高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题.docx
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高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题
高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题
【考点自测】
1.(2016·全国Ⅱ)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)
答案 B
解析 由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+(k∈Z)得函数的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.
2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于( )
A.B.C.-D.-
答案 C
解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,可知BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA=tan(∠BAD+∠CAD)==-3,
所以cosA=-.
3.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则等于( )
A.2B.4C.5D.10
答案 D
解析 将△ABC的各边均赋予向量,
则=
=
=
=
==-6
=42-6=10.
4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
答案
解析 在△ABC中,由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==.
5.若函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且·=0(O为坐标原点),则A=________.
答案 π
解析 由题意知M,N,
又∵·=×-A2=0,∴A=π.
题型一 三角函数的图象和性质
例1 (2016·山东)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
解
(1)由f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2
=2sin2x-(1-2sinxcosx)
=(1-cos2x)+sin2x-1
=sin2x-cos2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由
(1)知f(x)=2sin+-1,
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sin+-1的图象,
再把得到的图象向左平移个单位长度,
得到y=2sinx+-1的图象,
即g(x)=2sinx+-1.
所以g=2sin+-1=.
思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sint的图象求解.
跟踪训练1 已知函数f(x)=5sinxcosx-5cos2x+(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调区间;
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解
(1)因为f(x)=sin2x-(1+cos2x)+
=5=5sin,
所以函数的最小正周期T==π.
(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
(3)由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).
由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).
题型二 解三角形
例2 (2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解
(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2,
故sinB=4(1-cosB).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1(舍去)或cosB=.故cosB=.
(2)由cosB=,得sinB=,
故S△ABC=acsinB=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6,
得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)
=36-2××=4.
所以b=2.
思维升华根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;在解决有关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,对结果进行正确的取舍.
跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解
(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得
sinC==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得
72=b2+32-2b×3×,
解得b=8或b=-5(舍去).
所以△ABC的面积S=bcsinA=×8×3×
=6.
题型三 三角函数和平面向量的综合应用
例3 已知向量a=,b=(cosx,-1).
(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;
(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,b=2,sinB=,求f(x)+4cos的取值范围.
解
(1)因为a∥b,
所以cosx+sinx=0,
所以tanx=-.
cos2x-sin2x===.
(2)f(x)=2(a+b)·b
=2·(cosx,-1)
=sin2x+cos2x+=sin+.
由正弦定理=,得
sinA===,
所以A=或A=.
因为b>a,所以A=.
所以f(x)+4cos=sin-,
因为x∈,所以2x+∈,
所以-1≤f(x)+4cos≤-.
所以f(x)+4cos的取值范围是.
思维升华
(1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.
跟踪训练3 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cosA-2cosC,2c-a),n=(cosB,b)平行.
(1)求的值;
(2)若bcosC+ccosB=1,△ABC的周长为5,求b的长.
解
(1)由已知得b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB,
由正弦定理,可设
===k≠0,
则(cosA-2cosC)ksinB=(2ksinC-ksinA)cosB,
即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C),
又A+B+C=π,
所以sinC=2sinA,因此=2.
(2)由余弦定理可知,
bcosC+ccosB=b·+c·
==a=1,
由
(1)知==2,则c=2,
由周长a+b+c=5,得b=2.
1.已知函数f(x)=sin+sin-2cos2,x∈R(其中ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为,求函数y=f(x)的单调递增区间.
解
(1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωx-cosωx-(cosωx+1)
=2-1=2sin-1.
由-1≤sin≤1,
得-3≤2sin-1≤1,
所以函数f(x)的值域为[-3,1].
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,
所以=π,即ω=2.
所以f(x)=2sin-1,
再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数y=f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
2.(2016·北京)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求B的大小;
(2)求cosA+cosC的最大值.
解
(1)由a2+c2=b2+ac,得a2+c2-b2=ac.
由余弦定理,得cosB===.
又0<B<π,所以B=.
(2)A+C=π-B=π-=,
所以C=-A,0<A<.
所以cosA+cosC=cosA+cos
=cosA+coscosA+sinsinA
=cosA-cosA+sinA
=sinA+cosA
=sin.
因为0<A<,所以<A+<π,
故当A+=,即A=时,cosA+cosC取得最大值1.
3.(2018·合肥质检)已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函数f(x)=a·b+.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
解
(1)f(x)=a·b+
=(sinx,cosx)·(cosx,-cosx)+
=sinx·cosx-cos2x+
=sin2x-cos2x=sin.
令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z).
即函数y=f(x)图象的对称轴方程为
x=+(k∈Z).
(2)由条件知sin=sin=>0,
且0 ∴cos(x1-x2)=cos =cos=cos =sin=. 4.(2017·东北三省四市二模)已知点P(,1),Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数f(x)=·. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC周长的最大值. 解 (1)由已知,得=(,1), =(-cosx,1-sinx), 所以f(x)=·=3-cosx+1-sinx =4-2sin, 所以函数f(x)的最小正周期为2π. (2)因为f(A)=4,所以sin=0,
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