《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件PPT资料.pptx
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我们知道,平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)。
对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?
xyzOQP由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组x,y,z使得我们称为向量在上的分向量。
探究:
在空间中,如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量,你能得出类似的结论吗?
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
一、空间向量基本定理:
如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使都叫做基向量
(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
特别提示特别提示:
对于基底除了应知道不共面,还应明确:
(2)由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。
1、已知向量a,b,c是空间的一个基底求证:
向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底练习练2设且是空间的一个基底,给出下列向量组,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析:
能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设,易判断出答案C二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系单位正交基底:
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系:
在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点,分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:
x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz点O叫做原点,向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
xyzOe1e2e3二、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作.P=(x,y,z)例例11平行六面体中,若MC=2=2AM,A11N=2=2ND,设AB=a,AD=b,AA11=c,试用a,b,c表示MN.分析:
要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MNABCDA1B1D1C1MN解:
连AN,则MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA=AC=AC=(a+b)1313AN=AD+DNAN=AD+DN=(2=(2b+c)13=(=(a+b+c)13MN=MA+ANMN=MA+AN例例11平行六面体中,若MC=2=2AM,A11N=2=2ND,设AB=a,AD=b,AA11=c,试用a,b,c表示MN.练习小结与作业:
习题3.1A组第11题
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- 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间 向量 正交 分解 及其 坐标 表示 课件