完整word版数学建模最佳阵容问题附程序代码文档格式.docx
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3,10
均值
224.6
5,8,9,10
6,7
3,4
2,3
225。
1
2,3,9,10
5,8
5,8
问题二
夺冠阵容
3,5,9,10
1,8
6,8
夺冠前景
得分期望
224。
6
90%战胜对手水平
222。
7249
最后,对模型进行了优缺点分析,并对模型提出了改进的方法。
关键词贪心算法0-1规划中心极限法
一、问题分析
每个队至多允许10名运动员参赛,每个项目可以有6名选手参加,每个运动员只能四项全参加或只参加单项比赛这两类中的一类,参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项.每个队应有4人参加全能比赛,其余运动员可参加单项比赛。
问题一:
1.每个选手的各单项得分按最悲观估算,排出一个出场阵容,使该队团体总分尽可能高。
2.每个选手的各单项得分按均值估算,排出一个出场阵容,使该队团体总分尽可能高。
需要先确定4个全能运动员,考虑使用贪心算法确定,然后再使用1个0—1变量进行0-1整型规划,使用lingo求解确定剩余6个人的出场阵容。
但贪心算法只能找到局部最优解,于是考虑使用2个0-1变量也可用lingo进行求解,可以使结果更加优化。
问题二:
1.求出一个出场阵容使该队总分不少于236.2分的概率最大,以该阵容出战,其夺冠的前景如何,得分期望值又如何。
2。
按以上阵容出战,它有90%的把握战胜得分为多少的对手。
要使一个出场阵容夺冠的概率最大,也可使用问题一的0—1整型规划,但此时发现目标函数过于复杂,使用lingo无法实现.于是考虑对目标函数进行合理的化简,由于各场比赛之间可以看作是相互独立的事件服从正态分布,因此我们选择使用中心极限定理对目标函数进行简化,之后再使用lingo进行求解即可。
此时的夺冠前景、得分期望,和它有90%的把握战胜得分为多少的对手均可使用概率学知识进行求解.
二、符号说明
第j个运动员在参加第i个项目的分数。
为0,1变量,0代表第j个运动员不参加第i个项目,1代表第j个参加第i个项目。
为0,1变量,0代表第j个运动员不是全能选手,1代表第j个运动员是全能选手。
为第j个运动员参加i的平均得分。
代表每个项目,取值范围为1,2,3,4。
代表每个选手,取值范围为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
代表第j个选手参加第i个项目的方差。
三、问题假设
(1)假设所给的数据能代表选手的平常水平。
(2)假设选手在比赛时各项目得分概率遵循测试水平。
(3)假设选手没有特殊情况的发生,均能参加比赛。
(4)前一项比赛成绩不影响后一项的成绩。
(5)每个比赛之间相互独立。
四、模型与求解
1、问题一的模型及求解结果
模型一:
针对问题一可先使用贪心算法先确定4个全能选手,在得分最悲观估计和均值估计的前提下,使4项得分总和高的4个为全能选手,最后确定最悲观估计下4个全能选手为1,2,5,6;
均值估计情况下4个全能选手是5,8,9,10然后再对剩余6个人安排使用0-1整型规划,最终求解出最佳出场阵容。
目标函数:
约束条件:
(1)每个项目至多有2人参加
(i=1,2,3,4)
(2)每个人至多参加3项
(j=1,2,3,4,5,6)
求解结果:
悲观估计下的最佳阵容
1,2,5,6
3,9
此时团体总得分为212.2分。
均值估计下的最佳阵容
5,8,9,10
6,7
此时团体总得分为224。
6分
模型二:
模型一先使用贪心算法然后使用1个0—1变量进行整型规划,对最佳出场阵容进行求解,这样虽然可以快速确定4个参加全能运动员,但每个运动员四项之和差距并不大,得到的最佳出场阵容也只是局部最优解,可能不是全局最优解。
为克服这一缺点,我们考虑在模型二中使用2个0-1变量进行整型规划.
目标函数:
约束条件:
(1)每个项目至多有6人参加
(i=1,2,3,4)
(j=1。
.10)
(3)比赛需要有4个四项全能
此时的团体总得分为212。
3分.
2,3,9,10
此时的团体总得分为225.1分。
2、问题二的模型及求解结果
求夺冠概率最大的阵容
即求
的最大值
运用中心极限定理将随机变量
转化为正态分布
运用结论1得
运用结论2得
对于服从标准正态分布
的随即变量Y,
为增函数,所以可将求
的最大值转化为求k的最小,即目标函数为求k的最小值.
只需将第一问模型二在均值估计情况下目标函数改为
即可得出结果
所以夺冠的概率
如果取每位队员的最好成绩然后选出的最佳队伍最好成绩为236.6分才能够夺冠。
90%的把握战胜怎样的对手即
求
的值
标准化
查标准正态分布表得
在求目标二的第一小问时在lingo程序中只需添加一条语句就可算出
所以有90%的把握战胜平均分不大于222.7249分的对手.
求解结果:
夺冠概率最大的阵容
3,5,9,10
以该阵容出战夺冠的概率最大,夺冠的概率
,得分的期望为224.6分,以上面阵容出战有90%的把握战胜分数为222.7249分的对手。
五、模型的优缺点
优点:
模型很好的解决了阵容安排问题,使得在不同前提下,团体得分最高.可用于其它类似选择问题如场地的选择,车辆的安排等等的推广。
模型综合考虑了各个队员的得分情况,先使用贪心算法和1个0—1矩阵,可以快速确定4个全能运动员。
然后再巧妙的运用两个0-1矩阵,将各种约束用具体的式子表现出来,并建立了合理的0-1整数规划模型,在面对求解最大概率的时候,将其转换为下线最小值的求解问题,运用中心极限定理,结合标准正态分布,思路清醒,让人理解透彻.另外,本解对问题的考察较全面,求解的结果具有精准性。
缺点:
由于Lingo的限制,只能得到一个最优解和一个最佳阵容。
而事实上可能存在有最优解时,有不同的阵容。
这样不有利于模型的推广,难以应付现实生活中的突发情况,可采用Matlab进行0—1规划求解。
六、模型的改进和推广
可用于其它类似选择问题如场地的选择,车辆的安排,在NBA赛季的最佳阵容的选拔等等的推广。
可采用Matlab进行0-1规划求解,这样可以在得到最优解的情况下,得到不同的方案,这样可以满足突发情况下的变动。
附程序:
先贪心算法:
model:
sets:
xiangmu/ABCD/;
duiyuan/1..6/;
canjia(xiangmu,duiyuan):
Q,f;
endsets
data:
!
可以直接复制表格,但是在最后要有分号;
Q=
8.4
8。
9。
5
4
9
7
8
8.1
8.3
8.7
8.2
9.5
3
;
enddata
max=@sum(canjia(i,j):
Q(i,j)*f(i,j));
!
每个项目最多2个人参加;
@for(xiangmu(i):
@sum(canjia(i,j):
f(i,j))<
2);
每人至多参加3项;
@for(duiyuan(j):
@sum(canjia(i,j):
f(i,j))〈3);
@for(canjia(i,j):
@bin(f(i,j)));
end
2个0-1变量:
model:
xiangmu/ABCD/;
duiyuan/1.。
10/:
b;
canjia(xiangmu,duiyuan):
Q,f;
data:
可以直接复制表格,但是在最后要有分号;
9.3
9.4
9.1
8.5
8.9
max=@sum(canjia(i,j):
Q(i,j)*f(i,j));
每个项目最多6个人参加;
@for(xiangmu(i):
@sum(canjia(i,j):
f(i,j))<
6);
每人至多参加3项;
@for(duiyuan(j):
(1—b(j))*f(i,j))〈3);
@for(canjia(i,j):
f(i,j)〉b(j));
@sum(duiyuan(j):
b(j))=4;
@for(canjia(i,j):
@bin(f(i,j)));
@for(duiyuan(j):
@bin(b(j)));
第二问:
sets:
xiangmu/1.。
4/:
xuanshou/1..10/:
Z;
links(xiangmu,xuanshou):
f,Q,D;
endsets
data:
Q=
25
9.7
9.8
9.25
9.2
D=
0.1425
0。
018
0.144
0.128
038
08
0.088
0.038
144
084
0.152
1425
072
0.032
088
0.018
158
;
enddata
!
max=(236。
2—@sum(links(i,j):
f(i,j)*Q(i,j)))/(@sum(links(i,j):
(f(i,j)*D(i,j)))^0.5);
!
Qmax=@sum(links(i,j):
S(i,j)*f(i,j))-1.28*(@sum(links(i,j):
(D(i,j)*f(i,j)))^0.5);
Qmax=@sum(links(i,j):
f(i,j)*Q(i,j))—1.28*((@sum(links(i,j):
D(i,j)*f(i,j)))^(0.5));
min=(236.2-@sum(links(i,j):
f(i,j)*Q(i,j)))/(@sum(links(i,j):
D(i,j)*f(i,j)))^(0。
5);
E=@sum(links(i,j):
f(i,j)*Q(i,j));
@for(links(i,j):
f(i,j)〉=Z(j));
@sum(xuanshou(j):
Z(j))=4;
@for(xiangmu(i):
@sum(links(i,j):
f(i,j))〈=6
);
@for(xuanshou(j):
@sum(links(i,j):
(1-Z(j))*f(i,j))<
=3
@for(links(i,j):
@bin(f(i,j)));
@bin(Z(j)));
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