《离散数学》试题及答案.docx
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《离散数学》试题及答案
一、填空题
1设集合A,B,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B={3};ρ(A)-ρ(B)={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.设有限集合A,|A|=n,则|ρ(A×A)|=.
3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是α1={(a,1),(b,1)},α2={(a,2),(b,2)},α3={(a,1),(b,2)},α4={(a,2),(b,1)},其中双射的是α3,α4.
4.已知命题公式G=⌝(P→Q)∧R,则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)
5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为12,分枝点数为3.
6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从A⋂B={4};A⋃B={1,2,3,4};
A-B={1,2}.
7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性,对称性
传递性.
8.设命题公式G=⌝(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0)
9.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R1={(1,4),(2,3),(3,2)},R2={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1∙R2={(1,3),(2,2),(3,1)},R2∙R1={(2,4),(3,3),(4,2)}_R12={(2,2),(3,3).
10.设有限集A,B,|A|=m,|B|=n,则||ρ(A⨯B)|=.
11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={x|0≤x<2,x∈R},则A-B=-1<=x<0,B-A={x|1 A∩B={x|0≤x≤1,x∈R},. 13.设集合A={2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,则R以集合形式(列举法)记为 {(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}. 14.设一阶逻辑公式G=∀xP(x)→∃xQ(x),则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)). 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加21条边才能把G变成完全图。 (完全图的边数,树的边数为n-1) 16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式∀xR(x)→∃xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是_(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))_. 17.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R={(1,1),(1,2),(2,3)},S={(1,3),(2,3),(3,2)}。 则R⋅S={(1,3),(2,2)}, R2={(1,1),(1,2),(1,3)}. 二、选择题 1设集合A={2,{a},3,4},B={{a},3,4,1},E为全集,则下列命题正确的是(C)。 (A){2}∈A(B){a}⊆A(C)∅⊆{{a}}⊆B⊆E(D){{a},1,3,4}⊂B. 2设集合A={1,2,3},A上的关系R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},则R不具备(D). (A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)反对称性 3设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示,若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的(B)。 (A)下界(B)上界(C)最小上界(D)以上答案都不对 4下列语句中,(B)是命题。 (A)请把门关上(B)地球外的星球上也有人 (C)x+5>6(D)下午有会吗? 5设I是如下一个解释: D={a,b}, 则在解释I下取真值为1的公式是(D). (A)∃x∀yP(x,y)(B)∀x∀yP(x,y)(C)∀xP(x,x)(D)∀x∃yP(x,y). 6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是(C). (A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6). 7.设G、H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G=∃xP(x),H=∀xP(x),则一阶逻辑公式G→H是(C). (A)恒真的(B)恒假的(C)可满足的(D)前束范式. 8设命题公式G=⌝(P→Q),H=P→(Q→⌝P),则G与H的关系是(A)。 (A)G⇒H(B)H⇒G(C)G=H(D)以上都不是. 9设A,B为集合,当(D)时A-B=B. (A)A=B(B)A⊆B(C)B⊆A(D)A=B=∅. 10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R具有(B)。 (A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)以上答案都不对 11下列关于集合的表示中正确的为(B)。 (A){a}∈{a,b,c}(B){a}⊆{a,b,c}(C)∅∈{a,b,c}(D){a,b}∈{a,b,c} 12命题∀xG(x)取真值1的充分必要条件是(A). (A)对任意x,G(x)都取真值1.(B)有一个x0,使G(x0)取真值1. (C)有某些x,使G(x0)取真值1.(D)以上答案都不对. 13.设G是连通平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数是(A). (A)9条(B)5条(C)6条(D)11条. 14.设G是5个顶点的完全图,则从G中删去(A)条边可以得到树. (A)6(B)5(C)10(D)4. 15.设图G的相邻矩阵为,则G的顶点数与边数分别为(D). (A)4,5(B)5,6(C)4,10(D)5,8. 三、计算证明题 1.设集合A={1,2,3,4,6,8,9,12},R为整除关系。 (1)画出半序集(A,R)的哈斯图; (2)写出A的子集B={3,6,9,12}的上界,下界,最小上界,最大下界; (3)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元。 解: (1) (2)B无上界,也无最小上界。 下界1,3;最大下界是3 (3)A无最大元,最小元是1,极大元8,12,9;极小元是1 2.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(x,y)|x,y∈A且x≥y},求 (1)画出R的关系图; (2)写出R的关系矩阵. 解: (1) (2) 3.设R是实数集合,σ,τ,ϕ是R上的三个映射,σ(x)=x+3,τ(x)=2x,ϕ(x)=x/4,试求复合映射σ•τ,σ•σ,σ•ϕ,ϕ•τ,σ•ϕ•τ. 解: (1)σ•τ=σ(τ(x))=τ(x)+3=2x+3=2x+3. (2)σ•σ=σ(σ(x))=σ(x)+3=(x+3)+3=x+6, (3)σ•ϕ=σ(ϕ(x))=ϕ(x)+3=x/4+3, (4)ϕ•τ=ϕ(τ(x))=τ(x)/4=2x/4=x/2, (5)σ•ϕ•τ=σ•(ϕ•τ)=ϕ•τ+3=2x/4+3=x/2+3. ▲4.设I是如下一个解释: D={2,3}, a b f (2) f(3) P(2,2) P(2,3) P(3,2) P(3,3) 3 2 3 2 0 0 1 1 试求 (1)P(a,f(a))∧P(b,f(b)); (2)∀x∃yP(y,x). 解: (1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))=P(3,f(3))∧P(2,f (2)) =P(3,2)∧P(2,3) =1∧0 =0. (2)∀x∃yP(y,x)=∀x(P(2,x)∨P(3,x)) =(P(2,2)∨P(3,2))∧(P(2,3)∨P(3,3)) =(0∨1)∧(0∨1) =1∧1 =1. 5.设集合A={1,2,4,6,8,12},R为A上整除关系。 (1)画出半序集(A,R)的哈斯图; (2)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元; (3)写出A的子集B={4,6,8,12}的上界,下界,最小上界,最大下界. 解: (1) (2)无最大元,最小元1,极大元8,12;极小元是1. (3)B无上界,无最小上界。 下界1,2;最大下界2. 6.设命题公式G=⌝(P→Q)∨(Q∧(⌝P→R)),求G的主析取范式。 解: G=⌝(P→Q)∨(Q∧(⌝P→R)) =⌝(⌝P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧⌝Q)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧⌝Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R) =(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R) =(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R) =m3∨m4∨m5∨m6∨m7=∑(3,4,5,6,7). 7.(9分)设一阶逻辑公式: G=(∀xP(x)∨∃yQ(y))→∀xR(x),把G化成前束范式. 解: G=(∀xP(x)∨∃yQ(y))→∀xR(x) =⌝(∀xP(x)∨∃yQ(y))∨∀xR(x) =(⌝∀xP(x)∧⌝∃yQ(y))∨∀xR(x) =(∃x⌝P(x)∧∀y⌝Q(y))∨∀zR(z) =∃x∀y∀z((⌝P(x)∧⌝Q(y))∨R(z)) 9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)}, (1)求出r(R),s(R),t(R); (2)画出r(R),s(R),t(R)的关系图. 解: (1) r(R)=R∪IA={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)=R∪R-1={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}, t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}; (2)关系图: 11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价: (1)G=(P∧Q)∨(⌝P∧Q∧R) (2)H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(⌝P∧R)) 解: G=(P∧Q)∨(⌝P∧Q∧R) =(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R) =m6∨m7∨m3 =∑(3,6,7) H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(⌝P∧R)) =(P∧Q)∨(Q∧R))∨(⌝P∧Q∧R) =(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝
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