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ab⋅
,
⎛⎤
ç
0,⎥
但务必注意两异面直线所成角θ的范围是⎝⎦,
rr
cos=cos<
a,b>
故实质上应有:
.
(2)求线面角
求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;
另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=|cosφ|.
(3)求二面角
用向量法求二面角也有两种方法:
一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;
另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.
7、运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离.
(1)点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模.
(2)点与面的距离
点面距离的求解步骤是:
①求出该平面的一个法向量;
②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距
离.
备考建议:
1、空间向量的引入,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,应体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想像能力和几何直观能力.
2、灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题.
3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时,直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用,它的特点是用代数方法解决立体几何问题,无需进行繁、难的几何作图和推理论证,起着从抽象到具体、化难为易的作用.因此,应熟练掌握平面法向量的求法和用法.
4、加强运算能力的培养,提高运算的速度和准确性.
第一讲空间向量及运算
一、空间向量的有关概念
1、空间向量的定义
在空间中,既有大小又有方向的量叫做空间向量.注意空间向量和数量的区别.数量是只有大小而没有方向的量.
2、空间向量的表示方法
空间向量与平面向量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表示向量的
r
大小,用有向线段的方向表示向量的方向.若向量a对应的有向线段的起点是A,终点是
B,则向量a可以记为AB,其模长为a或AB.
3、零向量
长度为零的向量称为零向量,记为0.零向量的方向不确定,是任意的.由于零向量
的这一特殊性,在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”.
4、单位向量
模长为1的向量叫做单位向量.单位向量是一种常用的、重要的空间向量,在以后的学习中还要经常用到.
5、相等向量
长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量.若向量a与向量b相等,记为a=b.零
向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
6、相反向量
长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量.a的相反向量记为-a
二、共面向量
1、定义
平行于同一平面的向量叫做共面向量.
2、共面向量定理
若两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,
rr
使得p=xa+yb。
3、空间平面的表达式
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y使
MP=xMA+yMB或对空间任一定点O,有
或OP=xOA+yOB+zOM(其中x+y+z=1)这几
个式子是M,A,B,P四点共面的充要条件.
三、空间向量基本定理
1、定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组
rr
x、y、z,使p=xa+yb+zc
2、注意以下问题
(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个
向量不共面,就隐含着它们都不是0。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
rrr
由空间向量的基本定理知,若三个向量a、b、c不共面。
那么所有空间向量所组成
的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看做是由向量a、b、c生成的,
rrrrrr
所以我们把{a,b,c}称为空间的一个基底。
a、b、c叫做基向量,空间任意三个不共面的
向量都可构成空间的一个基底.
3、向量的坐标表示
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交
{}
i,j,k
基底,常用表示.
(2)空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}以点O为原点,分别以i、j、k的
方向为正方向建立三条数轴:
x轴、y轴、z轴,它们都叫坐标轴.则建立了一个空间直角坐
标系O-xyz,点O叫原点,向量i、j、k都叫坐标向量.
(3)空间向量的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i、j、k为坐标向量,存在唯一有序数组
rrrr
(x,y,z)使a=xi+yj+zk,有序数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz
中的坐标,记为a=
(x,y,z)。
对坐标系中任一点A,对应一个向量OA,则OA=a=xi+yj+zk。
在单位正交基
底i、j、k中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在此空间直角坐标系
中的坐标,记为A(x,y,z).
四、空间向量的运算
1、空间向量的加法
三角形法则(注意首尾相连)、平行四边形法则,
加法的运算律:
交换律a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
2、空间向量的减法及几何作法
rrr
几何作法:
在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即从b的终点
指向a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.
3、空间向量的数乘运算
(1)定义
实数与a的积是一个向量,记为a,它的模与方向规定如下:
a=⋅a
①
②当>
0时,a与a同向;
当<
0时,a与a异向;
当=0时.a=0
注意:
①关于实数与空间向量的积
a的理解:
我们可以把a的模扩大(当
>
1时),也
可以缩小(
<
1时),同时,我们可以不改变向量a的方向(当>
0时),也可以改
变向量a的方向(当<
0时)。
.
②注意实数与向量的积的特殊情况,当=0时,a=0;
当≠0,若a=0时,
有a=0。
③注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.比如+,a
-a
无法运算。
(2)实数与空间向量的积满足的运算律
设λ、μ是实数,则有
(a)=()a
()
+a=a+a
a+b=a+b
(结合律)
(第一分配律)
(第二分配律)
实数与向量的积也叫数乘向量.
4、共线向量
(1)共线向量定义
若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量,
也叫做平行向量。
若a与b是共线向量,则记为a//b。
零向量和空间任一向量是共线向量.
(2)共线向量定理
rrrrrrrr
对空间任意两个向量a、b(b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ使a=λb
(3)空间直线的向量表示式
如果直线l是经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点
P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta,其中向量a叫做直线l
的方向向量.
①若在l上取AB=a,则有OP=OA+tAB,∴OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+
tOB
②上式可解决三点P、A、B共线问题的表示或判定.
1
OP=
OA+
OB
③当2时,
式.
22,点P为AB的中点,这是中点公式的向量表达
分
所成比为
,则
OP=11
④若PAB+1+
5、空间直角坐标系
在空间直角坐标系中,三条坐标轴两两互相垂直,轴的方向通常这样选择:
从z轴的正方向看,x轴正半轴沿逆时针方向转900能与y轴的正半轴重合。
让右手拇指指向x轴正方向.食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,那么称这个坐标系为右手直角坐标系。
一般情况下,建立的坐标系都是右手直角坐标系.
在平面上画空间直角坐标系O-xyz时,一般使∠xOy=135°
,∠yOz=90°
。
空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,是空间向量模长公式的推广,
如果知道儿何体上任意两点的坐标.我们就可直接套用.
P(x,y,z),P(x,y,z)
P1P2=
设1111222
2,则
特别地,P1(x,y,z)到原点的距离|OP|=
6、空间向量的数量积运算
→→→→→→
a⋅b=|a|⋅|b|⋅cos<
a,b>
→→→→
其中<
为a与b的夹角,范围是[0,π],注意数量积的性质和运算律。
1.性质
若a、b是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则
→→→→→
(1)e⋅a=a⋅e=|a|cos
→→→→
(2)a⊥b⇔a⋅b=0
→→
(3)若a与b同向,则a⋅b=|a|⋅|b|;
若a与b反向,则a⋅b=-|a|⋅|b|;
特别地:
a⋅a=|a|2或|a|=
→a⋅→b
(4)若θ为
a、b的夹角,则cos=→→
|a|⋅|b|
(5)|→a⋅→b|≤|→a|→|b|
2.运算律
(1)结合律(a)⋅b=(a⋅b)
(2)交换律a⋅b=b⋅a
(3)分配律→a⋅(→b+→c)=→a⋅b→+a→⋅→c
不满足消去律和结合律即:
→→→→→→→→→→→→
a⋅b=b⋅c⇒/
【典型例题】
a=c(a⋅b)c不一定等于a(b⋅c)
例1.已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点,连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。
求证:
E、F、G、H四点共面。
证明:
分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心
∴M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连结MNQR所得四边形为平行四边形,且有
→2→→2→→2→→2→
PE=PM,PF=
3
PN,PG=
PQ,PH=PR
33
∵MNQR为平行四边形,则
→→→2→2→2→
EG=PG-PE=PQ-
PM=MQ
2→→2→→2→→
=(MN+MR)=
(PN-PM)+
(PR-PM)
2→
PF-
→
PE)+
23→
(PH-
PE)
322322
=EF+EH
∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面。
例2.如图所示,在平行六面体ABCD-A'
B'
C'
D'
中,
→→→→→→
AB=a,AD=b,AA=c,P是CA'
的中点,M是CD'
的中点,N是C'
D'
的中点,点
→→→
Q是CA'
上的点,且CQ:
QA'
=4:
1,用基底{a,b,c}表示以下向量:
(1)AP;
(2)AM;
(3)AN;
(4)AQ。
解:
连结AC、AD'
→1→→1→→→1→→→
(1)
AP=(AC+AA'
)=
2
(AB+AD+AA'
(a+b+c)
2;
→1→→1→→→1→→1→
(2)
(3)
AM=(AC+AD)=
→1→→
AN=(AC+AD'
)
(AB+2AD+AA'
)=a+b+c
222;
1
→→→→→
=[(AB+AD+AA'
)+(AD+AA'
)]2
=(AB+2AD+2AA'
=a+b+c2
→→→→4→→
AQ=AC+CQ=AC+(AA'
-AC)
(4)(
4
=AB+5
AD+
5
AA'
=114
a+b+c555
点评:
本例是空间向量基本定理的推论的应用.此推论意在用分解定理确定点的位置,它对于以后用向量方法解几何问题很有用,选定空间不共面的三个向量作基向量.并用它们表示出指定的向量,是用向量解决几何问题的一项基本功.
例3.已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC。
M、N分别是OA、BC的中点,G是MN的中点。
OG⊥BC。
连结ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ
→→→→→→→→→
==
又设OA=a,OB=b,OC=c,则|a||b||c|。
OG=
又
(OM+ON)
11→1→→
=[OA+22
(OB+OC)]
=1
BC=c-b
→→1→→→→→
OG⋅BC=
∴
(a+b+
c)⋅(c-b)
1→→→→→→→→→→
=(a⋅c-a⋅b+4
b⋅c-b2+c2-b⋅c)
=12
(|a|
cos-|a|2
+|a|2)=0
∴OG⊥BC
例4.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。
(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形面积;
(2)若|a|=
,且a分别与AB、AC垂直,求向量a的坐标。
(1)由题中条件可知
AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2)
∴cos<
AB,AC>
=AB⋅AC=-2+3+6=1
sin<
AB,AC
→→⨯2
|AB|⋅|AC|
=3
∴2
∴以AB、AC为邻边的平行四边形面积:
S=
|AB|⋅|AC|⋅sin<
=14⨯=7
(2)设a=(x,y,z)由题意得
⎧x2+y2+z2=3
⎪-2x-y+3z=0
⎪x-3y+2z=0
⎧x=1
y=1或
⎨
⎪
解得⎩
⎧x=-1y=-1
⎪z=-1
∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1)
第二讲直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.
2、直线方向向量的应用
利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面.
(1)若有直线l,点A是直线l上一点,向量a是l的方向向量,在直线l上取
AB=a,则对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得AP=tAB,这样,点A和
向量a不仅可以确定l的位置,还可具体表示出l上的任意点.
(2)空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定,若设这两条直线交于点O,它
们的方向向量分别是a和b,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有
序实数对(x,y),使得OP=xa+yb,这样,点O与方向向量a、b不仅可以确定平面
α的位置,还可以具体表示出α上的任意点.
二、平面的法向量
1、所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量也
有无数个,它们是共线向量.
2、在空间中,给定一个点A和一个向量a,那么以向量a为法向量且经过点A的平面
是唯一确定的.
三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
r
1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2,则有l1//
rr
l2⇔u1//u2,l1⊥l2⇔u1⊥u2.
2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2,则有α//β⇔v1//v2,α⊥β⇔v1⊥
v2.
若直线l的方向向量是u,平面的法向量是v,则有l//α⇔u⊥v,l⊥α⇔u//v
四、平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
1、设出平面的法向量为n=(x,y,z).
2、找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)
⎪⎧n⋅a=0
⎨rr
3、根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组⎩n⋅b=0
4、解方程组,取其中一个解,即得法向量
五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系
(一)用向量方法证明空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指:
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