圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法文档格式.doc
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使,求离心率e的取值范围。
解:
设
因为,所以
将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得
二、利用曲线的几何性质数形结合,构造不等关系
例2.直线L过双曲线的右焦点,斜率k=2。
若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。
如图1,若,则L与双曲线只有一个交点;
若,则L与双曲线的两交点均在右支上,
例3.已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。
若△ABF2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围。
如图2,因为△ABF2是等腰三角形,所以只要∠AF2B是锐角即可,即∠AF2F1<
45°
。
则
三、利用定义及圆锥曲线共同的性质,寻求不等关系
例4.已知双曲线的左右焦点分别为、,点P在双曲线的右支上,且,求此双曲线的离心率e的取值范围。
因为P在右支上,所以
又
得
所以
又
所以
例5.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,P是双曲线右支上一点,P到右准线的距离为d,若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列,求双曲线的离心率的取值范围。
由题意得因为,所以,从而
,。
又因为P在右支上,所以。
。
四、利用判断式确定不等关系
例6.例1的解法一:
由椭圆定义知
例7.设双曲线与直线相交于不同的点A、B。
求双曲线的离心率e的取值范围。
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