三角形辅助线的作法总结.docx
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三角形辅助线的作法总结.docx
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三角形---作辅助线
知识点一:
利用转化倍角,构造等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.
如图①中,若∠ABC=2∠C,如果作BD平分∠ABC,则△DBC是等腰三角形;
如图②中,若∠ABC=2∠C,如果延长线CB到D,使BD=BA,连结AD,则△ADC是等腰三角形;
B
C
D
A
①
②
B
C
D
A
③
B
C
D
A
如图③中,若∠B=2∠ACB,如果以C为角的顶点,CA为角的一边,在形外作∠ACD=∠ACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形.
D
C
B
A
1、如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC交AC于D.求证:
∠DBC=∠BAC.
A
B
C
2、如图,△ABC中,∠ACB=2∠B,BC=2AC.求证:
∠A=90°.
知识点二:
利用角平分线+平行线,构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形.
如图①中,若AD平分∠BAC,AD∥EC,则△ACE是等腰三角形;
如图②中,AD平分∠BAC,DE∥AC,则△ADE是等腰三角形;
如图③中,AD平分∠BAC,CE∥AB,则△ACE是等腰三角形;
①
A
D
C
B
E
②
E
C
B
D
A
B
A
C
D
E
③
④
A
B
F
C
D
E
G
如图④中,AD平分∠BAC,EF∥AD,则△AGE是等腰三角形.
3、如图,△ABC中,AB=AC,在AC上取点P,过点P作EF⊥BC,交BA的延长线于点E,垂足为点F.求证:
.AE=AP.
F
B
A
C
P
E
F
C
D
E
B
A
4、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上,且DE=CD,EF=AC.
求证:
EF∥AB.
知识点三:
利用角平分线+垂线,构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时,我们就可以寻找到等腰三角形.如图1中,
E
图1
A
B
C
D
若AD平分∠BAC,AD⊥DC,则△AEC是等腰三角形.
5、如图2,已知等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF的延长线于D。
求证:
BF=2CD.
图2
B
F
D
C
A
知识点四:
截长补短法
A
B
C
D
E
6、如图,已知:
正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,
求证:
AB+BE=AC.
E
A
B
C
D
F
知识点五:
倍长中线法
题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内。
7、如图(7)AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.
求证:
AC=BF
A
E
8、已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图,求证EF=2AD。
F
B
知识点六:
平行线法(或平移法)
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt△,有时可作出斜边的中线.
A
B
C
P
Q
O
9、△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+AQ.
O
A
B
C
P
Q
D
图
(1)
A
B
C
P
Q
D
E
图
(2)
O
说明:
⑴本题也可以在AB截取AD=AQ,连OD,
构造全等三角形,即“截长补短法”.
⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下:
①如图
(1),过O作OD∥BC交AC于D,则△ADO≌△ABO来解决.
A
B
C
P
Q
图(3)
D
O
②如图
(2),过O作DE∥BC交AB于D,交AC于E,
则△ADO≌△AQO,△ABO≌△AEO来解决.
③如图(3),过P作PD∥BQ交AB的延长线于D,则△APD≌△APC来解决.
A
B
C
P
Q
图(4)
D
O
④如图(4),过P作PD∥BQ交AC于D,则△ABP≌△ADP来解决.
A
B
C
D
M
10、已知:
如图,在△ABC中,∠A的平分线AD交BC于D,且AB=AD,作CM⊥AD交AD的延长于M.
求证:
AM=(AB+AC)
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