考研试题1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及解析Word文档格式.docx
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(5)设阶方阵、、满足关系式,其中是阶单位阵,则必有()
(C)(D)
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1)求.
(2)设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数
在点处沿方向的方向导数.
(3),其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体.
四、(本题满分6分)
在过点和的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从到的积分的值最小.
五、(本题满分8分.)
将函数展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数
的和.
六、(本题满分7分.)
设函数在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在一点,使.
七、(本题满分8分.)
已知,,,,及
.
(1)、为何值时,不能表示成的线性组合?
(2)、为何值时,有的唯一的线性表示式?
并写出该表示式.
八、(本题满分6分)
设为阶正定阵,是阶单位阵,证明的行列式大于1.
九、(本题满分8分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与轴平行.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1)若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且,则
=_______.
(2)随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_______.
十一、(本题满分6分)
设二维随机变量的概率密度为
求随机变量的分布函数.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
(1)
【答案】
【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即
如果,则.
所以,
再对求导,由复合函数求导法则得
(2)
【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点的含义是.
将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得
再由全微分四则运算法则得
令,得,即.
(3)
【解析】所求平面过直线,因而过上的点;
因为过平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量,且两向量不共线,于是平面的方程
即.
(4)
【解析】因为当时,,
当时,所以有
所以.
因为当时,与是等价无穷小,所以,故.
(5)
【答案】.
【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意:
.
对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:
则求的伴随矩阵
如果,这样
再利用分块矩阵求逆的法则:
易见
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(D)
【解析】由于函数的定义域为,所以函数的间断点为,
所以为铅直渐近线,
所以为水平渐近线.
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线:
如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线;
水平渐近线:
当,则为函数的水平渐近线.
(B)
【解析】令,则,所以
两边对求导,得,这是一个变量可分离的微分方程,即.解之得,其中是常数.
又因为,代入,得,得
即.
(C)
【解析】因为
(收敛级数的结合律与线性性质),
而
故应选(C).
(A)
【解析】如图,将区域分为四个子区域.
显然,关于轴对称,关于轴对称.
令,
由于对及对都是奇函数,所以
.
而对是偶函数,对是奇函数,故有
故选(A).
【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.
由于、、均为阶矩阵,且,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式
得到、、,知、、均可逆,那么,对于,先左乘再右乘有,故应选(D).
其实,对于先右乘再左乘,有.
【解析】这是型未定式求极限.
令,则时,所以
因为当时,,所以
故.
【解析】先求方向的方向余弦,再求,最后按方向导数的计算公式
求出方向导数.
曲面在点处的法向量为
在点处指向外侧,取正号,并单位化得
又,
所以方向导数
【解析】由曲线绕轴旋转一周而围成的旋转面方程是.
于是,是由旋转抛物面与平面所围成.曲面与平面的交线是
选用柱坐标变换,令,于是
因此
【解析】曲线,则,所以
对关于的函数两边对求导数,其中,并令得
所以,且.
故为函数的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为
【解析】按傅式级数公式,先求的傅式系数与.因为偶函数,所以
因为在区间上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以
令,有,所以,.
所以,,即.
【解析】由定积分中值定理可知,对于,在区间上存在一点使得
由罗尔定理可知,在区间内存在一点,使得.
七、(本题满分8分)
【解析】设,按分量写出,则有
对方程组的增广矩阵作初等行变换:
第一行分别乘以有、加到第三行和第四行上,再第二行乘以、加到第三行和第四行上,有
所以,当时,,方程组无解.即是不存在使得
成立,不能表示成的线性组合;
当时,方程组有唯一解,
故有唯一表达式,且.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理:
设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).
设是矩阵,线性方程组,则
(1)有唯一解
(2)有无穷多解
(3)无解
不能由的列向量线表出.
【解析】方法1:
因为为阶正定阵,故存在正交矩阵,使
其中,是的特征值.
两端取行列式得,
从而.
方法2:
设的个特征值是由于为阶正定阵,故特征值全大于0.
由为的特征值可知,存在非零向量使,两端同时加上,
得.按特征值定义知是的特征值.因为的特征值是它们全大于1,根据,知.
【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义:
设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.
【解析】曲线在点处的法线方程为
(当时),
它与轴的交点是,从而
当时,有,上式仍然成立.
因此,根据题意得微分方程
即.这是可降阶的高阶微分方程,且当时,.
令,则,二阶方程降为一阶方程,即.
即,为常数.
因为当时,,所以,即,
所以.分离变量得.
令,并积分,则上式左端变为
因曲线在上半平面,所以,即.
当时,
当前取+时,,,
;
当前取时,,,
;
【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数和,否则应先根据题设条件求出,,再计算有关事件的概率,本题可从
通过查表求出,但是注意到所求概率即是与之间的关系,可以直接由的值计算出.
因为,所以可标准化得,
由标准正态分布函数概率的计算公式,有
由正态分布函数的对称性可得到.
【解析】设事件=“掷的点和原点的连线与轴的夹角小于”,
这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式
而,
【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有
当时,.
因为在直线的下方
与(即第一象限)没有公共区域,
所以.
当时,在直线
的上方与第一象限相交成一个三角形区域,此即为积分区间.
所以的分布函数
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