平面解析几何专题突破习题顾效禹Word文档格式.docx
- 文档编号:16746064
- 上传时间:2022-11-25
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:94.62KB
平面解析几何专题突破习题顾效禹Word文档格式.docx
《平面解析几何专题突破习题顾效禹Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面解析几何专题突破习题顾效禹Word文档格式.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
7.曲线与方程的概念,会由几何条件列出曲线方程。
8.
圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。
圆的参数方程:
掌握圆的几何性质,会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
会求圆的相交弦、切线问题。
(二)圆锥曲线
1.椭圆及其标准方程:
2.双曲线及其标准方程:
3.抛物线及其标准方程:
4.直线与圆锥曲线:
注意点:
(1)注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
(2)要学会变形使用两点间距离公式
,
当已知直线
的斜率
时,公式变形为
或
;
当已知直线的倾斜角
时,还可以得到
(3)灵活使用定比分点公式,可以简化运算。
(4)会在任何条件下求出直线方程。
(5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质
解析几何中的一些常用结论:
1.直线的倾斜角α的范围是[0,π)
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系:
当倾斜角是锐角是,斜率k随着倾斜角α的增大而增大。
当α是钝角时,k与α同增减。
3.截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。
4.两直线:
L1:
A1x+B1y+C1=0 L2:
A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2
A1A2+B1B2=0
5.两直线的到角公式:
L1到L2的角为θ,tanθ=
夹角为θ,tanθ=|
| 注意夹角和到角的区别
6.点到直线的距离公式,两平行直线间距离的求法。
7.有关对称的一些结论
点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是
(a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a)
如何求点(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点
直线Ax+By+C=0关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么,关于点(a,b)对称的直线方程又是什么?
如何处理与光的入射与反射问题?
8.曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为:
(1)点(a.b)
(2)x轴
(3)y轴
(4)原点
(5)直线y=x
(6)直线y=-x
(7)直线x=a
9.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。
点P(x0,y0),圆的方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2.
如果(x0-a)2+(y0-b)2>
r2
点P(x0,y0)在圆外;
如果(x0-a)2+(y0-b)2<
点P(x0,y0)在圆内;
如果(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点P(x0,y0)在圆上。
10.圆上一点的切线方程:
点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,那么过点P的切线方程为:
x0x+y0y=r2.
11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线。
12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题。
d>
r
相离 d=r
相切 d<
相交
13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为r,R
d>
r+R
两圆相离
d=r+R
两圆相外切
|R-r|<
d<
两圆相交
d=|R-r|
两圆相内切
d<
|R-r|
两圆内含
d=0,两圆同心。
14.两圆相交弦所在直线方程的求法:
圆C1的方程为:
x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圆C2的方程为:
x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为:
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
16.焦半径公式:
在椭圆
=1中,F1、F2分别左右焦点,P(x0,y0)是椭圆是一点,则:
(1)
|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
(2)三角形PF1F2的面积如何计算
17.圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
18.直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)则弦长P1P2=
19.双曲线的渐近线的求法(注意焦点的位置)已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。
20.抛物线中与焦点有关的一些结论:
(要记忆)
解题思路与方法:
解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外,就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题:
(1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口方向,这是减少或避免错误的一个关键。
(2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后得到二次方程,用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线,通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时:
涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);
涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍。
(3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。
一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤。
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。
定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)。
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小。
(4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时,一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。
(5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。
(6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵活性,求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”,将“形”化成“数”,使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方法有:
直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等,解题时,注意求轨迹的步骤:
建系、设点、列式、化简、确定点的范围。
(7)参数方程,请大家熟练掌握公式,后用化归的思想转化到普通方程即可求解。
第二部分解析几何中的范围问题
一、“题设条件中的不等式关系”之运用
事物都是一分为二的。
对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系,既可作为推导或求解的条件而增加难度,也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。
在解决范围问题时,不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式,往往成为解题的关键环节.
1、已知双曲线中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1.
(1)若直线AP的斜率为k,且
,求实数m的取值范围;
(2)当
时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线方程.
2、设椭圆
的两个焦点是
,且椭圆上存在点P使得直线
垂直.
(1)求实数m的取值范围;
(2)设L是相应于焦点
的准线,直线
与L相交于点Q,若
,求直线
的方程.
二、“圆锥曲线的有关范围”之运用
1、以
为焦点的椭圆
与x轴交于A,B两点
(1)过
作垂直于长轴的弦MN,求∠AMB的取值范围;
(2)椭圆上是否存在点P,使∠APB=120°
?
若存在,求出椭圆离心率e的取值范围.
解:
三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用
在直线与曲线相交问题中,直线与某圆锥曲线相交的大前提,往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。
因此,对于有关一元二次方程的判别式△>
0,求某量的值时,它是去伪存真的鉴别依据,求某量的取值范围时,它是导出该量的不等式的原始不等关系。
1、已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,且右焦点到直线
的距离为3,若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N,使M、N关于过A点的直线对称,求直线l的斜率取值范围。
四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用
所给问题中的某些点,注定要在相关圆锥曲线的内部。
比如圆锥曲线的弦的内分点,又如圆锥曲线任意两弦的交点等。
因此,点在圆锥曲线内部的充要条件,便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。
其中,常用的充要条件为:
1、
2、
3、
4、
1、已知椭圆的焦点为
,过点
且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,
,又椭圆上不同两点A、C满足条件:
成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)设弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m,求m的取值范围.
五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用
“
1、
2、
1、已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
,若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与
成等比数列,求离心率e的取值范围.
第三部分直线与圆锥曲线问题的解题策略
众所周知,直线与圆锥曲线的问题,是解析几何解答题的主要题型,是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。
多年备考的实践经验告诉我们,欲更快地提高解决这类问题的实践能力,需要切实解决好以下两个问题:
(1)条件或目标的等价转化;
(2)对于交点坐标的适当处理。
本文试从上述两个问题的研究切入,对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索,希望对高考备考有所帮助。
一、条件或目标的认知与转化
解题的过程是一系列转化的过程。
从某种意义上说,解题,就是要将所解的题转化为已经解过的题。
然而,转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。
有了足够的认知基础,我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。
1、化生为熟
(1)向弦中点问题转化
1.已知双曲线
=1(a>
0,b>
0)的离心率
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为
(1)求双曲线方程;
(2)若直线
(km≠0)与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上,求m的取值范围。
(2)向弦长问题转化
例2.设F是椭圆
的左焦点,M是C1上任一点,P是线段FM上的点,且满足
(1)求点P的轨迹C2的方程;
(2)过F作直线l与C1交于A、D两点,与C2交点B、C两点,四点依A、B、C、D顺序排列,求使
成立的直线l的方程。
2.化繁为简
解析几何是用代数计算的方法解决几何问题,因此,解答解析几何问题,人们都有这样的共同感受:
解题方向或途径明朗,但目标难以靠近或达到。
解题时,理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现?
既能想到,又能做到的关键,往往在于能否化繁为简。
化繁为简的策略,除去“化生为熟”之外,重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。
(1)借助投影
例3.如图,自点M(1,-1)引直线l交抛物线
于P1、P2两点,在线段P1、P2上取一点Q,使
的倒数依次成等差数列,求点Q的轨迹方程。
(2)避重就轻
事物都是一分为二的,复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面,在给我们解题制造麻烦的同时,也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。
例4.已知点P、Q在椭圆
上,椭圆中心为O,且
,求椭圆中心O到弦PQ的距离。
二、求解交点坐标的“度”的把握
个体与整体是辩证的统一,循着“个体”与“整体”的辩证关系,立足于“解”交点坐标,主要是以下两种选择:
1、半心半意,解至中途
1.设斜率为2的直线与抛物线
相交于A、B两点,以线段AB为边作矩形ABCD,使
,求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。
2、真心实意,求解到底
当目标的转化结果不是交点横标(或纵标)的对称式,而是交点坐标的个体时,则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。
例2.正方形ABCD的中心为M(3,0),一条顶点在原点,焦点在X轴正半轴上的抛物线E,一条斜率为
的直线l,若A、B两点在抛物线E上,而C、D两点在直线l上,求抛物线E和直线l的方程。
三、求解交点坐标的转换与回避
解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境,究其原因,大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。
因此,面对所给问题,当能预见到求解上述方程组的繁难程度时,能转换正面求解(交点坐标)便尽量转换,能回避正面求解(交点坐标)便尽量回避。
1、设而不解
这里所谓的“设而不解”,是指设出交点坐标之后,借助已知方程,运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。
其中,用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。
1.设椭圆
的上半部有不同三点A、B、C,它们到同一焦点的距离依次成等差数列,且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等,求线段AC的中垂线在y轴上的截距。
2、不设不解
这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。
因此,欲适时地正确选择对交点坐标“不设不解”,需要我们对问题或图形本质的深刻认知,需要我们对有关知识的深厚积淀或升华。
(1)利用圆锥曲线定义回避交点坐标
例2.已知F1、F2为椭圆的两个焦点,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,
,且
,求椭圆的离心率。
(2)借助有关图形性质回避交点坐标
例3.已知直线l:
与⊙
相交于A、B两点,当
时,求⊙C的方程。
(3)利用有关问题的深入认知回避交点坐标
这是处置直线与曲线乃至两曲线相交问题的重要策略,现以例4示范说明。
1.已知圆M与圆
相交于不同两点A、B,所得公共弦AB平行于已知直线
,又圆M经过点C(-2,3),D(1,4),求圆M的方程。
四、高考真题
1.已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点,
与
共线。
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M为椭圆上任意一点,且
,证明
为定值。
分析:
2.P、Q、M、N四点都在椭圆
上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知
共线,
共线,且
,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
3.设A、B是椭圆
上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。
(1)确定
的取值范围,并求直线AB的方程;
(2)试判断是否存在这样的
,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?
并说明理由。
4.已知方向向量为
的直线l过点
和椭圆
的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足
(0为原点)。
若存在,求直线m的方程;
若不存在,请说明理由。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 平面解析几何专题突破习题 顾效禹 平面 解析几何 专题 突破 习题