世纪金榜理科数学广东版专项强化训练三Word下载.docx
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f(x)g′(x),+=,若有穷数列(n∈N*)的前n
项和等于,则n等于 ( )
A.4B.5C.6D.7
5.甲、乙两间工厂的月产值在2013年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2013年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2013年6月份的月产值大小,则有 ( )
A.甲的产值小于乙的产值
B.甲的产值等于乙的产值
C.甲的产值大于乙的产值
D.不能确定
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2014·
南昌模拟)已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值等于 .
7.(2014·
成都模拟)数列{an}是等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则此数列的前n项和Sn= .
8.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:
,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下运算和结论:
①a24=;
②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;
③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=;
④若存在正整数k,使Sk<
10,Sk+1≥10,则ak=.
其中正确的结论有 .(将你认为正确的结论的序号都填上)
三、解答题(9~10题各13分,11题14分)
9.已知单调递增的等比数列{an}满足:
a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若bn=anloan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·
2n+1>
50成立的正整数n的最小值.
10.(2014·
深圳模拟)已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为
f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求y=f(x)的解析式.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<
对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
11.(2014·
汕头模拟)在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为An,令an=log2An,n∈N*.
(1)求数列{An}的前n项和Sn.
(2)求Tn=tana2·
tana4+tana4·
tana6+…+tana2n·
tana2n+2.
答案解析
1.【解析】选B.由等差数列{an}且a1=9d,得
ak=a1+(k-1)d=(k+8)d,
a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d.
又因为ak是a1与a2k的等比中项,则有=a1a2k,
即[(k+8)d]2=9d×
[(2k+8)d]得
k2-2k-8=0,解得k1=4,k2=-2(舍去).
2.【解析】选B.由题意知a1010=>
==b1010,故选B.
3.【解析】选D.由已知条件知{an}是首项为3,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n,bn=3n,又cn==33n,所以c2013=
33×
2013=272013,故选D.
4.【解析】选B.令h(x)=,则h′(x)=<
0,故函数h(x)为减函数,即0<
a<
1.
再根据+=,得a+=,
解得a=2(舍去)或者a=.则=,数列的前n项和是=1-,
由于1-=,所以n=5.
【加固训练】定义:
F(x,y)=yx(x>
0,y>
0),已知数列{an}满足:
an=(n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*)成立,则ak的值为 ( )
A.B.2
C.1D.4
【解析】选A.an=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<
(n+1)2,当n≥3时,2n2>
(n+1)2,即当n≥3时,an+1>
an,故数列{an}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.
5.【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=≥===b6,由于在等差数列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>
b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.
【方法技巧】建模解数列问题
对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.
6.【解析】设{an}的公比为q,bn+1-bn=lgan+1-lgan
=lg=lgq(常数),
所以{bn}为等差数列.
设公差为d,所以所以
由bn=-2n+24≥0,得n≤12,所以{bn}的前11项为正,第12项为零,从第13项起为负,
所以S11,S12最大且S11=S12=132.
答案:
132
7.【解析】由题意可得f(x+1)+f(x-1)=0,
即(x+1)2-4(x+1)+2+(x-1)2-4(x-1)+2=0,
解得:
x=1或x=3,
当x=1时,此时a1=-2,a2=0,a3=2,则d=2,所以Sn=n2-3n.当x=3时,a1=2,a2=0,a3=-2,则d=-2,所以Sn=-n2+3n.
n2-3n或-n2+3n
【加固训练】已知函数f(x)满足:
f(x+y)=f(x)f(y),f
(1)=3,数列{an}满足an=f(n),则++++…+= .
【解析】令y=1得f(x+1)=3f(x),故a1=3,an+1=3an,即数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n,所以==6,所以所求结果为6n.
6n
8.【解析】依题意,将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:
第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=,
对于①,注意到21=<
24<
=28,因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=,因此①正确.
对于②③,设bn为②③中的数列的通项,则bn==,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于×
=,因此②不正确,③正确.
对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即ak=,因此④正确.
综上所述,其中正确的结论有①③④.
①③④
9.【解析】
(1)设等比数列{an}的公比为q.
依题意,有2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28,得a3=8,
所以a2+a4=20.
所以解之得或
又{an}单调递增,所以q=2,a1=2,
所以an=2n.
(2)bn=2n·
lo2n=-n·
2n,
所以-Sn=1×
2+2×
22+3×
23+…+n×
2n ①
所以-2Sn=1×
22+2×
23+…+(n-1)×
2n+n×
2n+1 ②
①-②得Sn=2+22+23+…+2n-n·
2n+1=-n·
2n+1=2n+1-2-n·
2n+1,
所以Sn+n·
50,即2n+1-2>
50,所以2n+1>
52,
又当n≤4时,2n+1≤25=32<
当n≥5时,2n+1≥26=64>
52.
故使Sn+n·
50成立的正整数n的最小值为5.
10.【解析】
(1)依题意设二次函数f(x)=ax2+bx,则f′(x)=2ax+b.
由于f′(x)=6x-2,得:
a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
(2)由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,又f(x)=3x2-2x,
所以Sn=3n2-2n.
当n=1时,a1=S1=3×
12-2=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,又a1=1符合上式,
所以an=6n-5(n∈N*).
(3)由
(2)得知bn==
==,
故Tn=b1+b2+…+bn=
=.
要使Tn==-<
(n∈N*)成立,需要满足≤,
即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
11.【解析】
(1)根据题意,n+2个数构成递增的等比数列,
设为b1,b2,b3,…,bn+2,其中b1=1,bn+2=2,
可得An=b1·
b2·
…·
bn+1·
bn+2,①;
An=bn+2·
b1,②,
由等比数列的性质,得b1·
bn+2=b2·
bn+1=b3·
bn=…=bn+2·
b1=2,
所以①×
②,得=(b1bn+2)·
(b2bn+1)·
(bn+1b2)·
(bn+2b1)=2n+2.
因为An>
0,所以An=.因此,可得==(常数),
所以数列{An}是首项为A1=2,公比为的等比数列.
所以数列{An}的前n项和
Sn==(4+2)[()n-1].
(2)由
(1)得an=log2An=log2=,
因为tan1=tan[(n+1)-n]=,
所以tan(n+1)tann=-1,n∈N*.
从而tana2n·
tana2n+2=tan(n+1)tan(n+2)=-1,n∈N*,
所以Tn=tana2·
tana2n+2
=tan2·
tan3+tan3·
tan4+…+tan(n+1)tan(n+2)
=++…+
=-n.
即Tn=tana2·
tana2n+2=-n.
(2014·
宁波模拟)政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价.an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用,用bn表示该企业第n年的产值.a1=a(万元),且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a(万元);
又设b1=b(万元),且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%,Pn=表示企业第n年“对社会的有效贡献率”.
(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”.
(2)试问:
从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?
【解析】
(1)因为a1=a,b1=b,
根据题意:
a2=a1+2a=3a,b2=b1(1+10%)
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- 世纪 金榜 理科 数学 广东 专项 强化 训练
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