一元二次方程应用题(2)面积、趣味问题.doc
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一元二次方程应用题
(二)——面积、趣味问题
复习回顾:
1、有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字之和是6,如果把它的个位数字与十位数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008,求调换位置后得到的两位数。
2、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.
解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)^2=193.6,
即(1+x)^2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).
答 这两个月的平均增长率是10%.
说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.
3、关山超市销售某种电视机,每台进货价为2500元,经过市场调查发现:
当销售价为2900元时,平均每天能售出8台电视机,而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元,每台电视机的定价应为多少元?
定价为多少元时能获得最大利润,最大利润是多少?
新知学习:
四、面积变形
例1、一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图,它的长为8m,宽为5m.如果镜框中央长方形图案的面积为18m^2,则花边多宽?
设镜框的宽为xm,则镜框中央长方形图案的长为m,
练习:
在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,求金色纸边的宽为多少?
例2、如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。
【探究问题1】用长度为14米的铁丝网围成一个面积为12米2的长方形小花圃。
请结合实际情景和具体情况,设计出你的方案(按100:
1的比例画出你所设计的方案示意图)
学生自己设计可行方案,就一些典型的情形进行讨论交流。
可能出现的情况:
若长方形小花圃四周都用铁丝网围成(如图1);
若一边靠墙围(如图2);
若一边靠墙围,且开一个1米宽的进出小门(如图3);
图1
图2
图3
图4
若一边靠墙围,且开两1米宽的进出小门(如图4)等.
【探究问题2】如图5,在宽为20米,长为32米的长方形耕地上修筑同样宽的道路,使耕地面积为570米2。
请设计你的修路方案。
重点讨论以下情形:
若修一条横向和一条纵向道路(如图6);
若修一条横向和一条纵向道路(如图7);
若修一条横向和一条纵向道路(如图8);
例3.将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)
(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?
若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.
有关“动点”的面积问题”
1)关键——以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法——时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”也是求线段的长度;
3)常找的数量关系——面积,勾股定理,
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.
例4、在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后⊿PBQ的面积等于8cm²?
解:
设x秒后⊿PBQ的面积等于8cm2
根据题意,得
整理,得
解这个方程,得
所以2秒或4秒后⊿PBQ的面积等于8cm²
例5、等腰直角⊿ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16C㎡?
五、趣味问题
1、(勾股)例6.一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?
2、传播问题
例7、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人
可传染人数共传染人数
第0轮1(传染源)1
第1轮xx+1
第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)
列方程1+x+x(x+1)=121
解方程,得X1=10,X2=-12
X2=-12不符合题意,
所以原方程的解是x=10
答:
每轮传染中平均一个人传染了10个人。
类似问题还有树枝开叉等。
例8.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
3、循环、比赛问题
又可分为单循环问题,双循环问题和复杂循环问题
例9.a.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有多少个队参加比赛?
b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛?
练习:
(1)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?
(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
(3)初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
例10.象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去).
答 参加比赛的选手共有45人.
4.古诗问题
例10、读诗词解题:
(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).
大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.
则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;
当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.
答 周瑜去世的年龄为36岁.
一元二次方程应用题
(二)——面积、趣味问题
2013-7-2715008620708(李老师)姓名:
1.有一块长4米,宽3米的长方形空地,现要在空地中央建一个长方形花坛,四周是等宽的草坪,使花坛面积是草坪面积的两倍,求花坛的长和宽.(精确到0.1米)
2.有一长方形空地,长42米,宽30米,准备在中间开辟花圃,四周修建等宽的林荫小道,使小道的面积和花圃面积相等,求小道的宽。
(只列方程,不求解)
3.用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形,然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子,求X的值。
4.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:
道路宽为多少米?
5.一块矩形耕地大小尺寸如图
(1)所示,要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠,如果小渠的宽相等,而且要保证余下的耕地面积为9600,那么水渠应挖多宽?
6.如图,在宽为20m,长为30m,的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路,剩余作为耕地为551㎡。
则道路的宽为是。
7.如图,用长为18m的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81㎡,应该怎么设计?
8.学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚,为节约经费,一边利用18米长的教学楼后墙,另三边利用总长为35米的铁围栏围成,求自行车棚的长和宽
9.用一个到圆锥形高为0.6米的水缸养金鱼,用底面直径为0.4米、高0.5米的圆柱形水桶提水灌入水缸,满满地提了10桶水后,恰好将水缸灌满。
求水缸的上口直径。
10.如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
设花圃的宽AB为x米,面积为S㎡,
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45米2的花圃,AB的长是多少米?
11.足球比赛的计分规则为:
胜一场得3分,负一场得0分,平一场得1分,一个队踢了14场比赛,负5场共得19分,那么这个队胜了()
3场;4场;5场;6场。
12.假设每一位参加宴会的人见面时都与另外的人握手一次,共握了28次手那么与会人士共有…()(A)14人(B)56人(C)8人(D)28人
13.某美术小组搞活动,每人送给组内其他人1件小礼品,一共送出182件,则这个小组共有()(A)14人(B)15人(C)26人(D)28人
14.某小组每人给他人送一张照片,全组共送了90张,那么这小组共有____人。
15.学校举行乒乓球比赛,有若干个队报名,比赛采取单循环制(每两个队要比赛一场),一共比了66场,则有___________个队参加了报名.
16.乒乓球超级联赛采用主客场制循环赛(每两个队要比赛两场),共要进行156场比赛,则参加联赛的球队有__________个.
17.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是121,每个支干长出多少小分支?
18.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染
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- 一元 二次方程 应用题 面积 趣味 问题