中考数学知识点巩固复习题Word文档下载推荐.docx
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另外,由于折叠操作相当于构造轴对称变换,因此折叠问题中,要充分利用轴对称变换的特性,以获得更多的图形信息.必要时,实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效.
从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的.动态问题一般分两类,一类是代数综合题,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考查.所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分.
【方法点拨】
实践操作问题:
解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题.解答实践操作题的基本步骤为:
从实例或实物出发,通过具体操作实验,发现其中可能存在的规律,提出问题,检验猜想.在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程,利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象,从而发现所得到的结论,进而解决问题.
动态几何问题:
【典型例题】
类型一、图形的折叠
1.如图所示,一个平行四边形纸片ABCD中,E,F分别为BC,CD边上的点,将纸片沿AE,EF折叠,使B,C的对应点B′,C′及点E在同一直线上,则∠AEF=________.
【思路点拨】
纸片沿AE折叠,折叠前后的两个图形关于直线AE对称,所以△AEB与△AEB′全等,对应角相等.同理沿EF折叠的两个三角形的对应角也相等.
【答案】∠AEF=90°
.
【解析】
解:
由轴对称的性质,知∠AEB=∠AEB′,∠CEF=∠C′EF,
而∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°
所以∠AEF-∠AEB′+∠C′EF=90°
【总结升华】
图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用.解题时应抓住折叠前后的图形全等找出对应关系.
举一反三:
【答案】
解:
能.如图所示,取四边形ABCD各边的中点E,F,G,H,连接EG,FH,交点为O.
以EG,FH为裁剪线,EG,FH将四边形ABCD分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四部分,拼接时图中的Ⅰ不动,将Ⅱ,Ⅳ分别绕E,H旋转180°
,将Ⅲ平移,拼成的四边形OO1O2O3即为所求.沿CA方向平移,将点C平移到点A位置.
类型二、实践操作
2.如图,在等腰梯形ABCD中AB∥CD,AB=,DC=,高CE=,对角线AC、BD交于H,平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G;
当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为,被直线RQ扫过的面积为,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒.
(1)填空:
∠AHB=____________;
AC=_____________;
(2)若,求x;
(3)若,求m的变化范围.
(1)如例2图-1所示,平移对角线DB,交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形,BD=PC,BP=DC=.因为等腰梯形ABCD,AB∥CD,所以AC=BD.所以AC=PC.又高CE=,AB=,所以AE=EP=.所以∠AHB=90°
AC=4;
⑵直线移动有两种情况:
及,需要分类讨论.
①当时,有.∴
②当时,先用含有x的代数式分别表示,,然后由列出方程,解之可得x的值;
(3)分情况讨论:
①当时,.
②当时,由,得=.然后讨论这个函数的最值,确定m的变化范围.
【答案与解析】
(1)90°
4;
(2)直线移动有两种情况:
和.
①当时,∵MN∥BD,∴△AMN∽△ARQ,△ANF∽△AQG.
.∴
②当时,如例2图-2所示,
CG=4-2x,CH=1,.
由,得方程,
解得(舍去),.
∴x=2.
(3)当时,m=4
当时,
由,得==.
M是的二次函数,当时,即当时,M随的增大而增大.
当时,最大值m=4.当x=2时,最小值m=3.
∴3≤m≤4.
本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形,相似三角形的性质,二次函数的增减性和最值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时,
(1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常用的方法.
(2)小题直线移动有两种情况:
及,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.
(3)小题仍需要分情况讨论.对于函数,讨论它的增减性和最值是个难点.讨论之前点明我们把这个函数看作“M是的二次函数”对顺利作答至关重要.
3.已知等边三角形纸片ABC的边长为8,D为AB边上的点,过点D作DG∥BC交AC于点G,DE⊥BC于点E,过点G作GF⊥BC于点F,把三角形纸片ABC分别沿DG、DE、GF按图①所示方式折叠.点A、B、C分别落在A′、B′、C′处.若点A′、B′、C′在矩形DEFG内或其边上.且互不重合,此时我们称(即图中阴影部分)为“重叠三角形”.
(1)若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为l的等边三角形),点A、B、C、D恰好落在网格图中的格点上,如图②所示,请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积;
(2)实验探究:
设AD的长为m,若重叠三角形A′B′C′存在,试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积,并写出m的取值范围(直接写出结果,备用图供实验探究使用).
本题是折叠与对称类型操作题,折叠实质为对称变换,故轴对称的性质运用是解本类型题的关键.另外,本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得m的取值范围.
解:
(1)重叠三角形A′B′C′的面积为.
理由:
如题图,△A′B′C′是边长为2的等边三角形.
∴其高为,面积为.
(2)用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积为,m的取值范围是≤m<4.
如图
(1),AD=m,则BD=GC=8-m,
由轴对称的性质知DB′=DB=8-m.DA′=DA=m.
∴A′B′=DB′-DA′=8-m—m=2(4-m),
由△ABC是等边三角形及折叠过程知AA′B′C′是等边三角形.
∴它的高是.
以下求m的取值范围:
如图
(1),若B′与F重合,则C′与E重合.
由折叠过程知BE=EB′=EF.
CF=FC′=FE.∴BE=EF=FC=.
∵∠B=60°
,BD=2BE=,
,即.
若,如图
(2),点B′、C′落在矩形DEFG外,不合题意.
∴.
又由A′B′=2(4-m)>0,得m<4.
∴m的取值范围是.
【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点.
【高清课堂:
图形的设计与操作及运动变换型问题例2】
【变式】阅读下面问题的解决过程:
问题:
已知△ABC中,P为BC边上一定点,过点P作一直线,使其等分△ABC的面积.
解决:
情形1:
如图①,若点P恰为BC的中点,作直线AP即可.
情形2:
如图②,若点P不是BC的中点,则取BC的中点D,联结AP,过点D作DE∥AP交AC于E,作直线PE,直线PE即为所求直线.
问题解决:
如图③,已知四边形ABCD,过点B作一直线(不必写作法),使其等分四边形ABCD的面积,并证明.
如图③,取对角线AC的中点O,联结BO、DO、BD,
过点O作OE∥BD交CD于E,
∴直线BE即为所求直线
类型三、动态数学问题
4.如图①,有一张矩形纸片,将它沿对角线AC剪开,得到△ACD和△A′BC′.
(1)如图②,将△ACD沿A′C′边向上平移,使点A与点C′重合,连接A′D和BC,四边形A′BCD是形;
(2)如图③,将△ACD的顶点A与A′点重合,然后绕点A沿逆时针方向旋转,使点D、A、B在同一直线上,则旋转角为度;
连接CC′,四边形CDBC′是形;
(3)如图④,将AC边与A′C′边重合,并使顶点B和D在AC边的同一侧,设AB、CD相交于E,连接BD,四边形ADBC是什么特殊四边形?
请说明你的理由.
(1)利用平行四边形的判定,对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可;
(2)利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可;
(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC,AD=CE,即可得出答案.
(1)平行四边形;
证明:
∵AD=AB,AA′=AC,∴A′C与BD互相平分,
∴四边形A′BCD是平行四边形;
(2)∵DA由垂直于AB,逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上,
∴旋转角为90度;
∵∠D=∠B=90°
,A,D,B在一条直线上,
∴CD∥BC′,∴四边形CDBC′是直角梯形;
故答案为:
90,直角梯;
(3)四边形ADBC是等腰梯形;
过点B作BM⊥AC,过点D作DN⊥AC,垂足分别为M,N,
∵有一张矩形纸片,将它沿对角线AC剪开,得到△ACD和△A′BC′.∴△ACD≌△A′BC′,
∴BM=ND,∴BD∥AC,
∵AD=BC,∴四边形ADBC是等腰梯形.
此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识,熟练掌握判定定理是解题关键.
图形的设计与操作及运动变换型问题例1】
【变式】△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2,则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为______.
()或().
5.如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=60°
,动点P从A点出发,以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动,直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S(单位:
cm2)与点P移动的时间(单位:
s)的函数如图②所示,则点P从开始移动到停止移动一共用了 秒(结果保留根号).
根据图②判断出AB、BC的长度,过点B作BE⊥AD于点E,然后求出梯形ABCD的高BE,再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度,过点C作CF⊥AD于点F,然后求
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