圆的有关概念及性质教学内容Word格式.docx
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弧:
圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类
3、圆的对称性:
⑴轴对称性:
圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性:
圆是中心对称图形,对称中心是
【提醒:
1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的
2、直径是圆中的弦,弦不一定是直径;
3、圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、垂径定理及推论:
1、垂径定理:
垂直于弦的直径,并且平分弦所对的。
2、推论:
平分弦()的直径,并且平分弦所对的。
【提醒:
1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:
⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线(即弦心距)。
3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】
三、圆心角、弧、弦之间的关系:
1、圆心角定义:
顶点在的角叫做圆心角
2、定理:
在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
注意:
该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、圆周角定理及其推论:
1、圆周角定义:
顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理:
在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧
推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是
1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角
有个,是类,它们的关系是,2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、圆内接四边形:
定义:
如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。
性质:
圆内接四边形的对角。
【重点考点例析】
考点一:
垂径定理
例1(2015•舟山)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( )
A.2B.8C.2D.2
对应训练
1.(2015•南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为( )
A.4B.5C.4D.3
考点二:
圆周角定理
例2(2015•自贡)如图,在平面直角坐标系中,⊙A经过原点O,并且分别与x轴、y轴交于B、C两点,已知B(8,0),C(0,6),则⊙A的半径为( )
A.3B.4C.5D.8
2.(2015•珠海)如图,▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=54°
,连接AE,则∠AEB的度数为( )
A.36°
B.46°
C.27°
D.63°
7.(2015•威海)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,AO=1.
(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.
练习:
1.(2015•张家界)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°
,则∠BOD=
.
2.(2015•盐城)如图,将⊙O沿弦AB折叠,使经过圆心O,则∠OAB=30°
3.(2015•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为.
4.(2015•株洲)如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°
,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是48
度.
5.(2015•广州)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P的坐标为(3,2)
三、解答题
1(2016·
山东潍坊)正方形ABCD内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF∥BE交⊙O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G,求证:
(1)四边形EBFD是矩形;
(2)DG=BE.
2、(2015•浙江省台州市,第22题)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC
(1)若∠CBD=39°
,求∠BAD的度数
(2)求证:
∠1=∠2
3、是⊙O的一条弦,,垂足为,交⊙O于点,点在⊙O上.
(1)若,求的度数;
(2)若,,求的长.
4.(2015•贵阳)已知:
如图,AB是⊙O的弦,⊙O的半径为10,OE、OF分别交AB于点E、F,OF的延长线交⊙O于点D,且AE=BF,∠EOF=60°
(1)求证:
△OEF是等边三角形;
(2)当AE=OE时,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
22.(2015•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,
CB∥PD;
(2)若BC=3,sin∠P=,求⊙O的直径.
知识点2:
点和圆的位置关系
如设⊙O的半径为r,点P到圆的距离为d,则有:
点P在圆外 d___r
点P在圆上 d___r
点P在圆内 d___r
①经过一点P可以作_______个圆;
经过两点P、Q可以作________个圆,圆心在_________上;
经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆,圆心是________的交点.
②直角三角形的外心是________的中点,锐角三角形外心在三角形的
____________,钝角三角形外心在三角的___________.
③经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的______圆.
外接圆的圆心是三角形三条边________________线的交点,这个点叫做这个三角形的___________.
1、例1
(1)已知⊙O的直径为10cm,有一点P到圆心O的距离为3cm,求点P与圆有何位置关系?
(2)若有一点M到某圆的最大距离为8cm,最小距离为2cm,求这个圆的半径.
3、不在同一条直线上的三个点确定一个圆
经过三角形三个顶点可以画 个圆,并且只能画 个.
叫做三角形的外接圆. 叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的 .三角形的外心就是
的交点,它到 的距离相等
4、例2.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示.为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.
作法提示:
可联想垂径定理的逆定理:
弦的垂直平分线必经过____________,并平分弦所对的两条_____________.
例2
5、例3、已知Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=5cm,BC=12cm,求△ABC的外接圆半径.
6、例4、如图,等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,求△ABC外接圆的半径.
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