运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题PPT推荐.ppt
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整数线性规划问题的种类:
纯整数线性规划:
指全部决策变量都必须取整数值的整数纯整数线性规划:
指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
线性规划。
混合整数线性规划:
决策变量中有一部分必须取整数值,混合整数线性规划:
决策变量中有一部分必须取整数值,另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划:
决策变量只能取值型整数线性规划:
决策变量只能取值0或或1的整数线性的整数线性规划。
规划。
整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用整数规划的典型例子整数规划的典型例子整数规划的典型例子整数规划的典型例子例例4.1工厂工厂A1和和A2生产某种物资。
由于该种物资供不应求,故需要生产某种物资。
由于该种物资供不应求,故需要再建一家工厂。
相应的建厂方案有再建一家工厂。
相应的建厂方案有A3和和A4两个。
这种物资的需求地两个。
这种物资的需求地有有B1,B2,B3,B4四个。
各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各四个。
各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费需求地的单位物资运费cij,见下表:
,见下表:
B1B2B3B4年生产能力年生产能力A12934400A28357600A37612200A44525200年需求量年需求量350400300150工厂工厂A3或或A4开工后,每年的生产费用估计分别为开工后,每年的生产费用估计分别为1200万或万或1500万元。
万元。
现要决定应该建设工厂现要决定应该建设工厂A3还是还是A4,才能使今后每年的总费用最少。
,才能使今后每年的总费用最少。
整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用解:
这是一个物资运输问题,特点是事先不能确定应该建解:
这是一个物资运输问题,特点是事先不能确定应该建A3还是还是A4中哪一个,因而不知道新厂投产后的实际生产物资。
中哪一个,因而不知道新厂投产后的实际生产物资。
为此,引入为此,引入0-1变量:
变量:
再设再设xij为由为由Ai运往运往Bj的物资数量,单位为千吨;
的物资数量,单位为千吨;
z表示总费用,表示总费用,单位万元。
单位万元。
则该规划问题的数学模型可以表示为:
整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用混合整数规划问题混合整数规划问题整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用例例4.2现有资金总额为现有资金总额为B。
可供选择的投资项目有。
可供选择的投资项目有n个,项目个,项目j所需投资额和预期收益分别为所需投资额和预期收益分别为aj和和cj(j1,2,.,n),此外由),此外由于种种原因,有三个附加条件:
于种种原因,有三个附加条件:
若选择项目若选择项目1,就必须同时选择项目,就必须同时选择项目2。
反之不一定。
反之不一定;
项目项目3和和4中至少选择一个;
中至少选择一个;
项目项目5,6,7中恰好选择中恰好选择2个。
个。
应该怎样选择投资项目,才能使总预期收益最大。
对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能,因此解:
对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能,因此分别用分别用0和和1表示,令表示,令xj表示第表示第j个项目的决策选择,记为:
个项目的决策选择,记为:
投资问题可以表示为:
整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用整数规划问题解的特征:
整数规划问题解的特征:
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一个子集,任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件,个子集,任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件,因而不一定仍为可行解。
因而不一定仍为可行解。
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解(反整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解(反之不一定),但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解之不一定),但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解的目标函数值。
的目标函数值。
整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用例例4.3设整数规划问题如下设整数规划问题如下首先不考虑整数约束,得到线性规划问题(一般称为松弛问首先不考虑整数约束,得到线性规划问题(一般称为松弛问题)。
题)。
整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用用图解法求出最优解为:
用图解法求出最优解为:
x13/2,x2=10/3,且有,且有Z=29/6现求整数解现求整数解(最优解最优解):
如用舍如用舍入取整法可得到入取整法可得到4个点即个点即(1,3),(2,3),(1,4),(2,4)。
显然,它。
显然,它们都不可能是整数规划的最优解。
们都不可能是整数规划的最优解。
x1x233(3/2,10/3)按整数规划约束条件,其可行按整数规划约束条件,其可行解肯定在线性规划问题的可行域解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。
故整数规划问题内且为整数点。
故整数规划问题的可行解集是一个有限集,如右的可行解集是一个有限集,如右图所示。
图所示。
其中其中(2,2),(3,1)点的目点的目标函数值最大,即为标函数值最大,即为Z=4。
整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用整数规划问题的求解方法:
整数规划问题的求解方法:
匈牙利法(指派问题)匈牙利法(指派问题)分支定界法和割平面法分支定界法和割平面法指派问题指派问题一、指派问题的数学模型的标准形式:
一、指派问题的数学模型的标准形式:
设设n个人被分配去做个人被分配去做n件工作,规定每个人只做一件工作,件工作,规定每个人只做一件工作,每件工作只有一个人去做。
已知第每件工作只有一个人去做。
已知第i个人去做第个人去做第j件工作的效率件工作的效率(时间或费用)为时间或费用)为Cij(i=1.2n;
j=1.2n)并假设并假设Cij0。
问应。
问应如何分配才能使总效率(如何分配才能使总效率(时间或费用)最高?
时间或费用)最高?
设决策变量设决策变量指派问题的数学模型为:
指派问题的数学模型为:
指派问题指派问题克尼格定理克尼格定理克尼格定理克尼格定理:
如果从分配问题效率矩阵如果从分配问题效率矩阵aij的每一行元素中分别减去的每一行元素中分别减去(或加上或加上)一个常数一个常数ui,从每一列中分别减去,从每一列中分别减去(或加上或加上)一个常数一个常数vj,得到一个新的效率矩阵,得到一个新的效率矩阵bij,则以,则以bij为效率矩阵的分配为效率矩阵的分配问题与以问题与以aij为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。
为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。
指派问题指派问题二、匈牙利法二、匈牙利法二、匈牙利法二、匈牙利法nn指派问题的匈牙利法求解步骤:
指派问题的匈牙利法求解步骤:
1)变变换换指指派派问问题题的的系系数数矩矩阵阵(cij)为为(bij),使使在在(bij)的的各各行行各各列列中都出现中都出现0元素,即元素,即从从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素;
的每行元素都减去该行的最小元素;
再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
2)进行试指派,以寻求最优解。
进行试指派,以寻求最优解。
在在(bij)中中找找尽尽可可能能多多的的独独立立0元元素素,若若能能找找出出n个个独独立立0元元素素,就就以以这这n个个独独立立0元元素素对对应应解解矩矩阵阵(xij)中中的的元元素素为为1,其其余余为为0,这就得到最优解。
,这就得到最优解。
指派问题指派问题找独立找独立0元素,常用的步骤为:
元素,常用的步骤为:
从只有一个从只有一个0元素的行开始,给该行中的元素的行开始,给该行中的0元素加圈,记作元素加圈,记作。
然后划去。
然后划去所在列的其它所在列的其它0元素,记作元素,记作;
这表示该列所代表;
这表示该列所代表的任务已指派完,不必再考虑别人了。
依次进行到最后一行。
的任务已指派完,不必再考虑别人了。
从只有一个从只有一个0元素的列开始(画元素的列开始(画的不计在内),给该列中的的不计在内),给该列中的0元素加圈,记作元素加圈,记作;
然后划去;
然后划去所在行的所在行的0元素,记作元素,记作,表示,表示此人已有任务,不再为其指派其他任务了。
依次进行到最后一列。
此人已有任务,不再为其指派其他任务了。
若仍有没有划圈的若仍有没有划圈的0元素,且同行元素,且同行(列列)的的0元素至少有两个,比元素至少有两个,比较这行各较这行各0元素所在列中元素所在列中0元素的数目,选择元素的数目,选择0元素少这个元素少这个0元素加元素加圈圈(表示选择性多的要表示选择性多的要“礼让礼让”选择性少的选择性少的)。
然后划掉同行同列。
然后划掉同行同列的其它的其它0元素。
可反复进行,直到所有元素。
可反复进行,直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
元素都已圈出和划掉为止。
指派问题指派问题若若元素的数目元素的数目m等于矩阵的阶数等于矩阵的阶数n(即:
(即:
mn),那么这指,那么这指派问题的最优解已得到。
若派问题的最优解已得到。
若mn,则转入下一步。
则转入下一步。
3)用最少的直线通过所有用最少的直线通过所有0元素。
其方法:
元素。
对没有对没有的行打的行打“”;
对已打对已打“”的行中所有含的行中所有含元素的列打元素的列打“”;
再对打有再对打有“”的列中含的列中含元素的行打元素的行打“”;
重复重复、直到得不出新的打直到得不出新的打号的行、列为止;
号的行、列为止;
对没有打对没有打号的行画横线,有打号的行画横线,有打号的列画纵线,这就得到覆盖号的列画纵线,这就得到覆盖所有所有0元素的最少直线数元素的最少直线数l。
注注:
l应应等等于于m,若若不不相相等等,说说明明试试指指派派过过程程有有误误,回回到到第第2步步,另另行行试试指指派派;
若若lmn,表表示示还还不不能能确确定定最最优优指指派派方方案案,须须再再变变换换当当前前的的系系数矩阵,以找到数矩阵,以找到n个独立的个独立的0元素,为此转第元素,为此转第4步。
步。
指派问题指派问题4)变换矩阵变换矩阵(bij)以增加以增加0元素元素在没有被直线通过的所有元素中找出最小值,没有被直在没有被直线通过的所有元素中找出最小值,没有被直线通过的行所有元素减去这个最小元素;
所有有直线通过的线通过
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- 关 键 词:
- 运筹学 基础 应用 整数 规划 分配 问题