届一轮复习人教B版文 第2章 第5节 二次函数与幂函数学案Word下载.docx
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增
(-∞,0)减,(0,+∞)增
(-∞,0)和
(0,+∞)减
公共点
(1,1)
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式:
f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);
两根式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象与性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>
0)
f(x)=ax2+bx+c(a<
(-∞,+∞)
在上单调递增;
在上单调递减
当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x=-成轴对称图形
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)函数y=2x是幂函数.( )
(2)当n>
0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.( )
(5)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√
2.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )
解析:
选C 令f(x)=xα,则4α=2,∴α=,∴f(x)=x,则f(x)的图象如选项C中所示.
3.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是( )
A.-1B.2 C.3 D.-1或2
选B ∵f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,
∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
又f(x)在x∈(0,+∞)上是增函数,所以m=2.
4.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
选C 由题意知即解得a>
.
5.已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数,则实数a的取值范围为________.
由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,
所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,
应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.
(-∞,-6]∪[4,+∞)
6.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则y=f(x)的值域为________.
因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,所以其定义域[a-1,2a]关于原点对称,所以a-1=-2a,所以a=,因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,即f(-x)=f(x),所以b=0,所以f(x)=x2+1,x∈,其值域为.
[考什么·
怎么考]
高考中对幂函数的概念、图象及性质的考查难度不大,一般以选择题、填空题的形式呈现,其中幂函数的图象、利用幂函数性质求参数范围,结合指数、对数比较大小等问题较常见.
1.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f
(2)-f
(1)=( )
A.3 B.1-
C.-1D.1
选C 设幂函数f(x)=xα,则f(9)=9α=3,即α=,所以f(x)=x=,所以f
(2)-f
(1)=-1,故选C.
2.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为( )
A.-2B.1
C.1或-2D.m≠
选B 因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以解得m=1.
3.已知a=3,b=4,c=12,则a,b,c的大小关系为( )
A.b<
a<
cB.a<
b<
c
C.c<
aD.c<
b
选C 因为a=81,b=16,c=12,由幂函数y=x在(0,+∞)上为增函数,知a>
b>
c,故选C.
4.若(a+1)<
(3-2a),则实数a的取值范围是________.
易知函数y=x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以
解得-1≤a<
[怎样快解·
准解]
1.幂函数的图象与性质
幂函数y=xα的图象和性质因α的取值不同而不同,一般可从三方面考察:
(1)α的正负:
α>
0时图象经过(0,0)点和(1,1)点,在第一象限的部分“上升”;
α<
0时图象不过(0,0)点,经过(1,1)点,在第一象限的部分“下降”;
(2)曲线在第一象限的凹凸性:
1时曲线下凹,0<
1时曲线上凸,α<
0时曲线下凹;
(3)函数的奇偶性:
一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.
2.比较幂值大小的常见类型及解决方法
同底不同指
利用指数函数单调性进行比较
同指不同底
利用幂函数单调性进行比较
既不同底
又不同指
常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小
高考单独考查求二次函数的解析式较少,大多同其性质一同考查,多结合图象求解,难度中等.
[典题领悟]
已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
解:
法一:
(利用二次函数的一般式)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
法二:
(利用二次函数的顶点式)
设f(x)=a(x-m)2+n.
∵f
(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为x==.
∴m=,又根据题意函数有最大值8,∴n=8,
∴y=f(x)=a2+8.
∵f
(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
法三:
(利用两根式)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值ymax=8,即=8.
解得a=-4或a=0(舍去),
故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
[解题师说]
求二次函数解析式的方法
[冲关演练]
已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,
∴f(x)的对称轴为x=2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,
∴f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又∵f(x)的图象过点(4,3),
∴3a=3,a=1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3.
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用.,常见的命题角度有:
(1)二次函数图象的识别;
(2)二次函数的单调性问题;
(3)二次函数的最值问题;
(4)与二次函数有关的恒成立问题.
[题点全练]
角度
(一) 二次函数图象的识别
1.(2018·
重庆五中模拟)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
选C 若a>
0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;
若a<
0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;
对于选项B,看直线可知a>
0,b>
0,从而-<
0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,选C.
[题型技法] 识别二次函数图象应学会“三看”
角度
(二) 二次函数的单调性问题
2.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,0)D.(-∞,2)
选A 二次函数y=kx2-4x+2的对称轴为x=,当k>
0时,要使函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是增函数,只需≤1,解得k≥2.
当k<
0时,<
0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,该函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2,+∞).
[题型技法] 研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.
(2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>
0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆A⊆-,+∞,即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧).
角度(三) 二次函数的最值问题
3.(2017·
浙江高考)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关
选B f(x)=2-+b,
①当0≤-≤1时,f(x)min=m=f=-+b,f(x)max=M=max{f(0),f
(1)}=max{b,1+a+b},
∴M-m=max与a有关,与b无关;
②当-<
0时,f(x)在[0,1]上单调递增,
∴M-m=f
(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;
③当->
1时,f(x)在[0,1]上单调递减,
∴M-m=f(0)-f
(1)=-1-a与a有关,与b无关.
综上所述,M-m与a有关,但与b无关.
[题型技法] 求二次函数在给定区间上最值的方法
二次函数f(x)=ax2+bx+c(不妨设a>
0)在区间[m,n]上的最大或最小值如下:
(1)当-∈[m,n],即对称轴在所给区间内时:
f(x)的最小值在对称轴处取得,其最小值是f=;
若-≤,f(x)的最大值为f(n);
若-≥,f(x)的最大值为f(m).
(2)当-∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时:
f(x)在[m,n]上是单调函数.若-<
m,f(x)在[m,n]上是增函数,f(x)的最小值是f(m),最大值是f(n);
若n<
-,f(x)在[m,n]上是减函数,f(x)的最小值是f(n),最大值是f(m).
(3)当不能确定对称轴-是否属于区间[m,n]时:
则需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述
(1)
(2)两种情形求最值.
角度(四) 与二次函数有关的恒成立问题
4.(2018·
武邑调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:
当x≥0时,f(x)=x3,若不等式
❶❷
f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-)B.(-,0)
C.(-∞,0)∪(,
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