一元二次方程根的判别式Word文件下载.docx
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①如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0,切勿丢掉等号。
②根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0.
二、例题精讲:
例1.不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)2x2+3x-4=0
(2)3x2+2=2x
(3)x2+1=x (4)ax2+bx=0(a≠0)
(5)ax2+c=0(a≠0)
分析;
一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的,所以,在判断一元二次方程根的情况时,应想尽办法判断出“Δ”的符号,然后根据判别式定理判定根的情况。
尤其是当方程系数中含有字母时,一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数,再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号,从而决定方程的根的情况,有时还需要对字母进行讨论。
解:
(1)2x2+3x-4=0
a=2,b=3,c=-4,
∵Δ=b2-4ac
=32-4×
2×
(-4)=41>
0
∴方程有两个不相等的实数根。
(2)将方程化为一般形式
3x2-2x+2=0
a=3,b=-2,c=2
∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×
3×
2=0,
∴方程有两个相等的实数根。
(3)将方程化为一般形式
x2-x+1=0
方程两边同乘以2(为了计算简便),得
x2-x+2=0
a=,b=-,c=2
∵Δ=(-)2-4×
×
2
=2-8<
∴方程没有实数根。
(4)ax2+bx=0(a≠0)
∵a≠0,∴方程是一元二次方程,
此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零,
∵Δ=b2-4·
a·
0=b2,
∵无论b取任何实数,b2均为非负数,
∴Δ≥0,
故方程有两个实数根。
(5)ax2+c=0(a≠0)
∵a≠0,
∴此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程,一次项系数b=0
∵Δ=02-4ac
=-4ac
需要讨论a,c的符号,才能确定Δ的符号;
当c=0时,Δ=0,方程有两相等实根;
当a与c异号时,Δ>
0,方程有两不等实根;
当a与c同号时,Δ<
0,方程没有实数根。
运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时,必须先把方程化为一般形式,正确地确定各项系数。
例2.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析:
先求出关于x的方程的根的判别式,然后只需说明判别式是一个负数,就证明了该方程没有实数根。
证明:
Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
=4m2-4(m4+5m2+4)
=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
=-4(m2+2)2
∵不论m取任何实数(m2+2)2>
0,
∴-4(m2+2)2<
0,即Δ<
0.
∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
小结:
由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤:
(1)计算Δ
(2)用配方法将Δ恒等变形
(3)判断Δ的符号
(4)结论
其中难点是Δ的恒等变形,一般情况下配方后变形后为形如:
a2,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2的代数式,从而判定正负,非负等情况。
方程配方与代数式配方既有联系又有区别:
方程配方是对方程进行同解变形,代数式配方是恒等变形,因此方程变形中两边除以二次项系数,而在代数式变形中为提取二次项系数。
方程变形中等号两边同时加上一次项系数一半的平方,而在代数式变形中加上一次项系数一半的平方的同时,还需减去一次项系数一半的平方,以保证代数式恒等。
例3.已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根,求k的值并解这个方程。
∵方程有两个实数根,∴有隐含条件二次项系数k≠0,
又∵方程有两个相等的实数根,由判别式定理的逆定理可知Δ=0
Δ=(-4k)2-4·
k(k-5)
=12k2+20k
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即12k2+20k=0
解得k1=0,k2=-,
又∵k=0时,方程不是一元二次方程,不能有两个实根,
∴k=0不符合题意,应舍去。
∴k=-,
把k=-代入原方程,原方程即为x2-4x+4=0。
解得这个方程的两个根是x1=x2=2.
对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程,当使用根的判别式时,必须考虑隐含条件a≠0。
例4.已知:
a、b、c为ΔABC的三边,当m>
0时,关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根,求证:
ΔABC为RtΔ。
整理原方程:
方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0.
整理方程得:
cx2+cm+bx2-bm-2ax=0
(c+b)x2-2ax+cm-bm=0
根据题意:
∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0
4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0
ma2-c2m+b2m=0
∴Δ=m(a2+b2-c2)=0
又∵m>
0,
∴a2+b2-c2=0
∴a2+b2=c2
又∵a,b,c为ΔABC的三边,
∴ΔABC为RtΔ。
例5.若a,b,c为实数,关于x的方程2x2+2(a-c)x+(a-b)2+(b-c)2=0有两个相等的实数根,求证a+c=2b.
根据判别式定理的逆定理,由方程有两个相等实根,可知Δ=0,经整理化为关于方程中系数的等式,从而导出结论。
∵一元二次方程有两个相等实数根,
∴Δ=0,即[2(a-c)]2-4×
2·
[(a-b)2+(b-c)2]=0
(a-c)2-2(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2)=0
a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0
(a+c)2-4b(a+c)+4b2=0
(a+c-2b)2=0
∴a+c-2b=0 即a+c=2b.
利用一元二次方程的根的判别式进行有关的证明,就是根据判别式大于0,小于0或等于0的情况,结合已有的其它知识来证明结论的,有时要应用乘法公式进行恒等变形。
例6.若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根,求m的取值范围。
已知方程有两个实数根,说明它是一元二次方程,即二次项系数m2≠0,又由判别式定理的逆定理可知Δ≥0,m的取值范围是受这两个条件限制的,解之即可。
∵方程有两个实数根,
∴ 即
解得m≥-且m≠0,
∴当m≥-且m≠0时,方程有两个实数根。
不要漏掉题中的隐含条件“二次项系数m≠0”。
例7.若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根,求m的取值范围。
此题易误认为所给方程是一元二次方程,而用Δ≥0,且m2-1≠0来解,事实上,题目中没有给出方程的次数,也没有指明方程的根的个数,因此应考虑方程为二次方程和一次方程两种情况。
本题有两种情况:
(1)若方程是一元二次方程,并且有实根,则必有:
即m≥-且m≠±
1.
(2)若方程为一次方程,则
解得m=±
1,
当m=1时,原方程为-6x+1=0,有实根x=,
当m=-1时,原方程为-2x+1=0,也有实根x=.
综合
(1),
(2),得m≥-时,原方程有实数根。
对比以上两个例题,都是由方程的根的情况求m的取值范围,但解题思路却不太相同。
例6说“方程有两个实数根”,隐含着方程是一元二次方程的条件,例7说“方程有实数根”,却没有这样的隐含条件,所以例7要分二次方程和一次方程的两种情况讨论。
本题所用的是分类讨论思想。
利用分类讨论思想解答问题,要注意:
分类要按同一标准进行,同时分类要做到不重不漏,最后要综合几种情况得出结论。
例8.已知,关于x的方程x2-x+k=0有两个不相等的实数根。
(1)求k的取值范围。
(2)化简:
|-k-2|+
Δ=(-)2-4·
k=2k+4-4k=-2k+4
∵方程有两个不相等的实数根,即Δ>
0,
∴-2k+4>
0, ∴k<
2,
又∵2k+4≥0, ∴k≥-2.
∴k的取值范围是-2≤k<
2.
(2)|-k-2|+ (-2≤k≤2)
=|k+2|+=|k+2|+|k-2|
=k+2+2-k=4.
一元二次方程根的判别式是判定二次方程解的情况依据,使用时常需要配方,是这一部分的重要知识,要掌握。
一元二次方程的根的判别式
中考考点:
1.理解一元二次方程的根的判别式的概念.
2.能用判别式判定根的情况。
考点讲解:
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式:
△=b2-4ac,
当△>
0时方程有两个不相等的实数根;
当△=0时方程有两个相等的实数根;
当△<
0时方程没有实数根。
2.根的判别式应用极为广泛,主要有以下几方面:
(1)不解方程,判断根的情况,步骤是:
①化方程为一般形式,确定a,b,c的值;
②计算b2-4ac,并确定它的符号;
③用定理判断根的情况。
(2)给出根的情况,求方程中字母系数的取值范围。
解题步骤是:
②求判别式,它是含有未知数的代数式;
③根据题目所要满足的条件列出方程或不等式;
④解方程或不等式,确定字母取值范围。
当方程有两个实数根时,应结合二次项系数不等于零加以考虑,这一点往往容易忽视,应特别小心。
(3)利用根的判别式证明方程根的情况。
此类题比较综合,运用配方法和因式分解技巧,结合非负数的有关性质进行推导才能奏效。
考题评析
1.(甘肃省)在一元二次方程中,若系数b和c可在1,2,3,4,5,6中取值,则其中有实数解的方程的个数是_____________。
考点:
一元二次方程根的判别
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- 一元 二次方程 判别式