⑹已知a2-3a+1=0.求和a-和的值为
⑺已知,求①=②=
⑻已知a2-7a+1=0.求、和的值;
(七)知二求一
例题:
已知,
求:
①②③④⑤⑥
⑴已知,,则_______
⑵若a2+2a=1则(a+1)2=________.
⑶若7,a+b=5,则ab=若7,ab=5,则a+b=
⑷若x2+y2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.7,a-b=5,则ab=⑸若3,ab=-4,则a-b=
⑹已知:
a+b=7,ab=-12,求①a2+b2=②a2-ab+b2=③(a-b)2=
⑺已知a+b=3,a3+b3=9,则ab=,a2+b2=,a-b=
第五讲乘法公式应用与拓展
【基础知识概述】
一、基本公式:
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a—b
完全平方公式:
(a+b)=a+2ab+b
(a-b)=a-2ab+b
变形公式:
(1)
(2)
(3)
(4)
二、思想方法:
①a、b可以是数,可以是某个式子;
②要有整体观念,即把某一个式子看成a或b,再用公式。
③注意公式的逆用。
④≥0。
⑤用公式的变形形式。
三、典型问题分析:
1、顺用公式:
例1、计算下列各题:
①
②3(2+1)(2+1)(2+1)(+1)+1
2、逆用公式:
例2.①1949²-1950²+1951²-1952²+……+2011²-2012²
②……
③1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655
【变式练习】
填空题:
①__=
②+__=(
6.x2+ax+121是一个完全平方式,则a为()
A.22B.-22C.±22D.0
3、配方法:
例3.已知:
x²+y²+4x-2y+5=0,求x+y的值。
【变式练习】
①已知x²+y²-6x-2y+10=0,求的值。
②已知:
x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0,求:
x+y+z的值。
③当时,代数式取得最小值,这个最小值是
当时,代数式取得最小值,这个最小值是
当时,代数式取得最小值,这个最小值是
当时,代数式取得最小值,这个最小值是
对于呢?
4、变形用公式:
例5.若,试探求与的关系。
例6.化简:
例7.如果,请你猜想:
a、b、c之间的关系,并说明你的猜想。
完全平方公式变形的应用练习题
一:
1、已知m2+n2-6m+10n+34=0,求m+n的值
2、已知,都是有理数,求的值。
3.已知求与的值。
二:
1.已知求与的值。
2.已知求与的值。
3、已知求与的值。
4、已知(a+b)2=60,(a-b)2=80,求a2+b2及ab的值
5.已知,求的值。
6.已知,求的值。
7.已知,求的值。
8、,求
(1)
(2)
9、试说明不论x,y取何值,代数式的值总是正数。
10、已知三角形 ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式,请说明该三角形是什么三角形?
B卷:
提高题
一、七彩题
1.(多题-思路题)计算:
(1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)+1(n是正整数);
(2)(3+1)(32+1)(34+1)…(32008+1)-.
2.(一题多变题)利用平方差公式计算:
2009×2007-20082.
(1)一变:
利用平方差公式计算:
.
(2)二变:
利用平方差公式计算:
.
二、知识交叉题
3.(科内交叉题)解方程:
x(x+2)+(2x+1)(2x-1)=5(x2+3).
三、实际应用题
4.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3米,东西方向要加长3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少?
课标新型题
1.(规律探究题)已知x≠1,计算(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,
(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4.
(1)观察以上各式并猜想:
(1-x)(1+x+x2+…+xn)=______.(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算:
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=______.
②2+22+23+…+2n=______(n为正整数).
③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=_______.
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
①(a-b)(a+b)=_______.
②(a-b)(a2+ab+b2)=______.
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=______.
2.(结论开放题)请写出一个平方差公式,使其中含有字母m,n和数字4.
3.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后,将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形,如图1-7-1所示,然后拼成一个平行四边形,如图1-7-2所示,分别计算这两个图形阴影部分的面积,结果验证了什么公式?
请将结果与同伴交流一下.
4、探究拓展与应用
(2+1)(22+1)(24+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22-1)(22+1)(24+1)
=(24-1)(24+1)=(28-1).
根据上式的计算方法,请计算
(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)-的值.
“整体思想”在整式运算中的运用
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想,贯穿于中学数学的全过程,有些问题局部求解各个击破,无法解决,而从全局着眼,整体思考,会使问题化繁为简,化难为易,思路清淅,演算简单,复杂问题迎刃而解,现就“整体思想”在整式运算中的运用,略举几例解析如下,供同学们参考:
1、当代数式的值为7时,求代数式的值.
2、已知,,,求:
代数式的值。
3、已知,,求代数式的值
4、已知时,代数式,求当时,代数式
的值
5、若,
试比较M与N的大小
6、已知,求的值.
一、填空(每空3分)
1.已知且满足=18,则
2、已知:
,则_______
3.如果恰好是另一个整式的平方,那么的值
4.已知是一个完全平方式,则N等于
5.若a2b2+a2+b2+1=4ab,则a=,b=
6.已知10m=4,10n=5,求103m+2n的值
7.(a2+9)2-(a+3)(a-3)(a2+9)=
8.若a-=2,则a4+=
9.若++(3-m)2=0,则(my)x=
10.若,则________
11、已知_______
12.已知(是整数)则的取值有_______种
13.若三角形的三边长分别为、、,满足,则这个三角形
是
14.观察下列各式(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x2+x+l)=x3-l.(x-l)(x3+x2+x+l)=x4-1,根据前面各式的规律可得(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=.
二、计算(每题6分)
(1)
(2)
三、解答题
1.(5分)计算:
2.(5分)若4x2+5xy+my2和nx2-16xy+36y2都是完全平方式,求(m-)2的值.
3.阅读下列材料:
(1+1+5分)
让我们来规定一种运算:
=,
例如:
=,再如:
=4x-2
按照这种运算的规定:
请解答下列各个问题:
②=(只填最后结果);
②当x=时,=0;(只填最后结果)
③求x,y的值,使==—7(写出解题过程).