北京市西城区文科数学二模试题及答案解析.docx
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北京市西城区文科数学二模试题及答案解析
2014北京市西城区文科数学二模试题及答案解析
2014.5
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.设集合,集合,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
2.在复平面内,复数对应的点位于()
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3.直线为双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率是()
(A)
(B)
(C)
(D)
4.某四棱锥的三视图如图所示,记A为此棱锥所有棱的长度的集合,则()
(A),且
(B),且
(C),且
(D),且
5.设平面向量,,均为非零向量,则“”是“”的()
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
6.在△ABC中,若,,,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
7.设函数若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是()
(A)
(B)
(C)
(D)
8.设为平面直角坐标系中的点集,从中的任意一点作轴、轴的垂线,垂足分别为,,记点的横坐标的最大值与最小值之差为,点的纵坐标的最大值与最小值之差为.
如果是边长为1的正方形,那么的取值范围是()
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在等差数列中,,,则公差_____;____.
10.设抛物线的焦点为,为抛物线上一点,且点的横坐标为2,则.
11.执行如图所示的程序框图,输出的a值为______.
12.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域是,不等式组所表示的平面区域是.从区域中随机取一点,则P为区域内的点的概率是_____.
13.已知正方形ABCD,AB=2,若将沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折,则在翻折的过程中,四面体的体积的最大值是____.
14.已知f是有序数对集合上的一个映射,正整数数对在映射f下的象为实数z,记作.对于任意的正整数,映射由下表给出:
则__________,使不等式成立的x的集合是_____________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)当时,求函数的最大值和最小值.
16.(本小题满分13分)
为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的A,B两班中各抽5名学生进行视力检测.检测的数据如下:
A班5名学生的视力检测结果:
4.3,5.1,4.6,4.1,4.9.
B班5名学生的视力检测结果:
5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.
(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好?
(Ⅱ)由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大?
(结论不要求证明)
(Ⅲ)根据数据推断A班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?
17.(本小题满分14分)
如图,在正方体中,,为的中点,为的中点.
(Ⅰ)求证:
平面平面;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)设为正方体棱上一点,给出满足条件的点的
个数,并说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)若,求函数的定义域和极值;
(Ⅱ)当时,试确定函数的零点个数,并证明.
19.(本小题满分14分)
设分别为椭圆的左、右焦点,斜率为的直线经过右焦点,且与椭圆W相交于两点.
(Ⅰ)求的周长;
(Ⅱ)如果为直角三角形,求直线的斜率.
20.(本小题满分13分)
在无穷数列中,,对于任意,都有,.设,记使得成立的的最大值为.
(Ⅰ)设数列为1,3,5,7,,写出,,的值;
(Ⅱ)若为等比数列,且,求的值;
(Ⅲ)若为等差数列,求出所有可能的数列.
北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准
高三数学(文科)2014.5
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.D2.A3.C4.D
5.B6.A7.D8.B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.
11.12.
13.14.
注:
第9,14题第一问2分,第二问3分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
………………4分
,………………6分
所以函数的最小正周期为.………………7分
(Ⅱ)解:
由,得.
所以,………………9分
所以,即.………11分
当,即时,函数取到最小值;…12分
当,即时,函数取到最大值.…………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
A班5名学生的视力平均数为,…………2分
B班5名学生的视力平均数为.……………3分
从数据结果来看A班学生的视力较好.………………4分
(Ⅱ)解:
B班5名学生视力的方差较大.………………8分
(Ⅲ)解:
在A班抽取的5名学生中,视力大于4.6的有2名,
所以这5名学生视力大于4.6的频率为.………………11分
所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有名,
则根据数据可推断A班有16名学生视力大于4.6.………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
在正方体中,
因为平面,平面,
所以平面平面.………………4分
(Ⅱ)证明:
连接,,设,连接.
因为为正方体,
所以,且,且是的中点,
又因为是的中点,
所以,且,
所以,且,
即四边形是平行四边形,
所以,………………6分
又因为平面,平面,
所以平面.………………9分
(Ⅲ)解:
满足条件的点P有12个.………………12分
理由如下:
因为为正方体,,
所以.
所以.………………13分
在正方体中,
因为平面,平面,
所以,
又因为,
所以,
则点到棱的距离为,
所以在棱上有且只有一个点(即中点)到点的距离等于,
同理,正方体每条棱的中点到点的距离都等于,
所以在正方体棱上使得的点有12个.………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
函数的定义域为,且.………………1分
.………………3分
令,得,
当变化时,和的变化情况如下:
↘
↘
↗
………………4分
故的单调减区间为,;单调增区间为.
所以当时,函数有极小值.………………5分
(Ⅱ)解:
结论:
函数存在两个零点.
证明过程如下:
由题意,函数,
因为,
所以函数的定义域为.………………6分
求导,得,………………7分
令,得,,
当变化时,和的变化情况如下:
↗
↘
↗
故函数的单调减区间为;单调增区间为,.
当时,函数有极大值;当时,函数有极小值.………………9分
因为函数在单调递增,且,
所以对于任意,.………………10分
因为函数在单调递减,且,
所以对于任意,.………………11分
因为函数在单调递增,且,,
所以函数在上仅存在一个,使得函数,…………12分
故函数存在两个零点(即和).………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
椭圆的长半轴长,左焦点,右焦点,…………2分
由椭圆的定义,得,,
所以的周长为.………………5分(Ⅱ)解:
因为为直角三角形,
所以,或,或,
当时,
设直线的方程为,,,………………6分
由得,………………7分
所以,.………………8分
由,得,………………9分
因为,,
所以
,……………10分
解得.………………11分
当(与相同)时,
则点A在以线段为直径的圆上,也在椭圆W上,
由解得,或,………………13分
根据两点间斜率公式,得,
综上,直线的斜率,或时,为直角三角形.……………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
,,.………………3分
(Ⅱ)解:
因为为等比数列,,,
所以,………………4分
因为使得成立的的最大值为,
所以,,,,
,,………………6分
所以.………………8分
(Ⅲ)解:
由题意,得,
结合条件,得.………………9分
又因为使得成立的的最大值为,使得成立的的最大值为,
所以,.………………10分
设,则.
假设,即,
则当时,;当时,.
所以,.
因为为等差数列,
所以公差,
所以,其中.
这与矛盾,
所以.………………11分
又因为,
所以,
由为等差数列,得,其中.………………12分
因为使得成立的的最大值为,
所以,
由,得.………………13分
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