平行四边形 未知点的确定Word格式.docx
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平行四边形 未知点的确定Word格式.docx
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例题2:
如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,1)、B(4,3)两点.
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
当已知的两点构造的直线与坐标轴不垂直时,利用中点坐标公式构造等式,进而组成二元一次方程组,或未知点的纵坐标与已知点纵坐标的关系
例3.(2012山西)综合与实践:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
(2)两点在直线异侧时,分别将直线当成边和对角线进行分类讨论如例4
如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形;
(3)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,
使以A,B,E,F为顶点的的四边形为平行四边形?
若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;
若不存在,请说明理由。
三练习题
类型一:
已知三个定点、一个动点的平行四边形存在性问题
1.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
2、已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
(1)填空:
试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,试说明理由.
类型2已知两个定点,再找两个点构成平行四边形
①确定两定点连接的线段为一边,则两动点连接的线段应和已知边平行且相等)
3.已知,如图抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧。
点B的坐标为(1,0),OC=30B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值:
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上。
是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?
若存在,求点P的坐标;
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时,则这条线段可能为平行四边形得边或对角线
4.如图,抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,
求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样
的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F
点坐标;
如果不存在,请说明理由.
例题答案:
例题1
考点:
二次函数综合题.
分析:
如解答图所示:
(1)首先构造全等三角形△AOB≌△CDA,求出点C的坐标;
然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式;
(2)首先求出直线BC与AC的解析式,设直线l与BC、AC交于点E、F,则可求出EF的表达式;
根据S△CEF=S△ABC,列出方程求出直线l的解析式;
(3)首先作出▱PACB,然后证明点P在抛物线上即可.
解答:
解:
(1)如答图1所示,过点C作CD⊥x轴于点D,则∠CAD+∠ACD=90°
.
∵∠OBA+∠OAB=90°
,∠OAB+∠CAD=90°
,
∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD.
∵在△AOB与△CDA中,
∴△AOB≌△CDA(ASA).
∴CD=OA=1,AD=OB=2,
∴OD=OA+AD=3,
∴C(3,1).
∵点C(3,1)在抛物线y=x2+bx﹣2上,
∴1=×
9+3b﹣2,解得:
b=﹣.
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣x﹣2.
(2)在Rt△AOB中,OA=1,OB=2,由勾股定理得:
AB=.
∴S△ABC=AB2=.
设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B(0,2),C(3,1),
∴,
解得k=﹣,b=2,
∴y=﹣x+2.
同理求得直线AC的解析式为:
y=x﹣.
如答图1所示,
设直线l与BC、AC分别交于点E、F,则EF=(﹣x+2)﹣(x﹣)=﹣x.
△CEF中,CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x.
由题意得:
S△CEF=S△ABC,
即:
EF•h=S△ABC,
∴(﹣x)•(3﹣x)=×
整理得:
(3﹣x)2=3,
解得x=3﹣或x=3+(不合题意,舍去),
∴当直线l解析式为x=3﹣时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分.
(3)存在.
如答图2所示,
过点C作CG⊥y轴于点G,则CG=OD=3,OG=1,BG=OB﹣OG=1.
过点A作AP∥BC,且AP=BC,连接BP,则四边形PACB为平行四边形.
过点P作PH⊥x轴于点H,则易证△PAH≌△BCG,
∴PH=BG=1,AH=CG=3,
∴OH=AH﹣OA=2,
∴P(﹣2,1).
抛物线解析式为:
y=x2﹣x﹣2,当x=﹣2时,y=1,即点P在抛物线上.
∴存在符合条件的点P,点P的坐标为(﹣2,1).
点评:
本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点.试题难度不大,但需要仔细分析,认真计算.
满分解答
(1)将A(0,1)、B(4,3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得,c=1.
所以抛物线的解析式是.
(2)在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.
如图2,过点A作AH⊥OB,垂足为H.
在Rt△AOH中,OA=1,,
所以.图2
所以,.
在Rt△ABH中,.
(3)直线AB的解析式为.
设点M的坐标为,点N的坐标为,
那么.
当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.
解方程-x2+4x=3,得x=1或x=3.
因为x=3在对称轴的右侧(如图4),所以符合题意的点M的坐标为(如图3).
图3图4
考点伸展
第(3)题如果改为:
点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
那么求点M的坐标要考虑两种情况:
MN=yM-yN或MN=yN-yM.
由yN-yM=4x-x2,解方程x2-4x=3,得(如图5).
所以符合题意的点M有4个:
,,,.
图5
例题3解答:
(1)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3.
∵点A在点B的左侧,
∴A.B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0).
当x=0时,y=3.
∴C点的坐标为(0,3)
设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),
则,
解得,
∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4).
(2)抛物线上有三个这样的点Q,
①当点Q在Q1位置时,Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为(2,3);
②当点Q在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为﹣3,代入抛物线可得点Q2坐标为(1+,﹣3);
③当点Q在Q3位置时,点Q3的纵坐标为﹣3,代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为(1﹣,﹣3);
综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:
Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3).
(3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC的对称点.连接B′D交直线AC与点M,则点M为所求,
过点B′作B′E⊥x轴于点E.
∵∠1和∠2都是∠3的余角,
∴∠1=∠2.
∴Rt△AOC~Rt△AFB,
由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3,
∴AC=,AB=4.
∴BF=,
∴BB′=2BF=,
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,
∴,即.
∴B′E=,BE=,
∴OE=BE﹣OB=﹣3=.
∴B′点的坐标为(﹣,).
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2(k2≠0).
∴直线B'
D的解析式为:
y=x+,
联立B'
D与AC的直线解析式可得:
∴M点的坐标为(,).
例题4解:
(1)由题意得
解得:
b=2,c=-3,则解析式为:
y=x2+2x-3;
(2)由题意结合图形,
则解析式为:
y=x2+2x-3,解得x=1或x=-3,由题意点A(-3,0),
∴AC=,CD=,AD=,
由AC2+CD2=AD2,所以△ACD为直角三角形;
(3)3,若AB为一边,则EF平行且等于AB等于4,则E、F的纵坐标相等,设F(X1,Y1),则X1=-5Y1=12或X1=3Y1=12,
若AB为对角线,则EF也为对角线,因E在对称轴上,根据平行四边形的性质,对角线平分,所以只有顶点D符合。
因此F点为(-5,12)或(3,12)或(-1,-4)
练习题答案
1.解:
⑴对称轴是直线:
,点B的坐标是(3,0).……2分
说明:
每写对1个给1分,“直线”两字没写不扣分.
⑵如图,连接PC,∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0),
∴AB=4.∴
在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1,
∴
∴b=………………………………3分
当时,
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