六年级高斯学校竞赛几何综合一含答案Word文档格式.docx
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11.如图7-20,在三角形ABC中,AE=ED,D点是BC的四等分点,阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几?
12.如图7-21,在三角形ABC中,三角形AEO的面积是1,三角形ABO的面积是2,三角形BOD的面积是3,则四边形DCEO的面积是多少?
超越篇
1.如图7-22,长方形的面积是60平方厘米,其内3条长度相等且两两夹角为120°
的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形.请问:
一个梯形的面积是多少平方厘米?
2.如图7-23,P是三角形ABC内一点,DE平行于AB,FG平行于BC,HI平行于CA,四边形AIPD的面积是12,四边形PGCH的面积是15,四边形BEPF的面积是20.请问:
三角形ABC的面积是多少?
3.如图7-24所示,正方形ABCD的面积为1.E、F分别是BC和DF的中点,DE与BF交于M点,DE与AF交于Ⅳ点,那么阴影三角形MFN的面积为多少?
4.如图7-25,三角形ABC的面积为1,D、E、F分别是三条边上的三等分点,求阴影三角形的面积.
5.如图7-26,小悦测出家里瓷砖的长为24厘米,宽为10厘米,而且还测出了边上的中间线段均为4厘米,那么中间菱形的面积是多少平方厘米?
6.如图7-27,ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD,并交BC于G,AE平行于BD,∠DCB=45°
,且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45,那么三角形AED的面积是多少?
7.在长方形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点,将长方形的四个角分别沿着HE、EF、FG、GH对折后,A点与B点重合,C点与D点重合.已知EH=3,EF=4,求线段AD与AB的长度比.
8.如图7-28,在长方形ABCD中,AE:
ED=AF:
AB=BG:
GC.已知△EFC的面积为20,△FGD的面积为16,那么长方形ABCD的面积是多少?
第7讲几何综合一
1.图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。
已知a=2厘米,b=4厘米,c=5厘米,求图形的面积。
【分析】S=2⨯7+1⨯6+5⨯3=14+6+15=35(cm2)
2.如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度?
【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换,利用六边形内角和为720,列方程得
(180-∠1)+(180-∠2)+(180-∠3)+(180-∠4)+(180-∠5)+(180-∠6)=720,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5)+∠6=360
3.如图,平行四边形ABCD的周长为75厘米。
以BC为底时高是14厘米,以CD为底时
高是16厘米。
求平行四边形ABCD的面积。
【分析】BC+CD=75÷
2=37.5,根据面积相等,底的比与高的比成反比例,所以
BC:
CD=16:
14=8:
7,因此BC=37.5÷
(8+7)⨯8=20,平行四边形ABCD的面积是
20⨯14=280平方厘米
4.如图所示,一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是3平方
10
米、2平方米、1平方米和1平方米。
已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是
5510
多少平方米?
【分析】CH
1
=5=2,因此CH=2
3
HD=1,AE=10=3,所以AE=3,EB=4,因此
HD11
33EB
2477
5
FG=2-3=5,那么它的面积是⎛=5⎫=25
⎝⎭
平方米
21
3721
ç
⎪441
5.如图,红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个正方体盒内,它们之间相互重叠。
已知露在外面的部分中,红色的面积是20,黄色的面积是14,绿色的面积是10。
那么,正方体盒子的底面积是多少?
黄
红
绿
【分析】将黄色纸片推到左边,则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变,则在右图中这两块面积相等,均为24÷
2=12.根据公式可知,空白处面积=黄⨯绿÷
红=12⨯12÷
20=7.2,则正方形盒底面积是
7.2+12+12+20=51.2.
6.如图,在三角形ABC中,IF和BC平行,GD和AB平行,HE和AC平行。
已知AG:
GF:
FC=4:
2,那么AH:
HI:
IB和BD:
DE:
EC分别是多少?
A
H
G
IOF
BDEC
【分析】连接AO,BO.CO,设S
△AOG
=4a,则S
2
△GOF
=3a,S
△COF
=2a,那么S
△AOH
=4a,
S△COE=2a,根据相似
S△GOF
S△AIF
⎛=3⎫
⎪
⎝7⎭
==9
49
所以
SGOIA
=,则S△HOI=
40
16a,又
⎛3=⎫
=9,所以S
△DOE
=4a,S△AIF
⎛7=⎫
=49,因此S
9
BDOI
=16a,那么
S△GDC
⎝5⎭25
3S△ABC
⎝9⎭813
S△BOI
=S△BOD
=8a
,因此
AH:
HI:
IB=4a:
16a:
8a=3:
4:
2BD:
DE:
EC=8a:
4a:
2a=4:
2:
3
3333
7.如图,已知三角形ABC的面积为1平方厘米,D、E分别是AB、AC边的中点,求三角形OBC的面积。
【分析】因为DE是△ABC的中线,所以S=3,设S
=a,根据梯形蝴蝶定理有
四边形BCED4
△ODE
a+2a+4a+2a=9a=3,所以a=
1所以S=4⨯1=1
412
△OBC
123
8.在图中的正方形中,A、B、C分别是ED、EG、GF的中点。
请问:
三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍?
【分析】设正方形的面积为1,则S=1,S
△ABO
=S△AOD=
所以S=1-1=
3,因
416
此三角形CDO的面积是三角形ABO面积的3倍
41616
9.如图,ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E、F分别为边AB、BC的中点,则阴影部分的面积为多少平方厘米?
AGD
OE
M
BFC
【分析】设G、H分别为AD、DC的中点,连接GH、EF、BD.
可得S
AED
=4S平行四边形ABCD,
对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段,又OM∥EF,所以
23
DO:
ED=
BD:
44
BD=2:
3,OE:
ED=(ED-OD):
ED=(3-2):
3=1:
3,
所以SAEO
=1⨯1S
34
平行四边形ABCD
=1⨯1⨯72=6
(平方厘米),
SADO=2⨯SAEO=12(平方厘米).
同理可得SCFM
=6平方厘米,SCDM=12平方厘米.
所以SABC-SAEO-SCFM
=36-6-6=24(平方厘米),
于是,阴影部分的面积为24+12+12=48(平方厘米).
10.如图,在三角形ABC中,CE=2AE,F是AD的中点,三角形ABC的面积是1,那么阴影部分的面积是多少?
33EF3
12
B
DC
【分析】连接CF,
根据燕尾定理,S△ABF=BD=1,S△ABF=AE=1,
S△ACF
DC2
S△CBFEC
设S△BDF=1份,则S△DCF=2份,S△ABF
=3份,S△AEF=S△EFC=3份,如图所标
所以SDCEF
55
=S△ABC=
1212
◇◇拓展篇◇◇
1.如图,A、B是两个大小完全一样的长方形,已知这两个长方形的长比宽长8厘米,图中的字母表示相应部分的长度。
问:
A、B中阴影部分的周长哪个长?
【分析】C
=2(a+a-b)+2(b+2b)=4a+4b,C
=2(a+2b+a+b)=4a+6b,因此B的周长
大,长了2b,因为两个长方形的长比宽长8厘米,即(a+2b)-(a+b)=8,即b=8,所以长了2b=16厘米
2.如图,ABCDE是正五边形,CDF是正三角形,∠BFE等于多少度?
【分析】∠BCF=108-60=48=∠EDF
因为
BC=CF,DF=DE
所以
∠BFC=∠EFD=(180-48)÷
2=66,因此∠BFE=360-66⨯2-60=168
3.一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,如图所示。
图中的阴影部分(即折叠的部分)的面积是多少平方厘米?
D
x
C
【分析】设CD=x,有13x=(12-x)⨯5,解得x=10,所以S=1⨯10⨯5=25平方厘米
3阴影
233
4.图中大长方形被分成四个小长方形,面积分别为12、24、36、48。
图中阴影部分的面积是多少?
【分析】如图,阴影部分的面积等于1⨯EF⨯CD,所以,设大长方形的长为AB=a厘米,
宽为CD=b厘米,则有:
EF的长度为:
48a-12
a=5a所以,阴影部
48+3612+2421
分的面积为1⨯5a⨯b=1⨯5⨯120=100(平方厘米)
2212217
5.三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面,如图,盒中空白部分的面积已经标出,求图中大长方形的面积。
【分析】将中间的正方形卡片往左移动,可得到新的下右图的长方形盒子
在移动的过程中,最下方空白部分的面积没有变动,仍为3;
而且空白部分面积和相等。
移动后,左边和中间的正方形纸片共同拥有一个小正方形,则其各部分面积如下图:
6
令面积为3的正方形的边长为a,则有a2=3,而面积为6的长方形中的长为2a,即大的正
方方形纸片的边长为2a。
所以整个外面的长方形的长为5a,宽为3a。
所以其面积为
15a2=45.
6.如图,三角形ABC的面积为1。
D、E分别为AB、AC的中点。
F、G分别为BC边上的三等分点。
三角形DEF的面积是多少?
三角形DOE的面积是多少?
15a
DE
10a
BF
6aO
6a
4a
【分析】连接GE,DE=1,DE=1BC,FG=1BC,所以FG=3=2,设S
=4a,则
BC22
3DE
S△ADE1
13
△OFG
S四边形DECB=4a+6a+9a+6a+10a+10a=45a
=
S△ABC4
S△ADE=15a,因此
S=60a=1,即a=1,所以S
△ABC60
△DEF
=15a=1⨯15=1
604
=9a=1⨯9=3
6020
7.如图,梯形ABCD的上底AD长10厘米,下底BC长15厘米。
如果EF与上、下底平行,那么EF的长度是多少?
【分析】AO=10=2,OF=3,所以OF=3⨯10=6厘米,EO=2,EO=2⨯15=6厘米,因
OC153
AD55
BC55
此EF=6+6=12厘米
8.如图,正六边形的面积为6,那么阴影部分的面积是多少?
【分析】连接FC,根据梯形蝴蝶定理,面积为4⨯6=8
93
AF
BE
CD
9.两盏4米高的路灯相距10米,有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间,那么
他的两个影子总长度是多少米?
【分析】设每人的影子长为x米,根据相似有1.5=
4
x+5
,解得x=3,所以他的两个影子总
长度是2x=2⨯3=6米
10.如图,O是长方形ABCD一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影直角三角形的面积是多少?
ADE
O
FC
【分析】连接CO,根据题意有
S△COE=4-3=1
DE=3OE,即
EF=BE=5,
S阴影
⎛5=⎫
=25,即S=25⨯8=25
CDBD
8S△BCD
⎝8⎭64
648
11.如图,在三角形ABC中,AE=ED,D点是BC的四等分点,阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几?
3EF
31
BDC
【分析】设S=1,则S=S
=3,根据燕尾模型有S=1,AF=S△ABE
=3,所以
△CDE
△BDE
△ABE
△AEC
CFS△BCE4
3S阴影
3+73
S△AEF=,因此
△ABC
==
3+3+1+17
12.如图,在三角形ABC中,三角形AEO的面积是1,三角形ABO的面积是2,三角形BOD
的面积是3,则四边形DCEO的面积是多少?
1E
2O
3x
【分析】连接OC,设S
=x,S△COD=DO=3,所以S
=2x,则S
=2x-1
△COD
S△AOCAO2
2x-1
△AOC3
△COE3
有S△BCO=S△COE,3+x=3,所以x=15,因此S
四边形DCEO
=5x-1=24
S△ABO
S△AOE213
◇◇超越篇◇◇
1.如图,长方形的面积是60平方厘米,其内3条长度相等且两两夹角为120°
的线段将长
方形分成了两个梯形和一个三角形。
【分析】如图,添加辅助线,长方形被分成了12份。
梯形占5份,所以,梯形面积=60÷
12×
5=25(平方厘米)
2.如图,P是三角形ABC内一点,DE平行于AB,FG平行于BC,HI平行于CA,四边形AIPD的面积是12,四边形PGCH的面积是15,四边形BEPF的面积是20。
三角形ABC的面积是多少?
【解析】本题主要应用:
夹在平行线间的平行四边形面积之比等于底边长度之比(等高)。
由于SAIPD:
SPHCG=IP:
PH
所以,IP:
PH=12:
15=4:
同理可推,PD:
PE=3:
5,FP:
PE=4:
连接ID,即可利用共角定理求SPEH=12.5
同理,可求其余部分。
答案:
三角形ABC的面积是72平方厘米。
3.如图所示,正方形ABCD的面积为1。
E、F分别是BC和DF的重点,DE与BF交于
M点,DE与AF交于N点,那么阴影三角形MFN的面积为多少?
AD
NG
MF
BEC
【分析】
过F点做FG∥EC
则,FG=DF=1
ECDC2
又BC=2EC
∴AD=4FG,BE=2FG
∴FG
=1,FG=1
AD4BE2
FG//AD//BC
∴FN
=FG=1,FM
=FG=1
ANAD
4BMBE2
∴SFNM
=1⨯1=1
SABF
∴SFNM
5315
=1S=1⨯1=1
15ABF15230
4.如图,三角形ABC的面积为1,D、E、F分别是三条边上的三等分点,求阴影三角
形的面积。
1
7
5.如图,小悦测出家里的瓷砖的长为24厘米,宽为10厘米,而且还测出了边上的中间线段均为4厘米,那么中间菱形的面积是多少平方厘米?
AB
h1
4Nh2QP
CD
【分析】连接CD
则CD=24
∴AB:
CD=4:
24=1:
6
12
∴h:
h
=AB:
CD=1:
又h1+h2=3+4=7(cm),∴h1=1(cm)
∴MP=10-2=8(cm)
同理,NQ=16(cm)
∴S菱形
=1⨯8⨯16=6(4cm2
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