西南财经大学数学建模竞赛赛题生产与库存问题.docx
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2014年西南财经大学数学建模竞赛赛题
——生产与库存管理问题
生产与库存管理问题
【摘要】现代造船模式是以统筹优化模型为指导,应用成组技术原理,以中间产品为导向组织生产,在空间上分道,时间上有序,实现设计、生产、管理一体化,均衡、连续的总装化造船。
本文借助MATLAB、LINGO等数学软件,对现有的条件进行约束,通过建立不同的规划模型,得到了企业的最小规模、最大生产能力、生产资源的浪费、企业的年最大收益及年预期销售量等值,也对企业的人员配置、设备配置、库存管理策略给予了分析,给出了最优的策略。
针对问题一的
(1)中,我们通过求生产每个零件所需要的时间的最小公倍数,根据附录2,考虑均衡连续生产的条件。
算出企业的最小生产周期为144小时,再根据附录3中,给出的该企业现有生产资源状况,运用LINGO软件,对工人数,工程师数,设备数进行约束,再结合均衡连续生产的条件,求出其最小生产规模为:
工人2409人,工程师366人,设备数447台。
而在
(2)中,结合第一题算出来的最小生产周期,再结合均衡连续生产的条件,根据附录3中,给出的该企业现有生产资源状况,对工人数,工程师数,设备数进行约束,运用LINGO软件规划得出企业最大生产能力为一个周期内生产72台A0。
同时根据附录2中,各个产品生产一件所需的资源,计算得出,生产资源中,浪费工人数为2476人,工程师138人,设备224台。
在(3)中,结合附录2,我们考虑了均衡的条件之后,计算得出生产各个产品所用的工人与设备的时间的比值。
同时,表示出所有设备的总时间和生产各个产品的设备工作的时间,通过两者的相等关系。
再通过LINGO数学软件进行整数规划求解,最后得出在不要求连续生产的前提下,在一周的时间内,最大生产能力为91台,同时浪费资源:
工人1673人,工程师16人,设备75台。
针对问题二,我们根据周销售量与初始库存和需求量之间的关系及初始库存与销售量之间的动态转移方程。
在考虑了均衡连续生产的条件,企业对原材料的进货与库存管理方式之后,我们运用MATLAB进行编程求解,求得其年预期销售量为销售1674台,并求得其每周的销售量,见表1.
针对问题三,在问题二的条件下,新增加的条件为,企业效益预期应达到最大时。
在考虑了均衡连续生产的条件之后,我们确定了其周最大生产量只能为18、36、54中的某一个值。
因此,我们运用第二题的程序将这三个值对应的总销售量算出。
再根据附录5中,工人加班的限制,利用LINGO程序进行规划,并得到最优的工人数、工程师数以及其分别的加班时间,再根据所得,以及附录5的条件,计算出不同周最大产量情况下的企业的效益,经比较得,当周最大产量为36时,企业效益预期最大,此时的年预期销售量为1602。
针对问题四,我们根据附录6,生成了具有相同分布的一组随机数(见表3),作为企业预测的下一年的需求量,同时再结合附录5和7中给出的不同费用的条件,运用MATLAB软件,编写多重循环的定步长求解的程序。
最终得到其每周的生产量和销售量(见表4、表5),并求得优化后的企业原材料进货与库存管理方式:
1,周日一次性进货,2,若库存达到能满足36艘轮船生产的原料数量是,不进货,否则进货,原材料的进货量为:
使库存量正好达到满足91艘轮船生产的原料数量。
此时的销售量为1476台。
【关键字】MATLAB软件LINGO软件生产与库存管理整数规划成组技术
一、问题重述
某造船企业生产某型轮船。
中间产品、最终产品的生产结构见附录1。
其中,A0为最终产品:
轮船,A1…A7为中间产品,表中数据表示表示生产一个单位产品Ai(行)需要消耗的产品Aj(列)的数量,例如:
生产一个单位产品A0需要消耗的产品A1的数量为4。
注:
中间产品不对外销售。
1、在现有资源下,企业工作人员每天工作不超过八小时,设备可不停歇的方式进行生产。
(1)若企业要求均衡连续生产,该产品的最小生产规模是多少?
最小生产周期为多少?
(2)若企业要求均衡连续生产,该企业的最大生产能力为多少?
生产资源的浪费为多少?
(3)若企业只要求均衡生产,不要求连续生产,生产周期为一周,请你求出该企业的最大生产能力为多少?
生产资源的浪费为多少?
其中:
最大生产能力是指生产周期内生产的最终产品的最大数量。
均衡生产是指一个周期内生产的产品之间生产与消耗正好匹配。
连续生产是指设备不停歇地生产一种固定产品。
中间产品有足够的备件,所以不用考虑产品生产的先后次序关系。
2、通过调研,得到该企业产品未来一年的市场需求见附录4。
若企业每周生产6天,各周生产的产品数量采用见订单生产的方式,即周内产量不得超过需求量。
产量达不到需求量的部分将丢失销售机会,即不能推到下一周生产。
一周内采取均衡连续生产的方式,周日为设备检修与原材料进货时间,不进行生产。
各周之间生产规模可以不相同。
若企业对原材料的进货与库存管理方式为:
①周日一次性进货,②若库存达到能满足40艘轮船生产的原料数量时,不进货,否则进货,原材料的进货量为:
使库存量正好达到满足80艘轮船生产的原料数量。
请你在此库存策略下,求出未来一年企业的年预期销售量。
3、在上一问(问题2)条件下,由于该企业的生产资源存在浪费现象,企业决定调整人员和设备的数量。
请你确定企业保留的人员和设备的数量,使企业效益预期达到最大,并给出企业此时的年预期销售量。
4、若该企业每周市场需求是完全随机的,未来一年销售量未知,现收集到过去一年该企业产品的部分市场需求见附录6。
该企业在上一问(问题3)保留的人员和设备的数量的基础上,决定重新确定对原材料的进货与库存管理方式。
企业仍采用一周内均衡连续生产的方式,周日为设备检修与原材料进货时间,不进行生产。
但每个生产周期内产量可以超过销售量,超过部分在下一期销售,但超过部分的数量最多为5。
每周可销售产品数量达不到需求量的部分将丢失销售机会。
请你优化企业原材料进货与库存管理方式,使企业效益预期达到最大,并给出企业此时的年预期销售量。
二、问题分析及建模思路
问题一
1.
(1)此问要求求出在企业均衡连续生产时,产品的最小生产规模。
因为生产每种产品所需要的资源是固定的,因此在企业均衡连续生产的情况下,所用资源比例是固定的。
所用设备总量最小时,工人总数和工程师总数也达到了最小,此时生产规模达到最小。
对生产规模的约束有企业的均衡连续生产和每种生产资源的总量限制。
我们以所用设备总量最小为目标函数,建立整数规划模型,用lingo求解,解出所用设备总量的最小值,进而得到工人总数和工程师总数的最小值,即得到了最小生产规模。
(2)此问在与前一小问相同的前提条件下,求最小生产周期。
我们依然可用整数规划求解。
目标函数变为求周期的最小值。
由题目中附录二可得,生产每种产品所需时间的最小公倍数为144,因为产品数量必须为正整数,所以生产周期必须为144的正整数倍。
其他约束与
(1)问基本相同。
2.此问要求先求出在均衡连续生产情况下的最大生产能力即一个周期内所生产A0的最大产量。
我们先由第一问的结果经过分析后得到应取的生产周期为144个小时,然后以一个周期内的A0的产量的最大值为目标函数,用数学规划求解。
得出最大产量与所用生产资源的状况,最后由题目中附录三现有生产资源的状况,算出此时生产资源的浪费。
3.此问中,企业只要求均衡生产,不要求连续生产,即每个周期内每种产品的生产与消耗相同,每台设备一个周期内一直连续生产,但是一台设备可以生产多种产品,即比如生产A0的设备可以中途转去生产其他的产品。
建立整数规划模型,以一周生产的A0的最大数量为目标函数,找出设备数、工人数、工程师数与产品生产量的关系,由现有生产资源的限制找出约束条件,求出最优解。
然后利用
(1)的结果,求得利用的生产资源的量,解得生产资源的浪费
问题二
此问求当满足题目中所要求库存策略的条件下,未来一年企业的年预期销售量。
由未来一年确定的每周需求量及企业的库存策略,我们可以得到每周销售量与初始库存和需求量之间的关系及初始库存与销售量之间的动态转移方程,未来一年的年预期销售量为每周销售量之和。
可编写程序,运用MATLAB求解。
问题三
此问求在问题二的条件下,当企业效益预期最大时,应保留的人员和设备的数量,并求出此时的年预期销售量。
在问题二条件下,我们可以得出每周的生产量等于销售量,且只能为18,36,54或72.当最大生产量保留为72时,每周都会有资源的浪费,肯定不是最佳安排。
所以,保留的最大生产量只能为18,36或者54.对其中一个进行分析,则用同样方法可以得到另外两个的情况。
我们选36进行分析。
先利用问题中附录4的数据,进行MATLAB编程求解出每周的销售量及年销售额。
进而可以求出保留的设备总量和总的设备费用。
工人的费用和工程师的费用互不影响,当他们的费用都达到最小时,总的效益最大。
可以对他们分别建立数学规划模型,用lingo求解出他们的最小值,则可以求解出在最大生产力为36的情况下的最大效益。
同样再求出另外两种情况下的最大效益,选取三种情况中的最大值,找出相应的人员、设备数量和此时的年预期销售量即为所求。
问题四
此问是求在问题三的所保留的人员和设备的条件下,当企业的效益预期最大时,最优的原材料进货和库存管理方式及此时的年预期销售量。
首先我们对前一年的需求数据进行分析,找出数据分布规律,然后对未来一年每周的需求量进行随机模拟,生成52个随机数表示未来一年每周的需求量,则需求量已确定下来。
企业的最大生产能力已确定为36。
当满足进货条件的库存临界值和最大库存量确定后,可以求出企业的预期年效益。
因为此题是求效益最大时满足进货条件的库存临界值和最大库存量,我们可以以满足进货条件的库存临界值和最大库存量作为两个变量,做二重循环,用定步长搜索找出当年效益最大时的库存临界值和最大库存量。
三、基本假设与符号说明
3.1基本假设
1.假设所有工人、工程师都在正常情况下(不允许请假离职)工作;
2.假设设备正常工作时不会因故障停止工作;
3.假设在初始时企业的产品库存为最大容量,即可以满足第一周的最大产出量;
4.假设企业会将只保留需要用到的设备、工人、工程师;
5.假设企业的原材料进货与库存管理方式均为:
在库存量低于某一固定值时进货,进货使原材料达到某一固定值的数量;
6.假设市场需求是完全随机,可完全根据过去一年部分市场需求,随机产生;
7.假设企业可销售产品数量达不到需求量的部分将丢失销售机会;
8.假设企业销售产品获得的利润最大时,企业效益预期最大;
9.假设企业在确定了最优工人数、设备数、工程师数之后不会中途改变数量;
10.假设可留在下一期销售的成品不存在库存费用;
3.2符号说明
T:
为产品生产的周期;
xi:
为同时生产产品Ai的设备数量,其中:
i=0,1,2…7;m1:
为生产过程中需要的工人总数;
m2:
为生产过程中需要的工程师总数;
gi:
为生产每件Ai所需要的工人数,其中:
i=0,1,2…7;
si:
为生产每件Ai需要的设备数,其中:
i=0,1,2…7;
ci:
为生产每件Ai需要的工程师数,其中:
i=0,1,2…7;
ti:
为生产每件Ai需要的时间,其中:
i=0,1,2…7;
bij:
为生产Aj需要的Ai数量,其中:
i=0,1,2…7,j=0,1,2…7,ij
ai:
为一周期内生产出的产品Ai的数量,其中:
i=0,1,2…7;
fm1:
为生产过程中未利用的工人数;
fm2:
为未利用的工程师数;
fs:
为未利用的设备数;
yi:
为一个周期内生产Ai的设备总数;
S:
为未来一年的年预期销售总量;
xqi:
为第i周的产品市场需求量,其中:
i=0,1,2…7;
xsi:
为第i周的产品销售量,其中:
i=0,1,2…7;
chi:
为第i周的产品期初库存量,其中:
i=0,1,2…7;
ws:
为设备总共消耗的费用;
x
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