变分法及其在最优控制中的应用1_精品文档优质PPT.ppt
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当曲线方程x=x(t)(满足x(ta)=xa,x(tb)=xb)给定后,可算出它在A、B两点间的弧长为:
例1.1.3函数的不定积分不是泛函。
泛函的上述概念,可以推广到含有几个函数的泛函的情况,例如:
从例1.1.2可以知道,连接A、B两点的曲线之弧长的泛函,其被积函数是未知函数导数的函数。
在一般情况下,被积函数是自变量t,未知函数x(t)及其导数的函数。
所以最简单的一类泛函可表示为:
求函数的极值时,微分或导数起着重要的作用。
求泛函的极值时,变分起着类似的作用。
我们将求泛函的极值问题称为变分问题,其相应的方法称为变分法。
(1.1.1),如图1-2所示。
二、泛函宗量的变分泛函Jx(t)的宗量是函数x(t),其变分是指在同一函数类中的两个函数间的差:
三、泛函的连续性,函数相近当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值,即x(t)-x0(t),t1tt2(1.1.2)对于x(t)的定义域中的一切t(t1tt2)都很小时,称函数x(t)与函数x0(t)是相近的,也称为零阶相近。
如图1-3所示。
一阶相近当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导数和之差的绝对值,即t1tt2(1.1.3)都很小,称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的,如图1-4所示。
注意:
一阶相近的两个函数,必然是零阶相近,反之不成立。
k阶接近当t1tt2(1.1.4)都很小时,称函数x(t)与函数x0(t)是k阶相近的。
函数间距离在不同的函数空间,函数间的距离定义也不同。
在函数空间Ca,b(在区间a,b上连续的函数的全体构成的函数空间)中,通常采用下式定义距离:
(1.1.5)在函数空间Cka,b(在区间a,b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间)中,任意两个函数间的距离定义为:
(1.1.6),显然,式(1.1.5)定量地表示两个函数之间的零阶相近度,而式(1.1.6)定量地表示两个函数之间的k阶相近度。
泛函的连续性如果对于任意给定的正数,可以找到这样一个0,当dx(t),x0(t)(1.1.7)时,存在Jx(t)Jx0(t)(1.1.8)那么,就说泛函J在点x0(t)处是连续的。
根据所采用的函数之间距离定义的不同,是按式(1.1.5)还是式(1.1.6),其对应的泛函分别称为零阶连续泛函或k阶连续泛函。
四、线性泛函,连续泛函如果满足下列条件:
(1)Jx1(t)+x2(t)=Jx1(t)+Jx2(t)
(2)Jcx(t)=cJx(t),其中,c是任意常数,就称为线性泛函。
例如,都满足上述两个条件,故均为线性泛函。
五、泛函的变分,如果连续泛函Jx(t)的增量可以表示为:
(泰勒级数),其中,Lx(t),x(t)是关于x(t)的线性连续泛函,而rx(t),x(t)是关于x(t)的高阶无穷小。
Lx(t),x(t)称为泛函的变分,记为,(1.1.9),(1.1.10),也就是说,泛函的变分是泛函增量的线性主部。
当一个泛函具有变分时,即泛函的增量可以用式(1.1.9)来表示时,称该泛函是可微的。
例如,泛函,的增量为:
于是,其变分为:
可以证明,泛函的变分是唯一的。
因为,若泛函的变分不是唯一的,则泛函的增量可以写为:
引理1.1.1泛函Jx(t)的变分为:
证明:
如上所述,泛函Jx(t)的增量为:
其中,(01)是一个参变量。
由于Lx(t),x(t)是关于x(t)的线性连续泛函,根据线性泛函的性质
(2),有,(1.1.11),又由于rx(t),x(t)是关于x(t)的高阶无穷小,所以,利用上述两点结论,便得,根据偏微分的定义,因为泛函Jx(t)的变分为:
所以,QED,例1.1.4求泛函的变分。
根据式(1.1.11),该泛函的变分为:
例1.1.5求泛函的变分,根据式(1.1.11),所求泛函的变分为:
若设,则,六、泛函的极值,如果泛函Jx(t)在函数空间中点x=x0(t)的邻域内,其增量为:
就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极小值;
如果泛函Jx(t)在函数空间中点x=x0(t)的邻域内,其增量为:
就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极大值;
x0(t)的邻域包含满足条件:
的所有点x(t)的球(即以x0(t)为圆心,以为半径的球)。
所采用的函数间的距离的定义的不同,点x0(t)的邻域内所包含的函数也不同。
若,强极值,若,弱极值,显然,如果泛函Jx(t)在点x0(t)处达到强极值,那么它在点x0(t)处也一定达到弱极值。
反之不成立。
定理1.1.1(必要条件)若泛函Jx(t)是连续可微的,并且在点x0(t)处达到极值,则泛函在点x0(t)处的变分等于零,即,(1.1.12),证明:
对于任意给定的x(t),Jx0(t)+x(t)既是函数x(t)的泛函,又是变量的函数。
泛函Jx0(t)+x(t)在x0(t)处达到极值,也可看成是函数Jx0(t)+x(t)在=0处达到极值,所以函数Jx0(t)+x(t)对变量的偏导数在=0处应等于零,即,而由式(1.1.11)有,比较上面两式,又考虑x(t)是任意给定的,所以,,QED,从定理1.1.1的推证中可见,泛函达到强极值与弱极值的必要条件是相同的。
应当指出:
本节所讨论的定义、引理和定理,稍加变动就可以应用于含有多个未知函数的泛函:
Jx1(t),x2(t),xn(t),拉格朗日(Lagrange)问题基本问题(1.2.1)麦耶耳(Mayer)问题(1.2.2)波尔扎(Bolza)问题(1.2.3),1.2欧拉方程,最优控制问题中,根据性能指标的类型(积分型性能指标、终值型性能指标、复合型性能指标)的不同,分别对应了古典变分法中的三类基本问题。
固定端点的Lagrange问题问题描述:
假定点A(t0,x0)和B(tf,xf)是所要寻求的泛函(1.2.1)的极值曲线x(t)的两个固定端点,如图1-5所示,其坐标为:
(1.2.4),现在的问题是:
从满足边界条件(1.2.4)的二阶可微的函数中,选择使泛函(1.2.1)达到极小值的函数x(t)。
解:
设x*(t)是使泛函(1.2.1)达到极小值且满足边界条件(1.2.4)的极值条件。
现用,表示满足边界条件(1.2.4)的极值曲线x*(t)的邻域曲线。
其中,(1.2.5),x(t)是泛函宗量x(t)的变分,(01)是一参变量。
为使x(t)是满足边界条件(1.2.4)的极值曲线x*(t)的邻域曲线,x(t)应具有连续导数且满足条件:
x(t0)=x(tf)=0(1.2.6)于是,由式(1.2.5)得到,(1.2.7),由于x*(t)是极值曲线,所以泛函(1.2.1)在极值曲线x*(t)上的变分等于零(定理1.1.1),即,由引理1.1.1知,泛函的变分为,(1.2.8),(1.2.9),将式(1.2.1)代入式(1.2.9),得,(1.2.10),对式(1.2.10)右端第二项进行分部积分,(1.2.12),将式(1.2.11)代入式(1.2.10),并考虑式(1.2.8)得,利用条件(1.2.6),则上式变为,(1.2.13),(1.2.11),考虑到泛函宗量的变分x(t)是任意的函数,不妨选择,(1.2.14),其中w(t)是任一满足下列条件的函数:
将式(1.2.14)代入式(1.2.13),可得,由上式可见,一个非负的函数的定积分为零,只能是被积函数恒等于零,因此有,(1.2.15),将上式左端第二项展开,可得,(1.2.16),欧拉(Euler)方程,欧拉方程,式中,若时,欧拉方程是一个二阶微分方程。
定理1.2.1若给定曲线x(t)的始端x(t0)=x0和终端x(tf)=xf,则泛函,达到极值的必要条件是,曲线x(t)满足欧拉方程,其中x(t)应有连续的二阶导数,则至少应是二次连续可微的。
几种特殊的欧拉方程(可以得到封闭形式的解),被积函数L不依赖于,即被积函数L不依赖于x,即被积函数L不依赖于t,即在这种情况下,欧拉方程的首次积分为(1.2.17)其中c是待定的积分常数。
实际上,将上式左边对t求全导数,有被积函数L线性地依赖于,即,式(1.2.16),对于向量空间的泛函,也存在着欧拉方程,不过是欧拉方程组(即向量欧拉方程)。
定理1.2.2在n维函数空间中,若极值曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和终端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是给定的,则泛函,达到极值的必要条件是曲线X(t)满足向量欧拉方程,其中X(t)应有连续的二阶导数,而则至少应是二次连续可微的。
(1.2.18),例1.2.1求泛函满足边界条件的极值函数。
解:
由式(1.2.18)得:
其特征方程为:
特征根为:
从而得,由给定的边界条件得,于是得极值函数:
可以利用MATLAB符号工具箱求解,求解过程如下:
symsx1x2;
s=dsolve(D2x1-x2=0,D2x2-x1=0,x1(0)=0,x1(pi/2)=1,x2(0)=0,x2(pi/2)=-1,t);
x1=s.x1x2=s.x2运行结果如下:
x1=sin(t)x1=-sin(t),例1.2.2最速降线(又称捷线)问题所谓最速降线问题是:
设在竖直平面内有两点A和B,它们不在同一条铅垂线上,现有一质点受重力的作用自较高的A点向较低的B点滑动,如果不考虑各种阻力的影响,问应取怎样的路径,才能使所经历的时间最短?
在A、B两点所在的竖直平面内选择一坐标系,如图16所示。
A点为坐标原点,水平线为x轴,铅垂线为y轴。
设质点的初速度为零,则由力学的知识可知,质点在重力的作用下,不考虑各种阻力的影响,从A点向B点下滑的速度的大小为,(1.2.19),由图16得,(1.2.20),将式(1.2.20)代入式(1.2.19)中,并变换,得,对上式两边进行积分,可得质点自点A(0,0)滑动到点B(xf,yf)所需的时间为,(1.2.21),设y=y(x)是连接点A(0,0)和点B(xf,yf)的任一光滑曲线,则最速降线问题的数学提法是:
在XOY平面上确定一条满足边界条件,(1.2.22),的极值曲线y=y(x),使泛函,(1.2.23),达到极小值。
这时被积函数为:
不显含自变量x,由(1.2.17)知,它的首次积分为,化简上式得,这种方程宜于利用参数法求解,为此,令,于是,,又由,对上式积分,得,由边界条件y(0)知,c2=0,于是,令,最后得,这是圆滚线的参数方程。
式中r是滚动圆半径,其值由另一边界条件y(xf)=yf确定。
所以,最速降线是一条圆滚线。
1.3横截条件,当极值曲线x*(t)的端点变化时,要使泛函达到极小值,x*(t)首先应当满足欧拉方程:
若端点固定,可以利用端点条件:
确定欧拉方程中的两个待定的积分常数。
问题:
若端点可变,如何确定这两个积分常数?
横截条件推导过程问题描述:
假定极值曲线的始端A(t0,x0)是固定的,而终端B(tf,xf)是可变的,并沿着给定的曲线,(1.3.1),变动,如图17所示。
现在的问题是需要确定
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