基于主成分分析的武汉市房价影响因素的研究Word文档格式.docx
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(2)F1是X1,X2,X3…Xp的一切线性组合中方差最大最大的,……以此类推,Fm是与F1,F2,F3,…,Fm-1都不相关X1,X2,X3…Xp的、所有线性组合中方差最大你的。
F1,F2,F3,…,Fm-1属于构造的新变量指标,即原变量指标的第一、第二、……、第m个主成分。
2.2主成分分析的步骤
已知多组已经标准化的样本数据矩阵,
,计算它的主成分分析的具体步骤如下:
(1)计算协方差矩阵
计算样本数据的协方差:
,其中
其中:
ij=1,2,…,P
(2)求出协方差矩∑的特征值λi,及相对应的正交化单位特征向量ai
协方差矩阵的前m个较大特征值λ1≥λ2≥…≥λm≥0,是前m个主成分对应方差,λi对应单位特征向量αi是主成分Fi关于原变量的线性变换系数,原变量的第i个主成分Fi,表达式用公式表示如下:
Fi=aiX
反映信息量的大小用主成分的方差贡献率,表达式为
(3)选择主成分
最终需要选择几个主成分,依据所选主成分的累计贡献率来衡量,主成分F1,F2,F3,…,Fm(m<p)的累计贡献率G(m)表示为:
当累计贡献率G(m)大于85%时,认为能足够反映原来变量的信息,所对应的m表示要抽取的前m个主成分。
(4)计算主成分荷载
主成分荷载是:
反映主成分Fi与原变量Xj间相互关联程度,原来变量Xj(j=1,2,…,p),在主成分Fi(i=1,2,3…,m)上的荷载表达式为:
(i=1,2;
m,j=1,2,L,p)
(5)计算主成分得分
计算样品在m个主成分上的得分:
Fi=a1iX1+a2iX2+…+apiXp,i=1,2,L,p
实际应用时,指标的量纲不同,所以在主成分计算之前,应先消除量纲的影响。
常用方法是将原始数据标准化,即做以下数据变换:
i=1,2,3…n;
j=1,2,…p
根据数学公式,
(1)任何随机变量,对其作标准化变换后,其协方差与其相关系数一样。
(2)另一方面,根据协方差的公式,可推得标准化之后的协方差,是原变量的相关系数。
即,在标准化前后变量的相关系数矩阵不变化。
根据以上论述,为消除量纲的影响,将变量标准化后,再计算其协方差矩阵,也就是直接计算原变量相关系数矩阵。
因此,主成分分析计算步骤如下:
(1)计算相关系数矩阵;
(2)求出相关系数矩阵的特征值λi,及相应的正交化单位特征向量ai;
(3)选择主成分;
(4)计算主成分得分;
总结:
原指标相关系数、矩阵相应的特征值λi为:
主成分方差的贡献,方差的贡献率为
αi越大,说明相应的主成分反映综合信息的能力越强,可根据λi大小提取主成分,每个主成分的组合系数αi是相应特征值λi所对应的单位特征向量。
3、实验数据收集及预处理
3.1数据的来源
根据对国内外文献的梳理和分析,发现房地产价格的影响因素主要为土地价格,利率,收入,通货膨胀,供需,房地产自身的原因等等,故本文选取了十一个具有代表性的影响住宅房地产价格的因素进行讨论,即土地价格,家庭人均可支配收入,商品房竣工面积,住宅租赁价格指数,通货膨胀率,生产总值,人民币贷款利率,商品房销售面积,房地产开发商投资额和人口数量[3]-[7]。
在收集武汉市住宅房地产价格的影响因素相关数据时,首先必须设定每个因素的度量尺度,除了通货膨胀外,其他的因素均可直接作为度量尺度。
在许多国家,通用的通货膨胀曲线一般是居民消费价格指数的年度性变化百分比,故本文用武汉市居民消费价格指数来对通货膨胀进行度量[8]。
通过查阅武汉市统计年鉴[9],武汉市土地价格,武汉市人均可支配收入,武汉市人口数量,武汉市商品房销售面积,武汉市房地产开发投资额,武汉市生产总值和武汉市居民消费价格指数的相关数据均可直接得出。
人民币贷款利率[5]的相关数据可通过中国银行网上提供的数据直接得到。
3.2数据的处理
武汉市住宅租赁价格[10]指在中国指数网只能查到2012年至2014年每月的数据,2007年至2011年的相关数据无法获知。
本文采用替代法来进行其他数据的收集。
首先成都和武汉的地理环境均属于内陆,其次两者均属于二线城市,最后两个城市的生产总值相近,故2007年至2011年的武汉市租赁价格指数相关数据由成都市住宅租赁价格指数相关数据来替代。
由于得到的租赁价格指数以月为单位,故本文采用加权平均法得到每年的住宅租赁价格指数。
考虑到本文调查的是武汉市住宅房地产价格的影响因素,故应收集武汉市商品房均价。
由于武汉市商品房均价没有权威性的网站或者书籍来规定,本文考虑算术加权平均法来确定此数据。
首先,把武汉各地区的商品房均价收集起来,如光谷区,武昌中心区,汉阳中心区,关山片,东西湖片,白沙洲片,汉口中心区,沌口片等等地区,其次把各个区域的商品房均价利用算术加权平均法计算得到武汉市商品房的价格。
设因素武汉市土地价格,人民币贷款利率,住宅租赁价格指数,武汉市商品房竣工面积,武汉市人均可支配收入,通货膨胀率,武汉市人口数量,武汉市商品房销售面积,武汉市房地产开发商投资额,武汉市生产总值和武汉市商品房的价格分别为X1,X2…X11,具体的数据如表3-1所示。
表3-1各因素的相关数据
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
2007
1511.89
7.83%
699
911.62
14357.64
554.6
828.21
567.31
3295386
3209.47
4685.32
2008
1917.57
5.94%
780.25
768.23
16712.44
586.2
833.24
683.24
4149687
4115.51
5780.5
2009
4542.4
887.17
824.58
18385.02
582.7
835.55
1041.39
4980401
4620.86
5714.05
2010
7992.25
6.40%
1002.42
733.48
20806.32
600.2
836.73
1091.49
5953250
5565.93
6646.62
2011
11357.4
7.05%
1115
921.98
23738.09
631.4
827.24
1169.26
7373138
6762.2
7579.93
2012
5414.06
6.55%
1054.4
898.57
27061
649.1
821.71
1390.47
9914052
8003.82
8500
2013
5488.71
1139.42
529.7
29821.22
664.7
822.05
1750.43
12507839
9051.27
8823
2014
14167.3
6.15%
1255.33
645.98
33270.39
677.3
827.31
1978.96
15605526
10069.48
9132
注:
a武汉市土地价格的单位为万元;
武汉市商品房竣工面积的单位为万平方米;
武汉市每年人均可支配收入的单位为元;
武汉市人口数量的单位为万人;
武汉市商品房销售面积的单位为万平方米;
武汉市房地产开发投资额的单位为万元;
武汉市生产总值的单位为万元;
武汉市商品房价格的单位为元。
b以上数据来源见图表前文字叙述。
4、实验
通过IBMSPSSStatistics19统计软件对收集的数据进行处理分析得到下表:
表4-1标准化
-1.141
2.02
-1.54
0.948
-1.303
-1.4533
-0.139
-1.322
-1.075
-1.306
-1.049
-1
-1.11
-0.079
-0.949
-0.7321
0.741
-1.083
-0.879
-0.938
-0.454
-0.55
0.3246
-0.697
-0.812
1.1452
-0.345
-0.688
-0.733
0.3268
-0.2
0.057
-0.328
-0.333
-0.4126
1.3516
-0.242
-0.464
-0.349
1.0889
0.79
0.65
1.0222
0.1082
0.29957
-0.309
-0.082
-0.138
0.137
-0.257
-0
0.331
0.8545
0.608
0.70355
-1.276
0.3736
0.4463
0.6412
-0.24
0.779
-1.788
1.0232
1.05961
-1.217
1.1149
1.0425
1.0665
1.7252
-0.6
1.39
-0.955
1.542
1.34719
-0.297
1.5855
1.7546
1.48
表4-2相关矩阵a
1.000
-.166
.862
-.225
.724
.696
-.132
.715
.689
.710
-.270
.452
-.265
-.281
-.353
-.329
-.253
-.478
.949
.944
-.450
.938
.900
.947
-.564
-.532
.113
-.639
-.617
-.560
.988
-.612
.982
.985
.999
-.644
.950
.957
.991
-.517
-.605
-.632
.978
.977
.981
表4-3公因子方差
初始
提取
.561
.832
.921
.574
.996
.973
.842
.976
.967
.995
表4-4解释的总方差
成份
初始特征值
提取平方和载入
合计
方差的%
累积%
1
7.139
71.390
2
1.499
14.993
86.383
3
.850
8.499
94.882
4
.406
4.057
98.939
5
.063
.628
99.567
6
.036
.359
99.926
7
.007
.074
100.000
8
5.375E-16
5.375E-15
9
4.142E-17
4.142E-16
10
-3.273E-17
-3.273E-16
表4-5成分矩阵a
.746
-.064
-.297
.863
.960
-.014
-.603
.458
.997
.054
.984
.072
-.565
-.723
.986
-.055
.042
.073
表4-6特征向量矩阵
.279
-.052
-.111
.705
-.011
-.226
.374
.373
.044
.368
.059
-.211
-.590
.369
-.045
.034
.372
.060
5、结果分析
根据以上分析可得出如下结论:
(1)表4-1是进行量纲标准化的数据;
(2)由表4-2可知,许多变量之间直接的相关性比较强,说明影响房价的因素中存在信息重叠;
(3)由表4-3可知,此次主成分分析从每个原始变量中提取的信息百分数;
(4)由表4-4可知,前三个主成分的方差贡献率达到90.837%,因此选择前两个主成分已足够描述影响武汉市房价的因素;
(5)由表4-5和表4-6可知各个主成分的表达式,设提取的主成分分别为F1,F2,则:
F1=0.279X1-0.111X2+0.359X3-0.226X4+0.044X5+0.368X6-0.211X7+0.3698X8+
0.368X9+0.372X10
F2=-0.052X1+0.705X2-0.011X3+0.374X4+0.044X5+0.059X6-0.590X7-0.045X8+
0.034X9+0.060X10
第一主成分F1对武汉市房价的影响最大。
从其负荷量的正负来看,其中人民币贷款利率,武汉市商品房竣工面积,武汉市人口数量的为负数,其余的为正数,可以认为人民币贷款利率,武汉市商品房竣工面积,武汉市人口数量与第一主成分成反比,其余因素为正比;
根据负荷量的大小来看,住宅租赁价格指数,武汉市每年人均可支配收入,居民消费价格指数,武汉市商品房销售面积,武汉市房地产开发投资额和武汉市生产总值的负荷量大,这些因素主要为消费者购买力因素,在影响房价中占有重要位置,对武汉市房价影响较大;
第二主成分F2对武汉市房价的影响较小,从其负荷量有正有负,其中武汉市土地价格,住宅租赁价格指数,武汉市人口数量,武汉市商品房销售面积的为负数,其余的为正数,可以认为武汉市土地价格,住宅租赁价格指数,武汉市人口数量,武汉市商品房销售面积因素与第二主成分成反比,其余因素与第二主成分成正比;
根据负荷量的大小来看,人民币贷款利率和武汉市人口数量的负荷量较大,这些因素主要是房屋供给因素,在影响房价中占有重要位置,控制房价时应多加考虑。
综上所述,在研究影响武汉市房价的影响因素中,住宅租赁价格指数,武汉市每年人均可支配收入,居民消费价格指数,武汉市商品房销售面积,武汉市房地产开发投资额,武汉市生产总值的负荷量大,人民币贷款利率和武汉市人口数量占有重要位置,在控制房价时应该优先考虑这些因素。
6、参考文献
[1][8][9]湖北省统计网.武汉市统计年鉴,2008-2015
[2]吴明峰.房地产价格波动性研究——以武汉市为例[J],2010
[3]MichelleHarter-Dreiman.DrawingInferencesaboutHousingSupplyElasticityfromHousePriceResponsestoIncomeShocks[D],2004
[4]张绍良,李晶
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