能带的计算方法PPT文档格式.ppt
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3.53.5能带的计算方法能带的计算方法能带的计算方法能带的计算方法能带计算的常用方法有:
@#@11准自由电于近似(重点介绍)准自由电于近似(重点介绍)2.紧束缚近似紧束缚近似(重点介绍)3.正交化平面波方法4.k.P微扰法5.原胞法6.赝势法一、准自由电子近似1.模型和微扰计算模型和微扰计算准自由电子近似模型准自由电子近似模型金属中电子受到原子金属中电子受到原子实周期性势场的作用实周期性势场的作用假定势场的起伏较小假定势场的起伏较小零级近似零级近似用势场平均用势场平均值代替原子实产生的势场值代替原子实产生的势场周期性势场的起伏量作为微扰来处理周期性势场的起伏量作为微扰来处理1)零级近似下电子的能量和波函数)零级近似下电子的能量和波函数空格子中电子的能量和波函数空格子中电子的能量和波函数一维一维N个原子组成的金属,金属的线度个原子组成的金属,金属的线度零级近似下零级近似下薛定谔方程薛定谔方程波函数和能量本征值波函数和能量本征值波函数满足波函数满足正交归一化正交归一化l为整数为整数2)微扰下电子的能量本征值)微扰下电子的能量本征值哈密顿量哈密顿量满足周期满足周期边界条件边界条件根据微扰理论,电子的能量本征值根据微扰理论,电子的能量本征值一级能量修正一级能量修正二级能量修正二级能量修正按原胞划分写成按原胞划分写成引入积分变量引入积分变量利用势场函数的周期性利用势场函数的周期性i)ii)将将和和代入代入周周期期场场V(x)的的第第n个傅里叶系数个傅里叶系数二级能量修正式二级能量修正式计入微扰后电子的能量计入微扰后电子的能量3)微扰下电子的波函数)微扰下电子的波函数电子的波函数电子的波函数波函数的一级修正波函数的一级修正计入微扰电子的波函数计入微扰电子的波函数令令可以证明可以证明电子波函数电子波函数具有布洛赫函数形式具有布洛赫函数形式电子波函数的意义电子波函数的意义i)电子波函数和散射波电子波函数和散射波波矢为波矢为k的的前进的平面波前进的平面波平面波受到周期性势平面波受到周期性势场作用产生的散射波场作用产生的散射波散射波的波矢散射波的波矢相关散射波成份的振幅相关散射波成份的振幅相邻原子的散射波有相同的位相相邻原子的散射波有相同的位相散射波散射波电子入射波波长电子入射波波长布拉格反射条件在正入射时的结果布拉格反射条件在正入射时的结果波函数一级修正项波函数一级修正项散射波成份的振幅散射波成份的振幅微扰法不再适用了微扰法不再适用了入射波波矢入射波波矢ii)电子波函数和不同态之间的相互作用电子波函数和不同态之间的相互作用掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数在原来的零级波函数在原来的零级波函数中中它们的能量差越小它们的能量差越小掺入的部分就越大掺入的部分就越大当当时时两个状态具有相同的能量两个状态具有相同的能量导致了导致了波函数的发散波函数的发散电子能量的意义电子能量的意义二级能量修正二级能量修正当当电子的能量是发散的电子的能量是发散的k和和k两个状态具有相同的能量,两个状态具有相同的能量,k和和k态是简并的态是简并的4)电子波矢在)电子波矢在附近的能量和波函数附近的能量和波函数简并微扰问题中,波函数由简并波函数线性组合构成简并微扰问题中,波函数由简并波函数线性组合构成状态状态是一个小量是一个小量周期性势场中,对其有主要影响的状态周期性势场中,对其有主要影响的状态只考虑影响最大的状态,忽略其它状态的影响只考虑影响最大的状态,忽略其它状态的影响状态状态对状态对状态的影响的影响简并波函数简并波函数薛定谔方程薛定谔方程考虑到考虑到得到得到分别以分别以或或从左边乘方程,对从左边乘方程,对x积分积分利用利用线性代数方程线性代数方程a,b有非零解有非零解能量本征值能量本征值i)波矢波矢k离离较远,较远,k状态的能量和状态状态的能量和状态k差别较大差别较大将将按按泰勒级数展开泰勒级数展开k和和k能级相互作用的结果是原来能级相互作用的结果是原来能级较高的能级较高的k提高提高原来能级较低的原来能级较低的k下压下压量子力学中微扰作用下,两个相互影响的能级,总是量子力学中微扰作用下,两个相互影响的能级,总是原来较高的能量提高了原来较高的能量提高了,原来较低的能量降低了原来较低的能量降低了能级间能级间“排斥作用排斥作用”ii)波矢波矢k非常接近非常接近,k状态的能量和状态的能量和k能量差别很小能量差别很小将将按按泰勒级数展开泰勒级数展开结果分析结果分析i)两两个个相相互互影影响响的的状状态态k和和k微微扰扰后后,能能量量变变为为E+和和E-,原原来来能量高的状态能量高的状态,能量提高能量提高;@#@原来能量低的状态原来能量低的状态能量降低能量降低两个相互影响的状态两个相互影响的状态k和和k微扰后,能量变为微扰后,能量变为E+和和E-ii)当当0时时0,0,0两两个个方方向向当当0的的共共同极限同极限2.能带和带隙(禁带)能带和带隙(禁带)零级近似下,将电子看作是自零级近似下,将电子看作是自由粒子,能量本征值曲线为抛物线由粒子,能量本征值曲线为抛物线微微扰扰情情形形下下:
@#@电电子子的的k不不在在n/a附附近近时时,与与k状状态态相相互互作用的其它态的能量与作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大状态的零级能量相差大即满足即满足k状态不计二级能量修正状态不计二级能量修正抛物线抛物线当电子的当电子的和和两种情形时两种情形时微扰计算中,只考虑以上两种状态之间的相互作用微扰计算中,只考虑以上两种状态之间的相互作用在在存在一个的态存在一个的态,和,和状态能量相近状态能量相近存在一个的态存在一个的态,和,和状态能量相同状态能量相同由于周期性势场的微扰,能量本征值在由于周期性势场的微扰,能量本征值在处断开处断开能量的突变能量的突变能量本征值在能量本征值在断开断开两个态的能量间隔两个态的能量间隔禁带宽度禁带宽度电子波矢取值电子波矢取值对于一个对于一个l,有一个量子态有一个量子态k能量本征值能量本征值当当N很大时,很大时,Ek视为准连续视为准连续由于晶格周期性势场的影响,晶体中电子准连续的能由于晶格周期性势场的影响,晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的级分裂为一系列的能带能带能量本征值在能量本征值在处断开处断开结果分析讨论结果分析讨论1)能带底部,能量向上弯曲;@#@能带顶部,能量向下弯曲能带底部,能量向上弯曲;@#@能带顶部,能量向下弯曲2)禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处3)禁带的宽度禁带的宽度取取决决于于金金属属中中势势场的形式场的形式能带及一般性质能带及一般性质自由电子的能谱是抛物线型自由电子的能谱是抛物线型晶体弱周期性势场的微扰,电子能谱在布里渊边界晶体弱周期性势场的微扰,电子能谱在布里渊边界产生了宽度产生了宽度的禁带的禁带发生能量跃变发生能量跃变在在远远离离布布里里渊渊区区边边界界,近近自自由由电电子子的的能能谱谱和和自自由由电电子子的的能谱相近能谱相近每每个个波波矢矢k有有一一个个量量子子态态,当当晶晶体体中中原原胞胞的的数数目目趋趋于于无无限限大大时时,波波矢矢k变变得得非非常常密密集集,这这时时能能级级的的准准连连续续分分布布形形成成了了一一系列的能带系列的能带各各能能带带之之间间是是禁禁带带,在在完完整整的的晶晶体体中中,禁禁带带内内没没有有允允许许的的能级能级能带序号能带序号k的范围的范围k的长度的长度布里渊区布里渊区第一布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第二布里渊区第三布里渊区第三布里渊区一一维维布布喇喇菲菲格格子子,能能带带序序号号、能能带带所所涉涉及及波波矢矢k的的范范围围和和布里渊区的对应关系布里渊区的对应关系一维布喇菲格子,能带序号、波矢一维布喇菲格子,能带序号、波矢k和布里渊区对应关系和布里渊区对应关系每个能带中包含的每个能带中包含的量子态数目量子态数目波矢波矢k的取值的取值k的数目的数目每个能带对应每个能带对应k的取值范围的取值范围各个能带各个能带k的取值数目的取值数目原胞的数目原胞的数目计入自旋,计入自旋,每个能带中包含每个能带中包含2N个量子态个量子态电子波矢和量子数简约波矢的关系电子波矢和量子数简约波矢的关系第一布里渊区第一布里渊区近自由电子中电子的波矢近自由电子中电子的波矢在一维情形中在一维情形中m为整数为整数简约波矢简约波矢的取值范围的取值范围平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数k(简约波矢,计为简约波矢,计为)和电子波矢和电子波矢k之之间的关系间的关系l为整数为整数电子的波函数电子的波函数可以表示为可以表示为晶格周期性函数晶格周期性函数将将代入代入晶格周期性函数晶格周期性函数晶体中电子的波函数晶体中电子的波函数利利用用电电子子波波矢矢和和简简约约波波矢矢的的关关系系,电电子子在在周周期期性性势势场场中中的波函数为布洛赫函数的波函数为布洛赫函数用简约波矢来表示能级用简约波矢来表示能级电子的能级电子的能级m为整数,对应于不同的能带为整数,对应于不同的能带第一能带位于简约布里渊区,其它能带可以通过倒格矢第一能带位于简约布里渊区,其它能带可以通过倒格矢移到简约布里渊区移到简约布里渊区每每一一个个能能带带在在简简约约布布里里渊渊区区都都有有各各自自的的图图像像,得得到到所所有有能带在简约布里渊区的图像能带在简约布里渊区的图像简简约约波波矢矢的的取取值值被被限限制制在在简简约约布布里里渊渊区区,要要标标志志一一个个状状态需要表明:
@#@态需要表明:
@#@1)它属于它属于哪一个能带(能带标号)哪一个能带(能带标号)2)它的它的简约波矢简约波矢是什么是什么?
@#@电子波矢电子波矢k和简约波矢和简约波矢的的关系关系周周期期性性势势场场的的起起伏伏只只使得不同能带相同简约波矢使得不同能带相同简约波矢的状态之间的相互影响的状态之间的相互影响对对于于一一般般的的(远远离离布布里里渊渊边边界界)这这些些状状态态间间的的能能量量相相差差较较大大,在在准准自自由由电电子子近近似似的的微微扰扰计计算算中中,采采用用非非简并微扰简并微扰简约波矢简约波矢及及其其附附近近,存存在在两两个个能能量量相相同同或或能能量量相相近近的的态态,需需要要简简并并微微扰扰理理论来计算论来计算结果表明在结果表明在和和不不同同能能带带之之间间出现带隙出现带隙禁带禁带用简约波矢来表示零级波函数用简约波矢来表示零级波函数零级波函数零级波函数将将代入得到代入得到与与用用简简约约波波矢矢表表示示能能带带一一样样,必必须须指指明明波波函函数数属属于于哪哪一个能带一个能带二、紧束缚方法二、紧束缚方法1.模型与微扰计算模型与微扰计算紧束缚近似方法的思想紧束缚近似方法的思想电子在一个原子电子在一个原子(格点格点)附近时,主要受到该原子势场附近时,主要受到该原子势场的作用,而将其它原子势场的作用看作是微扰的作用,而将其它原子势场的作用看作是微扰将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合,得到性组合,得到原子能级原子能级和晶体中和晶体中电子能带电子能带之间的关系之间的关系LCAO理论理论_LinearCombinationofAtomicOrbitals原子轨道线性组合法原子轨道线性组合法简单晶格原胞只有一个原子简单晶格原胞只有一个原子电子的束缚态波函数电子的束缚态波函数电子在格矢电子在格矢处原子附近运动处原子附近运动电子在第电子在第m个原子附近运动,其它原子的作用是微扰个原子附近运动,其它原子的作用是微扰电子的束缚态波函数电子的束缚态波函数格点的原子在格点的原子在处的势场处的势场电子第电子第i个束缚态的波函数个束缚态的波函数电子第电子第i个束缚态的能级个束缚态的能级晶体中电子的波函数晶体中电子的波函数满足的薛定谔方程满足的薛定谔方程晶体的周期性势场晶体的周期性势场_所有原子的势场之和所有原子的势场之和对方程进行变换对方程进行变换微扰作用微扰作用微扰以后电子的运动状态微扰以后电子的运动状态原子轨道线性组合原子轨道线性组合(LCAO)晶体中有晶体中有N个
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- 能带 计算方法