第5章电容元件与电感元件.docx
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第二篇动态电路的时域分析
第五章电容元件与电感元件
l电容元件
l电容的VCR
l电容电压的连续性质与记忆性质
l电容的储能
l电感元件
l电感的VCR
l*电容与电感的对偶性状态变量
学习目标
本章重点:
理解动态元件L、C的特性,并能熟练应用于电路分析。
一.动态原件包括电容元件和电感元件。
电压电流关系都涉及对电流、电压的微分或积分。
电路模型中出现动态元件的原因:
1)有意接入电容器或电感器,实现某种功能;
2)信号变化很快时,实际器件已不能再用电阻模型表示。
二.电阻电路与动态电路
1.电阻电路是无记忆性(memoryless)即时的(instantaneous);
2.动态电路(至少含有一个动态元件的电路)在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关。
注:
电阻电路和动态电路均服从基尔霍夫定律。
动态电路分析与电阻电路分析的比较
电阻电路
动态电路
组成
独立源,受控源,电阻
电感,电容(独立源,受控源,电阻)
特性
耗能
贮能(电能,磁能)——贮能状态
电路方程
代数方程
微分、积分(一阶、
二阶)
VCR
+
-
u
C
i
+q
-q
§5.1电容元件
一、电容元件的基本概念
电容器是一种能储存电荷的器件
电容元件是电容器的理想化模型是一个理想的二端元件。
图形符号如右所示:
电容的SI单位为法[拉],符号为F;
1F=1C/V
常采用微法(μF)皮法(pF)作为其单位。
§5.2电容的VCR
一、电容元件的VCR——电压表示电流
1.当电容上电压与电荷为关联参考方向时,电荷q与u关系为:
q(t)=Cu(t)
0
q
u
C是电容的电容量,亦即特性曲线的斜率。
2.当u、i为关联方向时,据电流强度定义有:
非关联时:
表明:
在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。
如果电压不变,电流为零。
∴电容有隔直流的作用(隔直通交)
恒稳D.C.:
I=0,具有隔直流的作用
变动D.C.(或A.C.)
S倒向a时,与方向同,;S倒向b时,与方向反,;
因为所以电容电流是连续的。
二、电容元件的VCR----电流表示电压
如只需了解t0以后的电容电压情况,则:
即:
表明:
在某一时刻电容的电压与电流全部过去历史有关
电容是聚集电荷的元件
例:
图(a)所示电路中,电容C=0.5μF,电压u的波形图如图(b)所示。
求电容电流i,并绘出其波形。
解:
由电压u的波形,应用电容元件的元件约束关系,可求出电流i。
1)当0≤t≤1μs,电压u从0均匀上升到10V,其变化率为:
2)当1μs≤t≤3μs,5μs≤t≤7μs及t≥8μs时,电压u为常量,其变化率为
故电流
3)当7μs≤t≤8μs时,电压u由-10V均匀上升到0,其变化率为
故电流
波形如(c)图:
§5.3电容电压的连续性质和记忆性质
一、电容电压的连续性质
表述:
若电容电流i(t)在闭区间[ta、tb]内为有界的,则电容电压在开区间(ta、tb)内为连续的。
且对于任意时刻t,有:
电容电压不能跃变
二、电容电压的记忆性质
在t=t0时刻电容已积累的电压,称为初始电压
在t=t0以后电容上形成的电压,它体现了在t0~t的时间内电流对电压的贡献。
由此可知:
在某一时刻t,电容电压u不仅与该时刻的电流i有关,而且与t以前电流的全部历史状况有关。
电容是一种记忆元件,有“记忆”电流作用。
=U0
等效电路
5.4电容的储能
一、电容的功率
当电容电压和电流为关联方向时,电容吸收的瞬时功率为:
瞬时功率可正可负:
p(t)>0处于充电状态吸收能量
p(t)<0处于放电状态释放能量
二、电容的储能
对上式从t1到t2进行积分,即得在此期间供给电容的能量为:
电容在某一时刻t的储能仅取决于此时刻的电压,而与电流无关,且储能≥0。
电容充电时:
吸收的能量全部转换为电场能量;
电容放电时:
将储存的电场能量释放回电路。
电容本身不消耗能量,也不会释放出多于它吸收的能量。
——电容为储能元件(无源元件)。
三、电容的串、并联
1、电容器的并联
+
-
u
C1
+q1
-q1
C2
+q2
-q2
C3
+q3
-q3
C
+q
-q
+
-
u
2、电容器的串联
5.5电感元件
一、复习
1.法拉第电磁感应定律:
2.楞次定律:
设e与参考方向符合右手螺旋关系,则
二、电感元件的基本概念
设i,e,u参考方向一致,与
方向符合右手螺旋关系
自感现象
感应电压
为相约束的部件,但有R和C的性质
当电流通过感器时,就有磁链与线圈
交链,当磁通与电流i参考方向之间符合右手螺旋关系时,磁力链与电流的关系为:
线圈的磁通和磁链
线性电感元件
电感元件
定义:
一个二端元件如果在任一时刻t,它所产生的磁通与流过它的电流可用平面上的一条曲线来描述,则此二端元件称电感元件。
电感器(线圈)是存储磁能的器件
电感元件是它的理想化模型。
电感元件的自感系数,或电感系数,简称电感。
电感SI单位为亨[利],符号为H;
1H=1Wb/A
通常还用毫亨(mH)和微亨(μH)
换算关系为
5.6电感元件的VCR
一、电感元件的VCR----电流表示电压
当u、i为关联方向时,有:
电感伏安关系的微分形式
在某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的变化率。
∴电感对直流起短路的作用。
二、电感元件的VCR----电压表示电流
在任选初始时刻t0以后
即:
表明:
在某一时刻t时的电感电流值取决于其初始值以及在区间[t0,t]所有的电压值。
5.7电容与电感的对偶性
通过对电容和电感的伏安关系加以比较,可以得出二者有对偶性。
即:
电容伏安关系中i换以u,u换以i,C换以L就可以得到电感的伏安关系。
反之也成立。
电感电流的连续性和记忆性
电感元件的储能
在电压和电流关联参考方向下,电感元件吸收的功率为:
从t0到t时间内,电感元件吸收的电能为:
电感在某一时刻t的储能仅取决于此时刻的电流值,而与电压无关,只要有电流存在,就有储能,且储能≥0
例:
电路如图(a)所示,L=200mH,电流i的变化如图(b)所示。
(1)求电压uL,并画出其曲线。
(2)求电感中储存能量的最大值。
(3)指出电感何时发出能量,何时接受能量?
解
(1)从图(b)所示电流的变化曲线可知,电流的变化周期为3ms,在电流变化每一个周期的第1个1/3周期,电流从0上升到15mA。
其变化率为
在第2个1/3周期中,电流没有变化。
电感电压为uL=0。
在第3个1/3周期中,电流从15mA下降到0。
其变化率为
电感电压为
所以,电压变化的周期为3ms,其变化规律为第1个1/3周期,uL=3V;第2个1/3周期,uL=0;第3个1/3周期,uL=-3V。
(2)从图(b)所示电流变化曲线中可知
(3)从图(a)和图(b)中可以看出,在电压、电流变化对应的每一个周期的第1个1/3周期中
第2个1/3周期中
第3个1/3周期中
所以,该电感元件能量的变化规律为在每个能量变化周期的第1个1/3周期中,p>0,电感元件接受能量;第2个1/3周期中,p=0电感元件既不发出能量,也不接受能量;第3个1/3周期中,p<0,电感元件发出能量。
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- 电容 元件 电感