全称量词与存在量词文档格式.docx
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C
3.命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________,该量词是________量词(填“全称”或“存在”).
有些 存在
探究点一 全称命题与特称命题的辨析
判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)对任意x∈N,2x+1是奇数;
(2)每一个矩形的对角线都互相平分;
(3)对任意x∈R,-x2-1<0;
(4)对某些实数x,有3x+2>0;
(5)存在x0∈Q,x
=3;
(6)不相交的两条直线是平行直线.
[解]
(1)是全称命题.因为对任意x∈N,2x+1都是奇数,所以“对任意x∈N,2x+1是奇数”是真命题.
(2)是全称命题.由矩形的性质可知此命题是真命题.
(3)是全称命题.因为对任意x∈R,-x2-1<0恒成立,所以是真命题.
(4)命题中含有存在量词“某些”,故为特称命题,又当x>-
时,3x+2>0,故命题为真命题.
(5)含有“存在”量词,故为特称命题,由于使x2=3成立的实数只有x=±
,不属于有理数,故命题为假命题.
(6)是全称命题.不相交的两条直线还可能是异面直线.故是假命题.
判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤
(1)首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题.
(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.
(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.
1.用全称量词或存在量词表示下列语句:
(1)有理数都能写成分数形式;
(2)方程x2+2x+8=0有实数解;
(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.
解:
(1)任意一个有理数都能写成分数形式.
(2)存在实数x,使方程x2+2x+8=0成立.
(3)存在一个实数x,它乘以任意一个实数都等于0.
探究点二 全称命题与特称命题的真假判断
判断下列命题的真假.
(1)∃x0∈Z,x
<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)有一个实数α,tanα无意义;
(4)∃x0∈R,cosx0=
[解]
(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
所以“∃x0∈Z,x
<1”是真命题.
(2)真命题,如梯形.
(3)真命题,当α=
时,tanα无意义.
(4)因为当x∈R时,cosx∈[-1,1],而
>1,
所以不存在x0∈R,使cosx0=
,
所以原命题是假命题.
判断全称命题和特称命题真假的方法
(1)要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;
但要判断一个全称命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.
(2)要判断一个特称命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;
要判断一个特称命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
2.判断下列命题的真假.
(1)任意两向量a,b,若a·
b>
0,则a,b的夹角θ为锐角;
(2)∃x,y为正实数,使x2+y2=0;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4)∀x∈N,x2>
0.
(1)因为a·
b=|a||b|·
cosθ>
0,
所以cosθ>
又0≤θ≤π,
所以0≤θ<
,即a,b的夹角为零或锐角.
故它是假命题.
(2)因为当x2+y2=0时,x=y=0,
所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故它是假命题.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)因为0∈N,02=0,所以命题“∀x∈N,x2>
0”是假命题.
探究点三 由含量词的命题求参数
对于任意实数x,不等式sinx+cosx>
m恒成立.求实数m的取值范围.
[解] 令y=sinx+cosx,x∈R,
则y=sinx+cosx=
sin
∈[-
],
因为∀x∈R,sinx+cosx>
m恒成立,
所以只要m<
-
即可.
所以所求m的取值范围是(-∞,-
).
本例条件变为:
“存在实数x,使不等式
sinx+cosx>
m有解”,求实数m的取值范围.
令y=sinx+cosx,x∈R,
因为y=sinx+cosx=
].
又因为∃x∈R,sinx+cosx>
m有解,
即可,
所以所求m的取值范围是(-∞,
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称命题“∀x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(或a<f(x)min).
(2)对于特称命题“∃x0∈M,a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).
3.若∀x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a的取值范围是________.
解析:
由题意得0<
a2-1<
1,
所以1<
a<
或-
<
-1.
(1,
)∪(-
,-1)
1.诠释全称命题及特称命题
(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.
(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.
(3)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.
2.全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是( )
A.有一个x∈R,使得x2>3
B.对有些x∈R,使得x2>3
C.任选一个x∈R,使得x2>3
D.至少有一个x∈R,使得x2>3
选C.“∀”和“任选一个”都是全称量词.
2.下列特称命题中,是假命题的是( )
A.∃x0∈Z,x
-2x0-3=0
B.至少有一个x0∈Z,使x0能同时被2和3整除
C.有的直线不存在倾斜角
D.某些直线不存在斜率
选C.A中,x0=-1满足题意,是真命题;
B中,x0=6满足题意,是真命题;
D中,垂直于x轴的直线不存在斜率,是真命题;
C中,所有的直线都存在倾斜角,是假命题.故选C.
3.(2015·
高考山东卷)若“∀x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
由题意,原命题等价于tanx≤m在区间
上恒成立,即y=tanx在
上的最大值小于或等于m,又y=tanx在
上的最大值为1,所以m≥1,即m的最小值为1.
1
4.指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假.
(1)对任意实数x1,x2,若x1<x2,则tanx1<tanx2;
(2)∃x0∈R,使x
+1<0;
(3)∃T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|;
(4)∀x∈{3,5,7},3x+1是偶数.
(1)命题中含有全称量词“任意”,故为全称命题,又存在x1=0,x2=π,x1<x2但tan0=tanπ,故命题为假命题.
(2)命题中含有“∃”,故为特称命题,又∀x∈R,都有x2+1>0,故命题为假命题.
(3)命题中含有“∃”,故为特称命题,又∃T0=π,使得|sin(x+π)|=|sinx|,故命题为真命题.
(4)命题中含有“∀”,故为全称命题,又将3,5,7分别代入3x+1,得10,16,22都是偶数,故命题为真命题.
[A 基础达标]
1.以下命题为特称命题的是( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.在平面内,不相交的两条直线是平行直线
D.有的实数大于3
选D.A,B,C中的命题都是全称命题,D中的命题是特称命题,故选D.
2.下列命题中,是全称命题且是真命题的是( )
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.∀x∈R,
=x
D.对数函数在定义域上是单调函数
选D.A中的命题是全称命题,但是a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故是假命题;
B中的命题是全称命题,但是假命题;
C中的命题是全称命题,但
=|x|,故是假命题;
很明显D中的命题是全称命题且是真命题,故选D.
3.下列命题中是假命题的是( )
A.∃x∈R,lgx=0B.∃x∈R,tanx=1
C.∀x∈R,x3>
0D.∀x∈R,2x>
选C.对于A,当x=1时,lgx=0,正确;
对于B,当x=
时,tanx=1,正确;
对于C,当x<
0时,x3<
0,错误;
对于D,∀x∈R,2x>
0,正确.
4.已知命题p:
∃x0∈R,x
+1<2x0;
命题q:
不等式x2-2x-1>0恒成立,那么( )
A.“綈p”是假命题
B.q是真命题
C.“p∨q”是假命题
D.“p∧q”是真命题
选C.根据基本不等式,x2+1≥2x,所以命题p是假命题.
因为当x=0时,x2-2x-1=-1<0,所以命题q是假命题.
所以綈p是真命题,“p∨q”是假命题,“p∧q”是假命题;
所以C正确.
5.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4B.a≤4
C.a≥5D.a≤5
选C.当该命题是真命题时,只需a≥(x2)max,x∈[1,2].又y=x2在[1,2]上的最大值是4,所以a≥4.因为a≥4
a≥5,a≥5⇒a≥4,故选C.
6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成特称命题为________________________________________________________________________.
特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M,p(x0)”.
∃x0<0,(1+x0)(1-9x0)2>0
7.对任意x>
3,x>
a恒成立,则实数a的取值范围是________.
对任意x>
a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3.
(-∞,3]
8.下列命题:
①存在x<
0,x2-2x-3=0;
②对于一切实数x<
0,都有|x|>
x;
③已知an=2n,bm=3m,对于任意n,m∈N*,an≠bm.
其中,所有真命题的序号为________.
因为x2-2x-3=0的根为x=-1或3,
所以存在x=-1<
0,使x2-2x-3=0,故①为真命题;
②显然为真命题;
③当n=3,m=2时,a3=b2,故③为假命题.
①②
9.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用量词符号“∀”“∃”表示.
(1)两个有理数之间,都有一个无理数;
(2)有一个凸n边形,外角和等于180°
;
(3)存在一个三棱锥,使得它的每个侧面都是直角三角形.
(1)全称命题:
∀两个有理数之间,都有一个无理数.
(2)特称命题:
∃一个凸n边形,它的外角和等于180°
(3)特称命题:
∃一个三棱锥,它的每个侧面都是直角三角形.
10.若命题p:
∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,求实数a的取值范围.
ax2+4x+a≥-2x2+1⇔(a+2)x2+4x+a-1≥0.
当a+2=0,即a=-2时,
对任意实数x,4x-3≥0不一定成立,所以a=-2不符合题意;
当a+2≠0时,有
解得a≥2.
综上,实数a的取值范围是[2,+∞).
[B 能力提升]
1.下列命题中,是真命题的是( )
A.∀x∈R,x2+1>0
B.∃x0∈R,x
+x0=-2
C.∀x∈R,x2-x+
>
D.∃x0∈R,x
+2x0+2<
选A.对于A选项:
∀x∈R,x2+1>0恒成立,A正确;
对于B选项:
因为x2+x+2=
+
0恒成立,
所以不存在x0∈R,使x
+x0=-2,B错误.
对于C选项:
因为x2-x+
=
,存在x0=
,使x
-x0+
=0,C错误;
对于D选项:
∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>
0,D错误.
2.令p(x):
ax2+2x+1>
0,若对∀x∈R,p(x)是真命题,则实数a的取值范围为________.
因为对∀x∈R,p(x)是真命题.
所以对∀x∈R,ax2+2x+1>
当a=0时,不等式为2x+1>
0不恒成立,
当a≠0时,
若不等式恒成立,
则
所以a>
1.
(1,+∞)
3.已知命题p:
“∃x0∈R,sinx0<
m”,命题q:
“∀x∈R,x2+mx+1>
0恒成立”,若p∧q是真命题,求实数m的取值范围.
由于p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
因为“∃x0∈R,sinx0<
m”是真命题,所以m>
又因为“∀x∈R,x2+mx+1>
0恒成立”是真命题,
所以Δ=m2-4<
解得-2<
m<
2.
综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).
4.(选做题)已知a>
0,命题p:
∀x>
0,x+
≥2恒成立,命题q:
∀x∈R,函数f(x)=(a-1)x是增函数,问是否存在正数a,使p∧q为真命题.若存在,请求出a的取值范围;
若不存在,说明理由.
因为对∀x>
≥2
所以要使x+
≥2恒成立,应有2
≥2,所以a≥1.
又f(x)=(a-1)x是增函数,
则a-1>
1,即a>
2,
若p∧q是真命题,则p与q均为真命题,
因此
综上,存在a>
2,使得p∧q为真命题.
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