坐标平移优质PPT.ppt
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坐标系的平移。
教学难点:
平移公式的运用教学难点:
平移公式的运用.教学方法:
启发探究式。
教学方法:
教学过程教学过程:
一一,引入引入:
我们知道我们知道,点的坐标和曲线的方程是对于某个确定的坐标点的坐标和曲线的方程是对于某个确定的坐标系来说的系来说的.同一个点同一个点,在不同的坐标系中有不同的坐标在不同的坐标系中有不同的坐标,同一条曲线同一条曲线在不同的坐标系中有不同的方程在不同的坐标系中有不同的方程.如图如图,点点O在坐标系在坐标系xoy中的中的坐标为坐标为(1,2).在坐标系在坐标系xoy中的坐标为中的坐标为(0,0).而以点而以点O为顶点为顶点的抛物线的方程的抛物线的方程,在坐标系在坐标系xoy中的方程为中的方程为:
.在坐标系在坐标系xoy中就是中就是:
.可以看出可以看出:
虽然点还是同一个点虽然点还是同一个点,曲线还是同一曲线曲线还是同一曲线,但是由于坐标但是由于坐标系改变了系改变了,点的坐标和曲线的方程也就随之改变了点的坐标和曲线的方程也就随之改变了.有意义的是有意义的是:
如果把坐标系作适当的变换如果把坐标系作适当的变换,那么曲线的方程就可以简化那么曲线的方程就可以简化,这对于研究曲这对于研究曲线的性质将带来方便线的性质将带来方便.我们知道我们知道:
点的坐标和曲线的方程是对于某个确点的坐标和曲线的方程是对于某个确定的坐标系来说的定的坐标系来说的.同一个点同一个点,在不同的坐标系中在不同的坐标系中有不同的坐标有不同的坐标,同一条曲线在不同的坐标系中有同一条曲线在不同的坐标系中有不同的方程不同的方程.如图如图,点点o在坐标系在坐标系xoy中的坐标为中的坐标为(1,2).在坐标系在坐标系xoy中的坐标为中的坐标为(0,0).而以点而以点o为顶点的抛物线的方程为顶点的抛物线的方程,在坐标系在坐标系xoy中的方程为中的方程为:
可以看出可以看出:
虽然点还是同一个点虽然点还是同一个点,曲线还是同一曲线曲线还是同一曲线,但是由于坐标系改变了但是由于坐标系改变了,点的坐标和曲线的方程也就随之改变了点的坐标和曲线的方程也就随之改变了.xOo12xyy在坐标系在坐标系xoy中就是中就是:
oxyxy坐标系的平移坐标系的平移一一:
定义:
只改变原点的位置,不改变坐标轴方向和长度单位的坐标变换定义:
只改变原点的位置,不改变坐标轴方向和长度单位的坐标变换叫做坐标系的平移。
叫做坐标系的平移。
如图如图,坐标系坐标系xoy是坐标系是坐标系xoy经过平移向量经过平移向量得到的得到的,设点设点O在坐标系在坐标系xoy中的坐标是中的坐标是(h,k),点点A在坐标系在坐标系xoy和和xoy中的坐标分别是中的坐标分别是(x,y)和和(x,y);
问问:
(x,y)和和(x,y)之间有什么关之间有什么关系系?
xyO(h,k)A(x,y)(x,y)由图知由图知;
坐标系的平移公式坐标系的平移公式注注:
(h,k)为新坐标系的原点为新坐标系的原点o在原坐标系下的坐标在原坐标系下的坐标.问问:
原坐标系中的原点原坐标系中的原点o在新坐标系下的坐标是在新坐标系下的坐标是?
二二,应用应用1.平移坐标系化简方程平移坐标系化简方程.例例1.平移坐标系平移坐标系,把坐标原点把坐标原点O移动到移动到o(-2,3).
(1)求原坐标系中的曲线求原坐标系中的曲线C1:
y2-4x-6y+1=0在在新坐标系中的方程新坐标系中的方程;
(2)求新坐标系中的曲线求新坐标系中的曲线C2:
在原坐标系中的方程在原坐标系中的方程;
解解
(1)将将x=x-2,y=y+3.代入曲线代入曲线C1:
y2-4x-6y+1=0,得得(y+3)2-4x-6(y+3)+1=0化简得化简得:
y2=4x.
(2)将将x=x-2,y=y+3.代入曲线代入曲线C2得得:
坐标系的平移公式坐标系的平移公式例例2:
平移坐标系平移坐标系,化简方程化简方程:
x2-2y2-6x+4y+3=0;
并作出方程的曲线并作出方程的曲线.求出其中心求出其中心,焦点焦点,顶点坐标顶点坐标,渐近线方程渐近线方程解解:
法法1(公式法公式法)把把x=x+h,y=y+k代入方程得代入方程得.(x+h)2-2(y+k)2-6(x+h)+4(y+k)+3=0即即.X2-2y2+(2h-6)x-(4k-4)y+h2-2k2-6h+4k+3=0令令代入代入得得x2-2y2-4=0表示双曲线表示双曲线法法2:
(配方法配方法)将方程将方程:
x2-2y2-6x+4y+3=0配方得配方得:
(x-3)2-2(y-1)2-4=0即即:
oxyOXY坐标系的平移公式坐标系的平移公式令令x=x-3,y=y-1.得得一般地一般地,对于缺对于缺xy项的二元二次方程项的二元二次方程ax2+cy2+dx+ey+f=0(a,c不同时为零不同时为零)可通过平移变换可通过平移变换,把原点移到椭圆或双曲线的中心把原点移到椭圆或双曲线的中心,或抛物线或抛物线的顶点的顶点,使方程在新坐标系中成为标准方程使方程在新坐标系中成为标准方程.例例3:
求方程求方程4x2+9y2-16x+18y-11=0所表示的曲线的中心坐标所表示的曲线的中心坐标,焦点坐焦点坐标标;
并作出它的图形并作出它的图形.解解:
将原方程配方得将原方程配方得.令令x=x-2,y=y+1,则得椭圆则得椭圆C在坐标系在坐标系xoy中的方程是中的方程是:
XY中心中心(2,-1),焦点焦点(和和oyxO例例4;
求抛物线求抛物线的顶点的顶点,焦点坐标焦点坐标,准线方程准线方程.解解:
配方得配方得:
(x+3)2=8(y-1)令令o(-3,1)在新坐标系下在新坐标系下.x2=8y在新坐标系下在新坐标系下:
顶点顶点o(0,0)F(0,2),准线准线:
y=-2在原坐标系下在原坐标系下:
顶点顶点o(-3,1),焦点焦点F(-3,3),准线准线y=-1xyoXYO-312.方程方程ax2+cy2+dx+ey+f=0的讨论的讨论.对于缺对于缺xy项的二元二次方程项的二元二次方程ax2+cy2+dx+ey+f=0(a,c不全为零不全为零)一般可以通过配方将一般可以通过配方将化为标准方程的形式化为标准方程的形式.当当ac0时时,将方程将方程配方配方,得得令令,则方程则方程可化为可化为ax2+cy2=f(其中其中若若ac0,且且a,c与与f同号同号,则方程则方程一般表示椭圆一般表示椭圆.特殊情况特殊情况:
当当a=c时时,表示表示圆圆;
当当f=0时时,表示一个点表示一个点;
当当a,c与与f的符号相反时的符号相反时,无轨迹无轨迹.我们我们把把ac0时的二次方程叫做椭圆型方程时的二次方程叫做椭圆型方程.ax+cy=f(其中其中若若ac0,则方程则方程表示两条与表示两条与y轴平行的直线轴平行的直线;
若若=0,则方程则方程表示两条重合的直线表示两条重合的直线;
若若0,则方程则方程无轨迹无轨迹.我们把我们把a,c中只有一个为零的二次方程叫做抛物线型方程中只有一个为零的二次方程叫做抛物线型方程.我们把我们把ac0,方程是椭圆型方程是椭圆型.配方得配方得:
3(x+1)2+4(y-3)2=48.令令x=x+1,y=y-3得得:
(2)a=0,c=2,ac=0,方程是抛物线型方程是抛物线型.配方得配方得:
2(y+3)2+5(x-1)=0.令令x=x-1,y=y+3得得:
例例2;
判别方程判别方程y2-4y-x2+2x+k=0是什么类型是什么类型,并指出并指出k为何值时为何值时,这方程表示两条直线这方程表示两条直线.解解:
a=-1,c=1,ac0)焦点在平行于焦点在平行于x轴的直线上轴的直线上,开口向左开口向左,则方程为则方程为:
(y-k)2=-2p(x-h),(p0)焦点在平行于焦点在平行于y轴的直线上轴的直线上,开口向上开口向上,则方程为则方程为:
(x-h)2=2p(y-k),(p0)焦点在平行于焦点在平行于y轴的直线上轴的直线上,开口向上开口向上,则方程为则方程为:
(x-h)2=-2p(y-k),(p0)例例1.
(1)已知椭圆两焦点已知椭圆两焦点F1(1,2),F2(1,-4)长轴长长轴长10,求椭圆方程求椭圆方程.解解:
中心中心o(1,-1),焦点在平行于焦点在平行于y轴的直线上轴的直线上,设椭圆方程设椭圆方程:
2c=c=3又又2a=10a=5从而从而b=4.故椭圆方程为故椭圆方程为:
(2)求中心为求中心为(2,3),一个顶点一个顶点(3,3),一个焦点一个焦点(2,5)的椭圆方程的椭圆方程.解解:
b=1,c=2a2=5故椭圆方程为故椭圆方程为:
OoxyF1.F2.oxyO.(3,3)F.(2,3)(2,5)例例2:
求焦点为求焦点为F(3,-3),对称轴在平行于对称轴在平行于x轴的直线上轴的直线上,且焦点到顶点的且焦点到顶点的距离为距离为2的抛物线方程的抛物线方程.由由顶点顶点o(1,-3)或或(5,-3)抛物线方程为抛物线方程为:
(y+3)2=8(x-1)或或(y+3)2=-8(x-5).解解;
F.o.o例例3:
双曲线的两渐近线方程为双曲线的两渐近线方程为:
x-2y-3=0及及x+2y+1=0,又两顶点在平行于又两顶点在平行于x轴的直线上且相距为轴的直线上且相距为6,求此双曲线方程求此双曲线方程.解解:
由由中心为中心为O(1,-1)又两焦点在平行于又两焦点在平行于x轴的直线上轴的直线上,设双曲线为设双曲线为:
由由双曲线为双曲线为:
oxy例例4;
双曲线的对称轴平行于坐标轴双曲线的对称轴平行于坐标轴,过点过点(0,),又渐近线方程为又渐近线方程为2x+y-8=0,2x-y-4=0求双曲线方程求双曲线方程.解解;
(法法1)由由中心中心o(3,2)将将x=o分别代入分别代入2x+y-8=0,2x-y-4=0得得y=8及及y=-4,可设双曲线为可设双曲线为:
(法法2)设双曲线设双曲线:
(2x+y-8)(2x-y-4)=k(k0)将点将点(0,)代入得代入得,k=4双曲线方程为双曲线方程为:
(2x+y-8)(2x-y-4)=4,即即(2x+y)(2x-y)-24x+4y+28=0整理得整理得:
4(x-3)2-(y-2)2=4.例例5:
抛物线抛物线y2=4x的焦点在直线的焦点在直线y=x-1上滑动上滑动,对称轴作平行移动对称轴作平行移动,问能问能否否滑到使抛物线截直线滑到使抛物线截直线所得弦长与截所得弦长与截y轴所得弦长相等轴所得弦长相等.解解:
设焦点滑到设焦点滑到(a,a-1),2p=4,p/2=1,顶点顶点(a-1,a-1)设抛物线设抛物线:
(y-a+1)2=4(x-a+1)令令x=0,则则(y-a+1)2=4(1-a)0截截y轴弦长轴弦长:
将将代入代入得得x2-4(a+3)x+4(a2+2a-3)=0由由又又1-a0-3a1x1+x2=4(a+3),x1x2=4(a2+2a-3)故能滑到故能滑到.Fxy例例6:
k,讨论讨论:
x2+(k-1)y2-3ky+2k=0所表示曲线的形状所表示曲线的形状.解解:
当当k-8时,表示焦点在时,表示焦点在y轴上的双曲线;
轴上的双曲线;
当当k=-8时,方程为表示两相交直线;
时,方程为表示两相交直线;
当当k0时,表示焦点在平行于时,表示焦点在平行于x轴的直线上的双曲线;
轴的直线上的双曲线;
当当k=0时,方程为时,方程为x2y2=0,表示两条相交直线;
表示两条相交直线;
当当0k1时,表示焦点
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- 坐标 平移