定价策略期权定价中的蒙特卡洛模拟方法最全版Word格式.docx
- 文档编号:16693975
- 上传时间:2022-11-25
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:240.64KB
定价策略期权定价中的蒙特卡洛模拟方法最全版Word格式.docx
《定价策略期权定价中的蒙特卡洛模拟方法最全版Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《定价策略期权定价中的蒙特卡洛模拟方法最全版Word格式.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动
即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率。
同理,根据伊藤公式可以得到
对数正态分布的概率密度函数:
设,,则的密度函数为根据上述公式,得到标的资产的密度函数如下
在风险中性概率测度下,欧式看涨期权定价为:
接下来,求解以上风险中性期望。
首先,对上式的右边
第一个广义积分分别作变量替换
和,可以得到
再对等式的右边的第二个无穷积分,令
,可求得
将以上的计算结果代入期望等式中,得到欧式看涨期权的价格公式为:
其中,,。
可以看出,对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。
基于风险中性的期权定价原理在于:
任何资产在风险中性概率测度下,对于持有者来说都是风险偏好中性的,便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。
蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。
2.蒙特卡洛模拟方法及其效率
假设所求量是随机变量的数学期望,那么近似确定的蒙特卡洛方法是对进行n次重复抽样,产生独立同分布的随机变量序列,并计算样本均值
。
那么根据Kolmogorov强大数定律有
因此,当n充分大时,可用作为所求量的估计值。
由中心极限定理可得到估计的误差。
设随机变量的方差,对于标准正态分布的上分位数,有
这表明,置信水平对应的渐近置信区间是
实际上,由此可确定蒙特卡洛方法的概率化误差边界,其误差为,误差收敛速度是。
不难看出,蒙特卡洛方法的误差是由和决定的。
在对同一个进行抽样的前提下,若想将精度提高一位数字,要么固定,将n增大100倍;
要么固定n将减小10倍。
若两个随机变量的数学期望,,那么无论从或中抽样均可得到的蒙特卡洛估计值。
比较其误差,设获得的一个抽样所需的机时为,那么在时间T内生成的抽样数,若使,则需使。
因而,若要提高蒙特卡罗方法的效率,不能单纯考虑增加模拟的次数n或是减小方差,应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所
耗费的机时,使方差与机时t的乘积尽量的小
3.蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理:
在风险中性测度下,期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值,即,其中的表示风险中性期望,r为无风险利率,T为期权的到期执行时刻,是关于标的资产价格路径的预期收益。
由此可知,计算期权价格即就是计算一个期望值,蒙特卡洛方法便是用于估计期望值,因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。
一般地,期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步(以欧式看涨期权为例):
(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径将时间区间分成n个子区间,标的资产价格过程的离散形式是
(2)计算在这条路径下期权的到期回报,并根据无风险利率求得回报的贴现
(3)重复前两步,得到大量期权回报贴现值的抽样样本
(4)求样本均值,得到期权价格的蒙特卡洛模拟值另外,我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界,这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。
由于,m条路径的收益均值为,m条路径的方差为,则可得95%的置信区间为。
例1:
假设无红利的股票A,初始价格为Y6,价格过
程服从几何布朗运动,年预期收益率为10%,收益率的波动率为每年25%,时间步长为0.01年(1年为100时间步),给定数据,,以及=100,用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径如下:
(1)
(2)
图
(1)蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径,图
(2)
蒙特卡洛方法模拟股票B价格路径。
若无红利的股票B、C、D,其价格均为Y6,股票B的期望收益率为0.1,波动率为0.6;
股票C的期望收益率为
0.5,波动率为0.25;
股票D的期望收益率为0.5,波动率为0.6,分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下:
(3)
(4)
图(3)蒙特卡洛方法模拟股票C价格路径,图(4)蒙特卡洛方法模拟股票D价格路径。
从图中可以看出,股票C和股票D的价格上升速度较快,而股票B和股票D的价格波动比较大。
这是与股票C和股票D价格的期望收益率较高,股票B和股票D价格的波动率较高相对应的。
欧式看涨期权,通过Black-Scholes公式计算得的精确值为,蒙特卡洛模拟的价格为,其蒙特卡洛模拟图如下:
(5)
上述同样的条件,路径由100逐渐增加到1000000条,对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间,结果如下表所示:
N
模拟值
置信区间
100
4.3146
[4.0112,4.6180]
500
4.2262
[4.0962,4.3563]
1000
4.2213
[4.1287,4.3139]
2000
4.1633
[4.0984,4.2281]
5000
4.1695
[4.1280,4.2111]
10000
4.1787
[4.1490,4.2083]
50000
4.1960
[4.1826,4.2094]
100000
4.1886
[4.1791,4.1980]
1000000
4.1914
[4.1884,4.1944]
4.蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价
权证是一种合同,权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。
权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。
权证主要具有价格发现和风险管理的功能,它是一种有效的风险管理和资源配置工具。
现选取我国认股权证中的五粮YGC1、马钢CWB1、伊
利CWB1为例,以2006年的价格作为样本区间模拟认股
权证的价值,并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wind
数据库给出的理论值进行比较。
本例采用一年期短期利率2.52%作为无风险利率,用这些权证的正股股票价格序列来计算波动率。
现实中用等时间间隔观测股票价格序列,股票投资的连
续复利收益率,(),则的样本标准差。
如果用日数据计算波动率,则年度波动率按下式计算:
年度波动率=日波动率*(每年的交易日数)1/2
将时间区间取为2006年12月1日-2006年12月29日,则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下:
蒙特卡洛方法对五粮YGC1认股权证的模拟()
日期
实际值
蒙特卡洛
理论值
12-1
10.164
10.066
9.821
12-18
12.100
13.524
13.351
12-4
10.120
10.357
10.121
12-19
12.080
13.574
13.401
12-5
9.880
10.630
10.401
12-20
12.210
13.771
13.601
12-6
9.395
10.386
10.151
12-21
11.900
13.376
13.201
12-7
9.147
9.998
9.751
12-22
11.420
12.687
12.501
12-8
9.050
9.785
9.531
12-25
12.038
13.742
13.571
12-11
9.850
9.225
8.951
12-26
11.978
13.406
13.231
12-12
9.825
10.600
10.371
12-27
13.001
14.364
14.201
12-13
9.766
10.260
10.021
12-28
13.050
14.612
14.451
12-14
10.589
11.332
11.121
12-29
14.500
16.198
16.051
12-15
10.849
12.028
11.831
一
蒙特卡洛方法对马钢CWB1认股权证的模拟()
1.143
1.244
0.569
1.775
1.709
1.052
1.209
1.188
0.517
1.803
1.241
1.223
0.549
1.730
1.756
1.103
1.349
1.641
1.633
1.416
0.743
1.700
1.542
0.778
1.750
1.618
0.952
1.707
1.453
0.848
1
1.919
1.835
1.520
2
1.874
1.776
3
1.794
1.748
1.094
1.644
1.811
1.163
4
0.969
1.708
1.830
5
蒙特卡洛方法对伊利CWB1认股权证的模拟()
13.32
13.533
12.629
14.818
13.98
14.760
8
13.25
13.947
13.069
15.541
14.74
15.479
13.29
13.957
13.079
16.630
15.88
6
15.487
12.91
16.449
15.69
15.594
12.85
13.288
12.369
16.573
15.82
15.168
12.73
12.763
11.809
15.817
15.03
16.616
12.92
12.576
11.609
17.754
17.05
16.619
14.05
12.941
11.999
17.879
17.18
9
17.673
13.52
14.108
13.239
19.726
19.09
14.28
13.815
12.929
14.34
14.619
13.778
从表可看出,由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。
为了更直观的比较,由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下
图。
其中SJ代表实际值,MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值,BS代表由Black-Scholes公式计算出的理论值。
五粮YGC1价格模拟比较图
马钢CWB1价格模拟比较图
伊利CWB1价格模拟比较图
从图中明显看出,五粮YGC1和伊利CWB1的模拟结果比较好,蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes模型的理论值均
与实际值吻合;
而马钢CWB1的实证结果不理想,但是三
种结果的走势图有共同的趋势。
从比较分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价格比Black-Scholes模型更接近实际价格。
对
于这些认股权证价格的模拟结果的好坏,受诸多因素影响,主要与选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关等等。
♦隐含波动率及其数值计算方法
隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率,是通过Black-Scholes期权定价公式计算出来的波动率。
由于我们无法给出它的解析解,因此,只能借助于数值计算给出近似解。
下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。
牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法。
步骤1.将函数在点附近展开成泰勒级数
步骤2.取泰勒级数的前两项作为假设,求解方程,并令其解为,得,这样得到迭代公式,经过n次迭代后,可以求出的近似解。
根据牛顿迭代法,隐含波动率的计算步骤如下:
1.假设其他变量保持不变,认为函数是隐含波动率的一元函数,其中的是市场上观察到的期权价格。
2.求函数的导数
3.由迭代公式计算波动率,直至
此外,为了计算隐含波动率,经济学家和理财专家曾做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式。
如Brenner和Subrahmanyam于1988年,Chance于1993年分别提出计算隐含波动率的公式,虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确,但是基础资产的价格一旦偏离期权的执行价格的现值,其准确性就会丧失。
1996年,Corrado和Miller在前人研究的基础上建立了如下公式,大大提高了隐含波动率的计算的准确性:
5.服从跳扩散过程的无形资产期权定价问题及其蒙特卡洛模拟分析
♦服从跳扩散过程的期权定价方法
正常的波动用几何布朗运动(Brown)来描述—由供需不平衡、利率变动或整个经济的波动等因素引起的。
不正常的波动用泊松过程(Poisson)来描述—由未预料到的重要信息的出现引起的。
这些信息在不连续的时间点出现,而且出现的时间点不确定,是否会出现也不确定
带跳跃项的伊藤Ito公式:
设,是二元可微函数,若随
机过程服从随机微分方程
其中,是标准维纳过程,表示不可预测的跳跃,且。
则带跳跃项的伊藤Ito公式为其中,。
上式是对跳跃项作如下假定得出的:
1、在两个跳跃之间保持不变,而在跳跃时间是离散和
随机的;
2、有种跳跃类型,跳跃尺度为,跳跃尺度为的概率为,跳跃的发生强度依赖于的最终观测值,跳跃类型和尺度都是独立随机的。
则在时间区间内,增量为
这里表示的是至时间发生的跳跃大小的总和,表示跳跃发生的概率,为跳跃的期望值,则是不可预测的。
漂移参数可看作两个漂移的和这里表示中连续运动的维纳过程部分,第二项为纯跳跃部
将Poisson过程引入到期权定价模型中,得到标的资产
价格价格的跳扩散方程如下其中,,标的资产价格的变化比率为,,且与相互独立。
令,根据带跳跃项的伊藤公式可得其微分形式为整理上式,得到标的资产价格公式为
在标的资产价格遵循跳扩散过程的假设下,根据上述带跳伊藤公式可得期权价值的微分形式如下构造期权与标的资产的无套利资产组合,其微分形式为则该无套利资产组合微分形式的期望如下式由于资产组合为无风险组合,因此有如下等式成立两式联立并化简得到标的资产价格遵从跳扩散过程的定价公式如下:
若没有发生跳跃事件,则,将其代入上式所得结果与Black-Scholes微分方程完全一致。
当期权分别为欧式看涨、欧式看跌、美式看涨和美式看跌期权时,其边界条件和终值条件与本章第一节的终边值条件相同。
Merton假设标的资产价格跳跃高度服从,从而推导出
欧式看涨期权的定价公式为:
其中,,
另外,Harworth假设跳跃高度服从对数正态分布,则
欧式看涨期权的解析解为
例2.标的资产价格遵从跳扩散过程如下
♦无形资产一一专利池的期权定价模问题
专利池的市场价值V依赖于企业使用专利池技术
前后生产产品所获得的收益S和成本C及时间t,这
三个变量均可用跳扩散模型:
通过构造由V和它所依赖的两个变量S、C组成
的资产组合,利用带跳的伊藤引理获得V与S、C所遵循的带跳的随机微分方程,并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件,最终获得V的求解公式。
构造无风险资产组合
一方面的微分的期望为:
另一方面,
新产品发明专利池的市场价值V所遵循的方程为
期权的价格公式:
20世纪90年代初,由高分子工程材料的某高校、
研究所、设计院和高新技术企业等经过两年的开发研究,研制出新型建材——铝塑复合管全套生产工艺,该技术已获多项国家发明专利,且己具备成套设备生产供应能力。
当时,该技术在国内只此一项,属新产
年以上,受专利保护20年。
但该技术在国外存在多家供方,不同供方在核心技术内容、原理、流程上基本一致,同时也不排除在一段时间后出现其他更好技术的可能性,一方面时间越长,这种可能性越大。
另一方面该技术使用寿命越长,这种可能性越小(l=l(t))。
并且,其他同类技术的出现使该专利池技术的收益下降,下降幅度为LnY。
因为设备的经济使用寿命是20年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。
若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率10%递增。
假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。
新产品发明专利池的市场价值V=8050
•在一次付清许可费用情况下的价格模型:
新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为:
在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池
的价格为:
在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的
价格P=5450。
•在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型
新产品发明专利池技术产生的收益S遵循模型
引进新产品发明专利池技术后的成本C遵循模型
一方面的微分的期望为
新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为:
另一方面,的微分及其期望为:
新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为:
期权的价格公式:
在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。
6.最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同,并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。
其基本思路是:
在期权的有效期内,将其标的资产价格过程离散化,随机模拟出标的资产价格的多条样本路径,从而得到每个时刻资产价格的截面数据。
选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量,下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量,进行最小
二乘法回归求得该时刻期权的持有价值,并与该时刻期权的内在价值作比较,若后者较大,则应该立即执行期权,否则,就应继续持有期权。
最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤:
首
先,随机生成标的资产价格的多条样本路径;
然后,从到期时刻逆向求解,比较期权的内在价值与持有价值,确定出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时;
最后,将所有样本的的期权价值求
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 定价 策略 期权 中的 蒙特卡洛 模拟 方法 最全版