值不变.[如图,理由同⑵]
进阶训练
1.如图,四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD,其中∠BAD和∠BCD都是直角,另一条对角线AC的长度为2,则四边形ABCD的面积为_________.
答案:
四边形ABCD的面积为2.
【提示】易证A、B、C、D四点共圆,则∠BCA=∠BDA=∠ABD=∠ACD,由“全等型之‘90°
’”的结论可得S四边形ABCD=AC2=2.
2.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°
,D是BC边的中点,∠EDF=120°
,DE与AB边相交于点E,DF与AC边(或AC边的延长线)相交于点F.
⑴如图1,DF与AC边相交于点F,求证:
BE+CF=AB;
⑵如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与AC边的延长线交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:
BE+CF=(BE-CF).
略.
【提示】⑴过点D作DG∥AC交AB于点G,证△DEG≌△DFC,从而BE+CF=BE+EG=BG=AB.
⑵过点D作DG∥AC交AB于点G,同⑴可得BE-CF=AB=DC=,延长AB至点H,使得BH=CF,则DH=DF=DE,从而BE+CF=HE=DE=×
DN=2DN,所以BE+CF=(BE-CF).
3.在菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠MON+∠BCD=180°
,∠MON绕点O旋转,射线OM交BC于点E,射线ON交CD于点F,连结EF.
⑴如图1,当∠ABC=90°
时,△OEF的形状是____;
⑵如图2,当∠ABC=60°
时,请判断△OEF的形状,并说明理由;
⑶如图3,在⑴的条件下,将∠MON的顶点移动到AO的中点O'
处,∠MO'
N绕点O'
旋转,仍满足∠MO'
N+∠BCD=180°
,射线O'
M交直线BC于点E,射线O'
N交直线CD于点F,当BC=4,且时,求CE的长.
⑴等腰直角三角形;
⑵△OEF是等边三角形;
⑶线段CE的长为3+3或3-3.
【提示】⑵由“全等型之‘120°
’”的结论可得OE=OF.⑶两种情况,如图:
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