人教八年级数学下册第18章 平行四边形 专项训练docxWord文件下载.docx
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(2)如图②,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
菱形中的动点问题
3.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°
,动点E在边BC上,动点F在边CD上.
(1)如图①,若E是BC的中点,∠AEF=60°
,求证:
BE=DF;
(2)如图②,若∠EAF=60°
△AEF是等边三角形.
正方形中的动点问题
4.如图,正方形ABCD的边长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由.
专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型
本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用,其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点.
特殊平行四边形中的折叠问题
1.如图,将一张长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(图③中的虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )
A.10cm2B.20cm2
C.40cm2D.80cm2
2.如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F,若AB=6,BC=4
,则FD的长为( )
A.2B.4C.
D.2
3.如图,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,则∠EBF的大小为( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
特殊平行四边形中的动点问题
4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°
,AC=60cm,∠A=60°
.点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是ts(0≤t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.若四边形AEFD为菱形,则t的值为( )
A.5B.10
C.15D.20
5.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交DC于点E.若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值是( )
A.2B.4C.2
D.4
特殊平行四边形中的中点四边形问题
6.如图,在四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,…,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是( )
①四边形A4B4C4D4是菱形;
②四边形A3B3C3D3是矩形;
③四边形A7B7C7D7的周长为
;
④四边形AnBnCnDn的面积为
.
A.①②③B.②③④
C.①③④D.①②③④
7.如图,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°
,则四边形EFGH的面积为________.
(第8题)
特殊平行四边形中的图形变换问题
8.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°
得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是( )
A.
B.
C.
-1D.1+
9.如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,交AG于点F.
AF-BF=EF;
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方形ABCD的边长为3,求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离.
(第9题)
灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明
10.如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接AF,CE.
△BEC≌△DFA;
(2)连接AC,当CA=CB时,判断四边形AECF是什么特殊四边形,并说明理由.
(第10题)
11.如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作FG∥CD,交AE于点G,连接DG.
四边形DEFG为菱形;
(2)若CD=8,CF=4,求
的值.
(第11题)
12.如图①,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE.
AF=BE.
(2)如图②,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?
并说明理由.
(第12题)
专训4.全章热门考点整合应用
本章内容是中考的必考内容,主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题.近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题.其主要考点可概括为:
一个性质,一个定理,四个图形,三个技巧.
考点1 一个性质——直角三角形斜边上的中线性质
1.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.求证:
(1)四边形ADEF是平行四边形;
(2)∠DHF=∠DEF.
考点2 一个定理——三角形的中位线定理
2.如图所示,已知在四边形ABCD中,AD=BC且AC⊥BD,点E,F,G,H,P,Q分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点.
求证:
(1)四边形EFGH是矩形;
(2)四边形EQGP是菱形.
考点3 四个图形
图形1 平行四边形
3.如图,E,F分别是▱ABCD的AD,BC边上的点,且AE=CF.
△ABE≌△CDF;
(2)若M,N分别是BE,DF的中点,连接MF,EN,试判断四边形MFNE是什么特殊的四边形,并证明你的结论.
图形2 矩形
4.如图,在▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA的延长线,DC的延长线分别交于点E,F.
△AOE≌△COF.
(2)连接EC,AF,则EF与AC满足什么数量关系时,四边形AECF是矩形?
请说明理由.
图形3 菱形
5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
四边形DBFE是平行四边形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?
为什么?
图形4 正方形
6.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°
后至△DBE,再把△ABC沿射线AB平移至△FEG,DE,FG相交于点H.
(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由;
(2)连接CG,求证:
四边形CBEG是正方形.
考点4 三个技巧
技巧1 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
7.如图所示,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,求阴影部分图形的周长
技巧2 解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)
8.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长都等于1,那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动,两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律?
技巧3 解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)
9.如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.
(2)如图①,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?
(3)如图②,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?
若不变,请说明理由;
若变化,请探究OE,OF之间的数量关系,并说明理由.
答案
专训1
1.12
点拨:
如图,设AE,BC的交点为O,连接BE,已知O是BC的中点.
∵在△ABC和△CDA中,AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA,则△ABC≌△CEA,∴∠ACB=∠CAE,同时,BC=AE,即在四边形ABEC中,两条对角线相等.∵在△AOC中,∠ACB=∠CAE,∴AO=OC,易得O是AE的中点.∴四边形ABEC是矩形,在Rt△AEC中,CE=AB=6,AE=AD=8,由勾股定理得AC=
=
=2
∴▱ABCD的面积=AB·
AC=6×
2
=12
2.解:
设AE与BC相交于点F,如图.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠1=∠3.
∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠,点D落在点E处,
∴∠2=∠3,∴∠1=∠2.∴FC=FA.
∵F为BC边的中点,BC=6,
∴AF=CF=BF=
×
6=3.
又∵AB=3,∴△ABF是等边三角形.∴∠B=60°
3.
(1)证明:
由折叠知AE=AD=EG,BC=CH.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC.
∴EG=CH.
(2)解:
∵∠ADE=45°
,∠FGE=∠A=90°
,AF=
,
∴DG=
,DF=2.∴AD=2+
如图,由折叠知,∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2+∠4=90°
,∠1+∠3=90°
∵∠1+∠AFE=90°
∴∠3=∠AFE.
又∵∠A=∠B=90°
由
(1)知,AE=BC,
∴△EFA≌△CEB.
∴AF=BE.∴AB=AE+BE=AD+AF=2+
+
=2+2
4.C 点拨:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A+∠ABC=180°
,BD平分∠ABC.∵∠A=120°
,∴∠ABC=60°
,∴∠FBC=30°
.根据折叠可得AB=BF,∴FB=BC.∴∠BFC=∠BCF=(180°
-30°
)÷
2=75°
.故选C.
5.解:
如图,连接BD,AC.
∴AC⊥BD,AC平分∠BAD.
∵∠BAD=120°
,∴∠BAC=60°
∴∠ABO=90°
-60°
=30°
∵∠AOB=90°
∴AO=
AB=
2=1.
由勾股定理,得BO=DO=
∵点A沿EF折叠与点O重合,
∴EF⊥AC,EF平分AO.
∵AC⊥BD,∴EF∥BD,
易得EF为△ABD的中位线,
∴EF=
BD=
(
)=
6.13 点拨:
如图,过点F作FM⊥BC,垂足为M,连接BE,FE,设BE交FG于点N,由折叠的性质知FG⊥BE,
∴∠C=∠BNG=90°
,∴∠BGN=∠BEC.易知FM=BC,∠FMG=∠C,∴△FMG≌△BCE,∴MG=CE=5,由勾股定理得FG=
=13.
7.
(1)证明:
∵PE=BE,
∴∠EBP=∠EPB.
又∵∠EPH=∠EBC=90°
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,
即∠BPH=∠PBC.
又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC,
∴∠APB=∠BPH.
△PDH的周长不变且为定值8.
证明如下:
过B作BQ⊥PH,垂足为Q.如图.
由
(1)知∠APB=∠BPH,
又∵∠A=∠BQP=90°
,BP=BP,
∴△ABP≌△QBP.
∴AP=QP,AB=BQ.
又∵AB=BC,∴BC=BQ.
又∵∠C=∠BQH=90°
,BH=BH,
∴Rt△BCH≌Rt△BQH,∴CH=QH.
∴△PDH的周长为:
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.
专训2
1.解:
AE=CF,AE∥CF.证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∵AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
∵∠AEB+∠AED=∠CFD+∠CFB=180°
∴∠AED=∠CFB.∴AE∥CF.
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.
∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形.
设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x=5.
∴AF=5cm.
(2)显然当P点在AF上,Q点在CD上时,A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上,Q点在DE或CE上时,也不可能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,如图,连接AP,CQ,则以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,此时PC=QA.∵点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,
∴PC=5tcm,QA=(12-4t)cm.
∴5t=12-4t,解得t=
∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=
3.证明:
(1)如图①,连接AC.∵在菱形ABCD中,∠B=60°
,∴AB=BC=CD,∠BCD=180°
-∠B=120°
.∴△ABC是等边三角形.又∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°
,∴∠FEC=90°
-∠AEF=30°
.∴∠CFE=180°
-∠FEC-∠BCD=180°
-120°
.∴∠FEC=∠CFE.∴EC=CF.∴BE=DF.
(第3题)
(2)如图②,连接AC.由
(1)知△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60°
又∵∠EAF=60°
,∴∠BAE=∠CAF.
∵∠BCD=120°
,∠ACB=60°
∴∠ACF=60°
=∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE=AF.∴△AEF是等边三角形.
4.
(1)证明:
如图,∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°
,AB=BC=CD=AD.
∵AE=BF=CG=DH,∴AH=BE=CF=DG.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴∠1=∠2,EH=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH为菱形.
∵∠1+∠3=90°
,∠1=∠2,
∴∠2+∠3=90°
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH为正方形.
直线EG经过一个定点.理由如下:
如图,连接BD,DE,BG,EG.设EG与BD交于O点.
∵BE綊DG,
∴四边形BGDE为平行四边形.
∴BD,EG互相平分.∴BO=OD.
∴点O为正方形的中心.
∴直线EG必过正方形的中心.
专训3
1.A
2.B 点拨:
连接EF,由题易知,AE=EG=ED,∠A=∠EGB=∠EGF=∠D=90°
,又EF=EF,所以Rt△EGF≌Rt△EDF,所以FG=DF.设DF=x,则BF=6+x,CF=6-x,在Rt△BCF中,(4
)2+(6-x)2=(6+x)2,解得x=4,所以FD=4.
3.C
4.B 点拨:
在△DFC中,∠DFC=90°
,∠C=30°
,DC=4tcm,所以DF=2tcm.又因为AE=2tcm,所以AE=DF.因为AE∥DF,所以可推出四边形AEFD为平行四边形.令AE=AD,则60-4t=2t.解得t=10.所以当t=10时,四边形AEFD为菱形.
5.C 点拨:
连接BD交AC于点O,由图可知,DQ+PQ的最小值即为DO的长,由正方形的边长为4可知,DO的长为2
,所以DQ+PQ的最小值为2
6.A
7.9
cm2 点拨:
连接AC,BD,设AC,BD相交于点O,如图,
易知,四边形EFGH是矩形.
由四边形ABCD是菱形,
∠ABC=60°
可得∠ABO=30°
又∵∠AOB=90°
AB=3cm.
∴AC=6cm.
在Rt△AOB中,OB=
=3
(cm),
∴BD=6
cm.
∵EH=
BD,EF=
AC,
∴EH=3
cm,EF=3cm.
∴矩形EFGH的面积=EF·
EH=3×
3
=9
(cm2).
8.C
9.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°
∵DE⊥AG,
∴∠AED=∠DEG=90°
∴∠EAD+∠ADE=90°
∴∠ADE=∠BAF.
又∵BF∥DE,
∴∠AFB=∠DEG=90°
在△AED和△BFA中,
∵
∴△AED≌△BFA(AAS).
∴BF=AE.
∵AF-AE=EF,
∴AF-BF=EF.
如图,由题意知将△ABF绕A点旋转得到△ADF′,B与D重合,连接F′E,由
(1)易得DE=AF.
根据题意知:
∠FAF′=90°
,DE=AF=AF′,
∴∠F′AE=∠AED=90°
即∠F′AE+∠AED=180°
∴AF′∥ED.
∴四边形AEDF′为平行四边形.
又∠AED=90°
∴四边形AEDF′是矩形.
∵AD=3,∴EF′=AD=3.
10.
(1)证明:
∴AB=CD,∠B=∠D,BC=AD.
∵E,F分别是AB,CD的中点,
∴BE=DF.
∴△BEC≌△DFA(SAS).
四边形AECF是矩形,理由:
∵AE=
AB,CF=
CD,AB=CD,
∴AE=CF.
∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
当CA=CB时,CE⊥AB,
∴∠AEC=90°
∴四边形AECF是矩形.
11.
(1)证明:
如图,由折叠的性质可知:
DG=FG,ED=EF,∠1=∠2,
∵FG∥CD,
∴∠3=∠1.
∴∠2=∠3.
∴FG=FE.
∴DG=GF=EF=DE.
∴四边形DEFG为菱形.
设DE=x,则EF=DE=x,EC=8-x,
在Rt△EFC中,FC2+EC2=EF2,
即42+(8-x)2=x2,
解得x=5.∴CE=8-x=3.
∴
(第11题)
12.
(1)证明:
∴AD=AB,∠D=∠BAE=90°
∴∠DAF+∠BAF=90°
∵AF⊥BE,
∴∠ABE+∠BAF=90°
∴∠DAF=∠ABE.
∴△DAF≌△ABE(ASA).
∴AF=BE.
MP与NQ相等.理由如下:
过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,∵MP⊥NQ,∴AF⊥BE,由
(1)知AF=BE.易证四边形AMPF,四边形BNQE都是平行四边形,∴AF=MP,BE=NQ,∴MP=NQ.
专训四
1.证明:
(1)∵点D,E分别是AB,BC的中点,
∴DE∥AC.同理可得EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)由
(1)知四边形ADEF是平行四边形,
∴∠DAF=∠DEF.
在Rt△AHB中,∵D是AB的中点,
∴DH=
AB=AD,
∴∠DAH=∠DHA.
同理可得HF=
AC=AF,
∴∠FAH=∠FHA.
∴∠DAH+∠FAH=∠DHA+∠FHA.
∴∠DAF=∠DHF.
∴∠DHF=∠DEF.
2.证明:
(1)∵点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF∥AC
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