同济大学高数上册知识点Word文件下载.docx
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nT°
o
2)函数极限
limf(x)=A=*>
0,我>
0,%,当0^|x-x°
|"
时,f(x)-A—
XrXo
左极限:
f(X0)=limf(X)右极限:
f(X。
)=limf(x)
XTXoIXo
limf(x)二A存在二f(x0)=f(x0)
X_;
Xo
2、极限存在准则
1)夹逼准则:
1)y^X^Zn(n-n°
2)单调有界准则:
单调有界数列必有极限.
3、无穷小(大)量
1)定义:
若lim〉二0则称为无穷小量;
若lim〉八:
则称为无穷大量
2)
无穷小的阶:
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小
a)x~sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx
b)
1
-cosx〜—X
c)ex-1〜x(ax-1〜xlna)
x
d)In(1x)〜x(loga(1X)〜厂
Ina
e)(1x):
_1〜:
导数与微分
1、
(一)导数
左导数:
fHimf(x)—f(x0)
xtxcTX-X0
右导数:
f(X0^limf(x)—f(x0)
XTX。
X—X0
x>
xo
定义:
f(xo“”
函数f(x)在Xo点可导二f_(Xo)=f(Xo)
2、几何意义:
)为曲线y=f(x)在点xo,f(Xo)处的切线的斜率.
3、可导与连续的关系:
4、求导的方法
1)导数定义;
2)基本公式;
3)四则运算;
4)复合函数求导(链式法则);
5)隐函数求导数;
6)参数方程求导;
7)对数求导法.
5、高阶导数
1)定义:
歸—2
n
(n)k(k)(n_k)
2)Leibniz公式:
uvCnuv
k=0
(二)微分
y二f(X。
X)-f(x。
)=Axo(x),其中A与:
x无关.
2)可微与可导的关系:
可微=可导,且dy二f(xQyx=f(xg)dx
三、微分中值定理与导数的应用
1、Rolle罗尔定理:
若函数f(x)满足:
1)f(x)C[a,b];
2)f(x)D(a,b);
3)f(a)=f(b);
贝S:
(a,b),使f(J=0.
2、Lagrange拉格朗日中值定理*:
1)f(x)C[a,b];
2)f(x)D(a,b);
则.(a,b),使f(b)-f(a)=f()(b-a).
3、Cauchy柯西中值定理:
若函数f(x),F(x)满足:
洛必达法则
1)f(x),F(x)C[a,b];
2)f(x),F(x)D(a,b);
3)F(x)=0,x(a,b)
(三)Taylor公式
(四)单调性及极值
1、单调性判别法:
f(x)・C[a,b],f(x)・D(a,b),则若f(x)0,则
f(x)单调增加;
则若f(x)”0,则f(x)单调减少.
2、极值及其判定定理:
a)必要条件:
f(x)在X。
可导,若X。
为f(x)的极值点,贝“「(Xo)=O.
b)第一充分条件:
f(x)在X。
的邻域内可导,且f〈Xo)=O,则①若当X:
;
X。
时,f(X)0,当XX。
时,f(X)“0,则X。
为极大值点;
②若当X”X。
时,f(x)"
,当XXo时,「(X)。
,则Xo为极小值点;
③若在Xo的两侧f(X)不变号,则X0不是极值点.
C)第二充分条件:
f(X)在X。
处二阶可导,且「(Xo)=。
,厂(Xo)=。
,则①若f(X。
)。
,则Xo为极大值点;
②若「(X。
)•。
,则Xo为极小值点.
3、凹凸性及其判断,拐点
1)f(X)在区间I上连续,若一Xi,X2T,f(Xl2X2):
:
f(Xl)2f(X2),则称f(x)在
x+xf(x)+f(x)
区间I上的图形是凹的;
若一Xi,X2,I,f(丄訂)七-,则称f(x)在
区间I上的图形是凸的.
2)判定定理:
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有一阶、二阶导数,则
a)若一x(a,b),f(x)^,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
b)若-x(a,b),f(X)。
则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
3)拐点:
设y二f(x)在区间I上连续,Xo是f(x)的内点,如果曲线y二f(x)经过点(x。
,f(x。
))时,曲线的凹凸性改变了,则称点(x。
))为曲线的拐点.
(5)不等式证明
1、利用微分中值定理;
2、利用函数单调性;
3、利用极值(最值).
(6)方程根的讨论
1、连续函数的介值定理;
2、Rolle定理;
3、函数的单调性;
4、极值、最值;
5、凹凸性.
(7)
渐近线
limf(x)=b,则y=b为一条水平渐近线;
X—
四、不定积分
(一)概念和性质
1、原函数:
在区间I上,若函数F(x)可导,且F〈x)二f(x),则F(x)称为
f(x)的一个原函数.
2、不定积分:
在区间I上,函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.
3、基本积分表(P188,13个公式);
4、性质(线性性).
换元积分法
1、第一类换元法(凑微分):
.f「(x)「(x)dx・f(u)dJu「(x)
2、第二类换元法(变量代换:
三角代换、倒代换、根式代换等):
f(x)dx二If[(t)](t)dt
(三)分部积分法:
.udv二uv-.vdu(反对幕指三,前u后v'
(四)有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等)
五、定积分
(一)概念与性质:
b
1、定义:
af(x)dx二
2、性质:
(7条)
,性质7(积分中值定理)
lim/f(J为
函数f(x)在区间[a,b]上连续,则[a,b],使
bJf(x)dx
if(x)dx=f(E)(b-a)(平均值:
f(©
)=)
b-
(二)
微积分基本公式(N—L公式)
变上限积分:
设门(X)二f(t)dt,则"
(X)二f(x)
a
d:
(x)
推广:
:
、f(t)dt=f[W(x)-f卜(x沪r(x)
dxa(x)
2、N—L公式:
若F(x)为f(x)的一个原函数,则jf(x)dx=F(b)-F(a)
(3)换元法和分部积分
bp
1、换元法:
Jf(x)dx=ff[毋(t)]L(t)dt
aot
2、分部积分法:
「udv二'
uv-bvdu
aa
(4)反常积分
1、无穷积分:
亠-t
ff(x)dx=limJf(x)dx
t
bb
f(x)dxlimf(x)dx
t)-:
:
t
-:
:
o-:
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
2、瑕积分:
f(x)dx二limf(x)dx(a为瑕点)
bt
f(x)d^limf(x)dx(b为瑕点)
t—-b
两个重要的反常积分:
+e,p兰1
dx
P二a—p
1)axpJpj
(b-a)"
1-q
P_1
bdxbdx
2)a(x-a)qa(b-x)q
+QO
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