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不确定性与统计规律性不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象的统研究和揭示随机现象的统计规律性的科学计规律性的科学研究方式:
从数量的侧面研究随机现象统计规律研究方式:
从数量的侧面研究随机现象统计规律(通过数据去研究)(通过数据去研究)(通过数据去研究)(通过数据去研究)“八月十五云遮月,正月十五雪打灯八月十五云遮月,正月十五雪打灯八月十五云遮月,正月十五雪打灯八月十五云遮月,正月十五雪打灯”概率论起源概率论起源概率统计是一门古老的学科,它起源于十七世纪资本主义上升的初期。
物质生活的丰富,人们开始重视精神娱乐。
在桥牌活动中,经常要判断某种花色在对方手中的分配;
在掷色子中,要判断哪点出现的次数最多。
概率论与数理统计正是从研究这类问题开始的。
尽管发展较早,但形成一门严谨的学科是在本世纪三十年代,前苏联数学家柯尔莫奇洛夫给出了概率的公理化定义后,才得以迅速发展。
随着计算机的问世,六十年代后,形成了许多新的统计分支:
时间序列分析,统计推断等等。
目前它几乎遍及所有的学科技术领域。
第一章第一章随机事件随机事件1.11.1基本概念基本概念1.1.11.1.1随机试验与事件随机试验与事件1.1.21.1.2随机事件及其运算随机事件及其运算1.1.1随机试验与事件随机试验与事件随机试验(试验)的特点:
随机试验(试验)的特点:
1.可在相同条件下重复进行;
可在相同条件下重复进行;
2.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现,但能确定所有的可能结果。
现,但能确定所有的可能结果。
试验常用试验常用“E”表示表示EE11:
掷一颗骰子,观察所掷的点数是几掷一颗骰子,观察所掷的点数是几;
EE22:
工商管理部门抽查产品是否合格;
:
EE33:
观察某城市某个月内交通事故发生的次数观察某城市某个月内交通事故发生的次数;
EE44:
已知物体长度在:
已知物体长度在aa和和bb之间,测量其长度;
之间,测量其长度;
EE55:
对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验,观察其使用寿命观察其使用寿命;
EE66:
对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小观察其使用寿命是否小于于200200小时。
小时。
(随机)试验的例子(随机)试验的例子样本空间样本空间:
试验的试验的所有可能结果所组成所有可能结果所组成的集合称为样本空间。
记为:
的集合称为样本空间。
样本点样本点:
试验的单个结果或样本空间的试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。
单元素称为样本点。
EE11:
合格品,不合格品合格品,不合格品EE33:
观察某市某月内交通事故发生的次数观察某市某月内交通事故发生的次数;
物体长度在物体长度在aa和和bb之间,测量其长度;
小于小于200200小时,不小于小时,不小于200200小时小时(随机)试验的例子随机事件随机事件:
样本空间的任意一个样本空间的任意一个子集子集称为随机事件称为随机事件,简称简称“事件事件”.记作记作A、B、C。
任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.基本事件基本事件:
一个随机事件只含有一个试验结果。
事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集当且仅当试验的结果是子集A中的元素。
中的元素。
两个特殊事件两个特殊事件:
1.必然事件必然事件:
样本空间包含了所有的样本:
样本空间包含了所有的样本点,且是自身的一个子集,在每次试验中总是发点,且是自身的一个子集,在每次试验中总是发生。
生。
2.不可能事件不可能事件:
不包含任何的样本点,也是样本:
不包含任何的样本点,也是样本空间的一个子集,在每次试验中总不发生。
空间的一个子集,在每次试验中总不发生。
注意注意:
样本点和基本事件的区别。
解:
为基本事件为基本事件例例1.1.1掷一颗色子,用掷一颗色子,用表示所掷表示所掷点数。
点数。
B表示表示“偶数点偶数点”,C表示表示“奇数点奇数点”,D表表示示“四点或四点以上四点或四点以上”。
写出样本空间,指出哪些是基本事件,表示写出样本空间,指出哪些是基本事件,表示B,C,D。
1.1.2、事件的关系与运算、事件的关系与运算既然事件是一个集合,因此有关事件既然事件是一个集合,因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。
间的关系、运算及运算规则来处理。
是试验是试验E的样本空间,的样本空间,A,B,C是事件是事件1.包含关系:
包含关系:
“事件事件A发生必有事件发生必有事件B发生发生”记为记为AB,称,称A包含于包含于B。
ABAB且且BA.2.2.和事件:
和事件:
“事件事件事件事件AA与事件与事件与事件与事件BB至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生”,记作,记作,记作,记作AABB推广:
推广:
n个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生,记作至少有一个发生,记作3.积事件积事件:
事件事件A与事件与事件B同时发生,记作同时发生,记作ABABA和和B的公共部分的公共部分推广:
n个事件个事件A1,A2,An同时发生,记作同时发生,记作A1A2An互互斥的事件(也称互不相容事件):
斥的事件(也称互不相容事件):
即事件即事件A与与事件事件B不可能同时发生。
不可能同时发生。
AB4.差事件差事件:
AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件A发发生生而事件而事件B不发生不发生AA去除去除AA和和BB的公共部分的公共部分互逆的互逆的事件事件:
AB,且且AB注意注意:
对立一定互斥,互斥不一定对立:
对立一定互斥,互斥不一定对立事件的运算事件的运算1、交换律:
、交换律:
ABBA,ABBA2、结合律、结合律:
(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)3、分配律、分配律:
(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC)4、对偶、对偶(DeMorgan)律律:
例:
甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以例:
甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以AA、BB、CC分别表示甲、乙、丙命中目标,试用分别表示甲、乙、丙命中目标,试用AA、BB、CC的的运算关系表示下列事件:
运算关系表示下列事件:
某人向目标射击,某人向目标射击,以以AA表示事件表示事件“命中目标命中目标”,PP(AA)=?
考虑事件在一次试验中发生可能性的大小的数考虑事件在一次试验中发生可能性的大小的数字度量字度量概率。
概率。
1.2事件的概率事件的概率定义定义1.2.1在相同条件下,事件在相同条件下,事件A在在n次重复试验次重复试验中中发生发生m次,则次,则称称比值比值m/n称为事件称为事件A在在n次试验次试验中中发生发生的的频率频率,记为,记为fn(A).1.2.1事件的频率事件的频率频率的性质:
频率的性质:
(1)非负性;
非负性;
0fn(A)1;
(2)规范性:
规范性:
fn()1;
fn()=0(3)可加性:
若可加性:
若AB,则则fn(AB)fn(A)fn(B).注意注意:
称为:
称为“n次试验发生的频率次试验发生的频率”,是因为随着,是因为随着n的取值不的取值不同,同,fn(A)的值有可能不同。
的值有可能不同。
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时,出现正反面的机会均等。
实验者实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200059810.4984K.Pearson24000120120.5005从表中不难发现从表中不难发现:
事件:
事件A在在n次试验中发生的频率具次试验中发生的频率具有随机波动性。
当有随机波动性。
当n较小时,波动的幅度较大;
当较小时,波动的幅度较大;
当n较大较大时,波动的幅度较大;
最后随着时,波动的幅度较大;
最后随着n的逐渐增大,频率的逐渐增大,频率fn(A)逐渐稳定于固定值逐渐稳定于固定值0.5.实践证明实践证明:
当试验次数:
当试验次数n增大时,增大时,fn(A)逐渐逐渐趋向一个稳定值趋向一个稳定值。
可将此稳定值记作可将此稳定值记作P(A),作为,作为事件事件A的概率。
的概率。
但是在一定条件下做重复试验,其结果可能但是在一定条件下做重复试验,其结果可能不同;
并且没有必要,不可能对每个事件都做大不同;
并且没有必要,不可能对每个事件都做大量的试验,从中得到频率的稳定值。
量的试验,从中得到频率的稳定值。
我们从频率的性质出发,给出度量事件发生我们从频率的性质出发,给出度量事件发生的可能性大小的量的可能性大小的量概率概率的定义及性质。
的定义及性质。
1.2.2.概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义1.2.2若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A,定义一个实数P(A)与之对应,集合函数P(A)满足条件:
(1)非负性:
P(A)0;
P()1;
(3)可列可加性:
若事件A1,A2,,两两互斥,即AiAj,(ij),i,j1,2,有P(A1A2)P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率概率。
概率的性质:
(1)P()=0;
(2)有限有限可加性可加性:
设事件A1,A2,An两两斥,即AiAj,(ij),i,j1,2,n,则有P(A1A2An)P(A1)P(A2)+P(An);
(3)互补性互补性:
P(A)1P(A);
(4)单调不减性单调不减性:
若事件,则P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)注意注意:
一般情况下,:
一般情况下,P(B-A)=P(B)-P(AB)(5)加法公式加法公式:
对任意两事件A、B,有P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1,A2,An的情形;
(6)可分性可分性:
对任意两事件A、B,有P(A)P()P(AB).某某市市有有甲甲,乙乙,丙丙三三种种报报纸纸,订订每每种种报报纸纸的的人人数数分分别别占占全全体体市市民民人人数数的的30%,其其中中有有10%的的人人同同时时定定甲甲,乙乙两两种种报报纸纸.没没有有人人同同时时订订甲甲乙乙或或乙乙丙丙报
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