全二次函数讲义用二次函数解决问题Word格式文档下载.docx
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审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,
找出等量关系(即函数关系).
②
设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确.
③
列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数.
④
按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题.
⑤
检验所得解是否符合实际:
即是否为所提问题的答案.
⑥
写出答案.
注:
常见的问题:
求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、
抛物线的模型问题等.
解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.
2、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤:
恰当地建立直角坐标系;
将已知条件转化为点的坐标;
合理地设出所求函数关系式;
代入已知条件或点的坐标,求出关系式;
利用关系式求解问题.
(1)利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,
利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,
再利用函数的图象及性质去研究问题.
在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)
对于本节的学习,应由低到高处理好如下三个方面的问题:
首先必须了解二次函数的基本性质;
学会从实际问题中建立二次函数的模型;
借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、利用二次函数求实际问题中的最大(小)值
【例题1】某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,
对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.
调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y1=-3/8x+36,
而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.
(1)试确定b,c的值;
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式;
(不要求指出x的取值范围)
(3)“五一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?
最大利润是多少?
【答案与解析】
【点评】
在用二次函数知识解决实际问题时,有的同学易忽略自变量的取值范围,
有的题目结果中的值看上去有意义,但不一定符合题意,
有的题目本身就隐含着对自变量的限制,常常考虑不周而造成错解.
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
【例题2】某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地面宽为4m,顶部距离地面的高度为4.4m,
现有一辆满载货物的汽车欲通大门,其装货宽度为2.4m,该车要想过此门,
装货后的最大高度应是多少m?
【思路点拨】
因为校门是抛物线形,不妨将这一问题转化为二次函数进行研究,建立适当的直角坐标系,
将已知数据转化为点的坐标,从而确定函数关系式,再根据关系式求高.
解:
建立如图平面直角坐标系:
设抛物线的解析式为y=ax2,
由题意得:
点A的坐标为(2,﹣4.4),
∴﹣4.4=4a,
解得:
a=﹣1.1,
∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2,
当x=1.2时,
y=﹣1.1×
1.44=﹣1.584,
∴线段OB的长为1.584米,
∴BC=4.4﹣1.584=2.816米,
∴装货后的最大高度为2.816米,
故答案为:
2.816米.
利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤:
(1)恰当地建立直角坐标系;
(2)将已知条件转化为点的坐标;
(3)合理地设出所求函数关系式;
(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;
(5)利用关系式求解问题.
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
【例题3】如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,
当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐,
已知篮筐中心到地面的距离为3.05m,若该运动员身高1.8m,
在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,
问:
球出手时,他跳离地面的高度是多少?
如图所示,在直角坐标系中,点A(1.5,3.05)表示篮筐,点B(0,3.5)表示球运行的最大高度,
点C表示球员篮球出手处,其横坐标为-2.5,
设C点的纵坐标为n,过点C、B、A所在的抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,
由于抛物线开口向下,则点B(0,3.5)为顶点坐标,
∴y=ax2+3.5.
∵抛物线y=ax2+3.5经过点A(1.5,3.05),
∴3.05=a·
1.52+3.5,
∴a=-1/5.
∴抛物线解析式为y=-1/5x2+3.5.
∴n=-1/5×
(-2.5)2+3.5,
∴n=2.25.
∴球出手时,球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)=0.20(米).
首先要建立适当的平面直角坐标系,构造函数模型,将已知数据转化为点的坐标,
然后利用待定系数法求出函数解析式,再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标,
结合已知条件,得到实际问题的解.
类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题
【例题4】一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个以AD为直径的半圆O,
下部是一个矩形ABCD.
(1)当AD=4米时,求隧道截面上部半圆O的面积;
(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米,半圆O的半径为r米.
①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围);
②若2米≤CD≤3米,利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值.(π取3.14,结果精确到0.1米)
①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式;
②利用二次函数的有关性质,在自变量的取值范围内确定面积的最大值.
解此类问题,一般先应用几何图形的面积公式,写出图形的面积与边长之间的关系,
再用配方法或公式法求顶点坐标,结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积.
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- 二次 函数 讲义 解决问题