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在代数方面,《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则,在世界数学史上都是最早的记载;
书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。
就《九章算术》的特点来说,它注重应用,注重理论联系实际,形成了以筹算为中心的数学体系,对中国古算影响深远。
它的一些成就如十进制值制等还传到印度和阿拉伯,并通过这些国家传到欧洲,促进了世界数学的发展。
魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。
其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一,对《周髀算经》做了详尽的注释。
刘徽注释《九章算术》,不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,且在论述过程中多有创新,更撰写《海岛算经》。
刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术,为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。
南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态,但数学的发展依然蓬勃。
《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。
《孙子算经》给出「物不知数」问题,导致求解一次同余组问题;
《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。
祖冲之等的工作在这一时期最具代表性,他们在《九章算术》刘徽注的基础上,将传统数学大大向前推进了一步,成为重视数学思维和数学推理的典范。
他们同时在天文学上也有突出的贡献。
其著作《缀术》已失传,根据史料记载,他们在数学上主要有三项成就:
(1)计算圆周率精确到小数点后第六位,得到
3.1415926&
lt;
π&
3.1415927,并求得π的约率为22/7,密率为355/113;
(2)得到祖暅定理并得到球体积公式;
(3)发展了二次与三次方程的解法。
三、宋元全盛时期
从公元十一世纪到十四世纪(宋、元两代),筹算数学达到极盛,是中国古代数学空前繁荣,硕果累累的全盛时期。
这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作,列举如下:
贾宪的《黄帝九章算法细草》,刘益的《议古根源》,秦九韶的《数书九章》,李冶的《测圆海镜》和《益古演段》,杨辉的《详解九章算法》、
《日用算法》和《杨辉算法》,朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》等等。
宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学,甚至是当时世界数学的巅峰。
其中主要的工作有:
(1)高次方程数值解法;
(2)天元术与四元术,即高次方程的立法与解法,是中国数学史上首次引入符号,并用符号运算来解决建立高次方程的问题;
(3)大衍求一术,即一次同余式组的解法,现在称为中国剩余定理;
(4)招差术和垛积术,即高次内插法和高阶等差级数求和。
另外,其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图(幻方)的研究、小数(十进分数)具体的应用、珠算的出现等等。
这一时期民间数学教育也有一定的发展,以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。
四、西学输入时期
这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。
数学除珠算外出现全面衰弱的局面。
十六世纪末,西方初等数学开始传入中国,使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。
鸦片战争后,近代高等数学开始传入中国,中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。
直到十九世纪末,中国的近代数学研究才真正开始。
篇二:
数学读书报告
数学建模读书报告
------读《数学中的美》(吴振奎、吴旻著)
五月中旬我阅读了吴振奎、吴旻两位先生所著的《数学中的美》一书,书中从简洁、和谐、奇异三个方面记述了数学的各个分支中的美。
书中包含了从初等数学到高等数学的各方面知识。
此书从哲学范畴出发,配以数学实例去解释数学潜在规律,探索运用美学原理指导数学创造、发现的途径,这对数学的教、学、研究均有裨益;
另外,通过数学美学的研究,也就是对美学乃至哲学自身的一种丰富。
此书中的数学思路新颖独特,读了之后对我的思维拓展极有裨益。
其中很多内容对学习数学建模,领悟数学思想很有帮助。
现录读书笔记如下,作为《数学建模》课程的结业作业。
引言
数学,如果正确的看,不但拥有真理,而且也具有至高的美。
------罗素
最有益的即是最美的
------苏格拉底
数学能促进人们对美的特性:
数值、比例、秩序等的认识。
------亚里士多德
人们对美认识的几种模式:
(1)美是绝对观念在具体事物和现象中的表现或体现;
(2)美是有意向的,从主观上认识事物的结果;
(3)美是生活的本质同作为美的尺度的人相比,或者同他的事迹需要、同他的理想和关于美好生活观念相比较的结果;
(4)美是自然现象的自然属性.
美的基本类别(客观来源)有二:
自然美和社会美.
美的社会形态也有二:
艺术美和科学美(更确切的是科技美).艺术美是艺术家通过艺术形象再现生活中的美;
科学美主要指理论美,其内涵是指结构美和公式美.
黄金分割的问题:
:
1)五角星里
2)建筑业
3)人体的黄金比例,人的肚脐是人体长的黄金分割点,而膝盖是人体肚脐以下部分的黄金分割点
叶子在茎上的排布是呈螺旋状的,相邻的两片在与茎垂直的平面上的投影夹角是137度28分.
犹太民族是个善于经营和智慧的民族,他们的经济学家巴特莱(pateler)在总结事物祝辞时提出:
正方形内切圆面积与正方形除去其内切圆后剩下的部分(四个角)面积比为78:
22称为宇宙大法则.
空气中的氮与氧之比为78:
22:
人的十个指头中利用率最高的只有两个:
拇指与食指。
人身体成分中水分与其它物质的比为78:
22.
任何特定的群体中,重要的因子通常只占少数,而不重要的因子则往往占少数.
曾有人问科学大师爱因斯坦(a.einstein):
何谓世界第八奇迹?
爱因斯坦答道:
符合成长.这个概念在经济活动中体现为”72法则”.在衡量收益公式中常数72是一个奇妙的数字:
资本增加一倍的年数=72÷
预期投资报酬率
或投资报酬率=72÷
资本增加一年所需年数.
美女的数量化标准:
(1)眼睛的宽度占眼睛所在面部位置的3/10;
(2)下巴长度占脸长的1/5;
(3)从眼珠到眼眉的距离是脸长的1/10;
(4)从正面端详,眼珠竖长占脸长的1/14;
(5)鼻部面积占脸整个面积的5%以下;
(6)嘴站嘴所在脸部宽度的50%.
数学美的特征是什么?
概括起来讲有简洁性、和谐性和奇异性.具体地有:
简洁性:
符号美,抽象美,统一美;
和谐美:
和谐美,对称美,形式美;
奇异美:
奇异美,有限美,神秘美(朦胧美),常数每.
一、数学的简洁性
数学简化了思维过程并使之更可靠.
------弗赖伊(t.c.fry)
算学中所谓美的问题,是指一个难以解决的问题;
而所谓美的解答,这是指对于困难和复杂问题的简单回答.
------狄德罗
宇宙之大、粒子之微、火箭之速、画工之巧、地球质变、生物之谜。
日用之繁、?
?
无不可用数学表述.
------华罗庚
数学是上帝用来书写宇宙的文字.
------伽利略
数学中人们对于简洁的追求是永无止境的:
建立公理体系人们试图找出最少的几条(摒弃任何多余的赘物);
命题的证明人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题证明不断地在改进);
计算方法尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新);
数学拒绝繁冗.
数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜:
钱币种类只须有一分、贰分、伍分、一角、二角、五角、医院、二元、五元、十元、?
,就可以简单的致富任何数目的款项.
1.符号美
数学也是一种语言,且是现存的结构与内容的结构与内容方面最完美的语言.?
可以说,自然用这个语言讲话;
造世主已用它说过话,而世界的保护者继续用它讲话.
------c·
戴尔曼
古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展;
17世纪、18世纪欧洲数学的兴起、我国近千年数学发展的缓慢,这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得是否得当,简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲,都是何等方便!
我们还指出一点:
数学符号的产生也对数学发展的背景有着致密的联系,同一概念开始往往运用不同的符号表示,人们在使用过程中不断对其进行鉴别已确定优势(实用性、方便性、简洁性等)------这里面也蕴含一个审美的过程.
著名的”六人相识问题”(拉姆塞(ramsey)定理的特征):
任何6个人中必可从中找出3人,使得他们要么彼此都相识,要么彼此都不相识.
2.抽象美
就其本质而言,数学使抽象的;
世纪上他的抽象比逻辑的抽象更高一阶.
------g.chrystal
自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱.
------c.n.杨
数学虽不是研究现实事物的质,但任意事物必有量和形,,这样两种事物如有相同的量和形,便可用相同的数学方法,因而数学必然也必须抽象.
物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理,都是用数学语言表达的.万有引力的思想、历史上早就有之,但只有当牛顿用精确的数学公式表达时,才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律.爱因斯坦的广义相对论的产生与表达,也得益于黎曼(rimann)几何所提供的数学框架和手段.
抽象的两种含义:
(1)我们不容易想到(或意想不到)的;
(2)我们无法体验到(或与现实脱节)的.
十七世纪,德国传教士鲍威特(j.bouvet)从中国将《易经》和两幅术士们绘制的“易图”,带给了德国大数学家莱布尼茨,引起了莱布尼茨极大的兴趣.从而发明了二进制.
1924年巴拿赫(s.banach)和塔斯基(a.tarski)证明了:
三维空间中任何两个几何体(从集合论的观点看)都组成相等(banach—tarski悖论).数学的抽象美害在于它可以无矛盾的按照严格数学推理,得到一些我们无论如何也无法想象的,或者是在现实空间认为是不可能的事实.
3、统一美
天得一以清,地得一以宁,万物得一以生.
------古代道家语
数学科学史统一的一体,其组织的活力依赖于其各部分之间的联系.
------d.西尔伯特
世界的统一在于它的物质性.宇宙的统一性表现在为宇宙的统一美.因而能解释宇宙统一的理论,即被认为是美的科学理论.
比大格拉斯认为宇宙统一于”数”;
狄摩克利特(demokritos)认为宇宙统一于原子;
柏拉图(plato)认为宇宙统一于理念世界;
中国古人认为宇宙通过阴阳五行,统一于太一;
笛卡尔认为宇宙统一于以太?
统一也是数学内涵的一个特征,古往今来人们一直都在探索它,并试图找到统一它们的办法.
笛卡尔通过解析几何(即坐标方法)把几何学、代数学、逻辑学统一起来;
高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴契夫斯基几何和黎曼(g.f.b.riemann)几何统一起来了;
克莱因(c.f.klein)用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学(该理论认为:
不同的几何只不过是在相应的变换群下的一种不变量);
拓扑学在分析学、代数学、几何学中的渗透,特别是在微分几何种种空间,产生了所谓拓扑空间的统一流形;
统一也是数学家们永远追求的目标之一.
数学中的联系绝非是一种巧合,而这恰恰反映了数学的本质.
布尔巴基(这是一大批优秀数学家组成的一个数学团体)的《数学原理》是迄今为止的全部数学,且使之趋于统一的大胆、优秀尝试.
布尔巴基抽象出三种最基本的结构模型:
代数结构:
可以通过合成规则定义,反映集合中元素间的运算关系;
序结构:
由次序先后关系形成的结构;
拓扑结构:
给空间提供一个抽象的数字表示,反映集合各元素间亲疏关系.
数学需要统一,而统一由历来为数学家们梦寐以求(对于其他学科也是如此).
数学中的巧合很多:
比如e与π这两个看上去似乎风马牛不相及的常数(超越数)的表达
.e和π的十进制小数中,平均每个十位,发现一次重合.另外π中会出现27132,而e中又会有31415等数字排列.
圆锥曲线与物理或航天学中的三个宇宙速度问题有关:
当物体运动分别达到该速度时,它们的轨迹便是相应的原准曲线(大自然同大数学家一样,总是以通等重要性把理论与应用统一起来):
我们还知道:
三种几何学(欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何)可以在高斯曲率的观点下统一成一种几何的三种不同情形.
二、数学美的和谐
所谓"数学的和谐"不仅是宇宙的特点,原子的特点,也是生命的特点,人的特点.------高尔基
数学构造了人类智慧的最壮丽的纪念碑。
------t.thomson
宇宙概念常常在哲学家脑子里被表现为和谐------因为宇宙是和谐的.艺术的和谐人们可以”感觉到”,数学以致科学的和谐人们同样可以”感觉”,有时甚至是直觉.
1.和谐美
我指的是本质的美,它来自自然各部分的和谐的秩序,并且纯智力都能够领悟它.------庞加莱数学的许多”艺术形式”是由精致的、”无噪声的”结果所组成的.
------r.w.哈明美是和谐的.和谐性也是数学美的特征之一.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性.德国数学家康托尔创立了”集合论”,这是现代数学的基础,也是现代数学诞生的标志.
1902年,英国数理逻辑学家罗素在《数学原理》中提出一个足以说明”集合论本身是自相矛盾的”例子------罗素悖论:
试把集合分成两类:
自己为自己元素者为甲类;
自己不是自己元素者为乙类.
这样,一个集合要么属于甲,要么属于乙,二者必居其一,且仅居其一.
试问:
乙类集合的全体属于哪一类?
若乙属于甲,,由甲的定义则有乙属于乙,这和乙属于甲矛盾;
若乙属于乙,则仍以甲的定义应该有乙属于甲也矛盾.
由于哲学观点不同,由此便产生了数学的几大派:
逻辑主义学派(代表者罗素、怀德海等);
直觉主义学派(代表人物科罗内可(l.kronecker)等);
形式主义学派(代表人物希尔伯特等).
人们意识到:
如果说化学、物理学与生物学的结合,打开了生物学的大门的话,那么数学与物理学的结合将揭开微宏观世界的奥秘.
2.对称美
对称是一个广阔的主题,在艺术和自然两方面都意义重大.数学则是他的根本.
------h.weyl
虽然数学没有明显地提到善和美,但善和美也不能和数学完全分离.因为美德主要形式就是秩序、匀称和确定性,这些正是数学所研究的原则.
自古以来,人们就已经讨论”对称原理”之一------左和右之间的对称.物理学定律一直显示左右之间完全对称.这种对称在量子力学”中可以形成一种守恒定律,即宇称守恒,他和左右对称原理完全相同.
英美几位物理学家日前提出的关于宇宙起源的新学说一鸣惊人:
在五维空间按中存在我们的宇宙和另外一个”隐藏’的宇宙(对称的宇宙).
新理论是由美国普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学和英国剑桥大学的物理学家们共同提出的.它们认为,我们宇宙和一个隐藏的宇宙共同镶嵌在五维空间中.在我们的宇宙早期,这两个宇宙发生了一次相撞事故,相撞产生的能量生成了我们宇宙中的物质和能量.
3.形式美
只有音乐堪与数学媲美.
------a.h.怀德海
在形式数学中,每一步骤或为允许的,或为不正确的.
------j.w.图恩
毕达哥拉斯学派及其崇拜者还研究了多角数的美妙性质,比如他们发现:
每个死角数是两个相继三角数之和;
第n-1个三角数与第n个k角数之和为第n个k+1角数;
?
17世纪初,法国业余数学(转载于:
数学大师读书报告)家费马在研究多角性质是提出猜想:
每个正整数均可至多用三个三角数和、四个四角数和、?
、k个k角数和表示.我们再来看看”幻方大王”弗里安逊(frianson)制作的九阶幻方,堪称一绝:
其性质:
(1)虚线框出的带圆圈的25个数字,恰好构成一个五阶幻方(幻和值为205);
164);
篇三:
《数学史》读书报告
《数学史》读书报告
——以李文林著《数学史概论》为例
本学期我选修了陈静安教授的“数学史与数学方法论”,一共选读了李文林著《数学史概论》与钱佩玲《中学数学思想方法》两本书,以下对李文林著《数学史概论》作一个读后的总结。
一、《数学史概论》简介及其特点
《数学史概论(第2版)》以重大数学思想的发展为主线,阐述了从远古到现代数学的历史。
书中对古代希腊和东方数学有精炼的介绍和恰当的分析;
同时充分论述了文艺复兴以来近现代数学的演进与变革,尤其是20世纪数学的概观,内容新颖。
《数学史概论(第2版)》中西合炉,将中国数学放在世界数学的背景中述说,更具客观性与启发性。
《数学史概论(第2版)》脉络分明,重点突出,并注意引用生动的史实和丰富的图片。
本书共分十五章,其中第一章“数学的起源与早期发展”介绍了人类在蒙昧时期由于生产生活的需要,逐渐形成了数与形的概念,从最早的手指计数到石头计数,再到结绳计数直到距今大约五千多年前,出现了书写计数以及相应的计数系统。
在灿烂的“河谷文明”中,重点介绍了埃及数学和美索不达米亚数学。
第二章“古代希腊数学”,介绍了雅典时期和亚历山大时期的数学,其中重点对数学家泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯及其成就作了详尽的介绍。
第三章“中世纪的中国数学”,从古代著作《世本》中提到的黄帝使“隶首作算数”,殷商甲骨文中使用的完整的十进制计数,到两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期达到了发展的高潮。
介绍的著作主要有《周髀算经》,《九章算术》,《算经十书》,介绍了刘徽的“割圆术”和他在面积、体积公式推证的成就,祖冲之父子推算“圆周率”,在推导几何图形体积公式时提出了“出入相补”及“祖氏原理”;
第四章“印度与阿拉伯的数学”;
第五章“近代数学的兴起”,讲述了中世纪的欧洲,从代数学、三角学、透视学、射影几何等方面的发展向近代数学的过渡,以至解析几何的诞生;
第六章“微积分的创立”,分别介绍了牛顿和莱布尼茨从不同的角度提出的微积分原理;
第七章“分析时代”;
第八章至第十章,分别以代数、几何、分析这三大领域的变革为主要线索,介绍了19世纪数学的发展;
第十一章至十三章是“20世纪数学概观”,分别介绍了纯粹数学的主要趋势、空前发展的应用数学、现代数学成果十例;
第十四章“数学与社会”,第十五章“中国现代数学的开拓”。
本书有以下几个特点:
1、与同类书相比,有着最大的空间跨度和时间跨度,从上古的巴比伦、希腊、中国、印度、阿拉伯世界,到中世纪的欧洲,以至20世纪的近代数学、当代数学,遍及世界各地对于数学的贡献地位与影响,都有中肯的评论。
2、本书不仅对史实有详尽而忠实的介绍,而且兼有史评史论的作用,更有精辟的历史观。
例如作者认为古希腊的数学是一种论证数学,而说中国的古代数学,在南北朝三国时期,也进入到论证数学,刘徽即为其杰出代表之一。
至于中世纪欧洲数学的崛起,微积分的创立以及近代数学的诞生史,对于它们的历史背景与社会根源,作者都有敏锐的评论。
作者对整个数学的发展有着明确的数学史观。
3、本书不仅对数学家和他们的学术成就作了概括的介绍,而且对于一些重要成就,不惜花费篇幅,作了较详细的忠实于原始创造的说明。
例如阿基米德对于球体积与抛物线弓形面积的计算,刘徽对于?
的计算原理和方法,牛顿与莱布尼茨关于微积分的发现过程,以至较近代如康托关于非可数集合的发现等等,都作了较详细的介绍。
这让读者不仅可以了解历史的发展,而且还能深入体会数学大师们原始创造的艰苦历程与来龙去脉。
4、本书除了数学家们的传统故事外,还介绍了许多有趣的奇闻轶事。
二、对数学的认识有了进一步的提高
李文林教授在书中说到:
不了解数学史就不可能全面了解数学科学。
外尔说过:
“除了天文学之外,数学是所有学科中最古老的一门科学。
如果不去追溯自古希腊以来各个时代所发现与发展起来的概念、方法和结果,我们就不能理解前50年数学的目标,也不能理解它的成就。
”
通过这本书,我对数学发展的概况有了一个较为全面的了解。
书中通过生动具体的事例,介绍了数学发展过程中的若干重要事件、重要人物与重要成果,让我进一步了解了数学这门科学产生与发展的历史过程,体会了数学对人类文明发展的作用,感受到了数学家严谨的治学态度和锲而不舍的探索精神。
数学是人类创造活动的过程,而不单纯是一种形式化的结果;
运用辨证唯物主义的观点看待数学科学及数学教育,在他们的形成和发展过程中,不但表现出矛盾运动的特点,而且它们与社会、政治、经济以及一般人类的文化有着密切的联系。
数学的历史源远流长。
在早期的人类社会中,是数学与语言、艺术以及宗教一并构成了最早的人类文明。
数学是最抽象的科学,而最抽象的数学却能催生出人类文明的绚烂的花朵。
这使数学成为人类文化中最基础的学科。
对此恩格斯指出:
“数学在一门科学中的应用程度,标志着这门科学的成熟程度。
”在现代社会中,数学正在对科学和社会的发展提供着不可或缺的理论和技术支持。
数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。
数学的发展决不是一帆风顺的,在更多的情况下是充满犹豫、徘徊,要经历艰难曲折,甚至会面临困难和危机。
无理量的发现、微积分和非欧几何的创立…这些例子可以帮助人们了解数学创造的真实过程,而这种真实的过程是在教科书里以定理到定理的形式被包装起来的。
对这种创造过程的了解则可以使人们探索与奋斗中汲取教益,获得鼓舞和增强信心
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