中考数学锐角三角函数与圆综合训练题.doc
- 文档编号:1717474
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:14
- 大小:691.92KB
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题.doc
《中考数学锐角三角函数与圆综合训练题.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学锐角三角函数与圆综合训练题.doc(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2015年春季人教版中考数学锐角三角函数与圆综合训练题
例题一2013•泸州)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,∠CDA=∠CBD.
(1)求证:
CD2=CA•CB;
(2)求证:
CD是⊙O的切线;
(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=,求BE的长.
考点:
切线的判定;相似三角形的判定与性质.3338333
分析:
(1)通过相似三角形(△ADC∽△DBC)的对应边成比例来证得结论;
(2)如图,连接OD.欲证明CD是⊙O的切线,只需证明CD⊥OA即可;
(3)通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程,通过解方程来求线段BE的长度即可.
解答:
(1)证明:
∵∠CDA=∠CBD,∠C=∠C,
∴△ADC∽△DBC,
∴=,即CD2=CA•CB;
(2)证明:
如图,连接OD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵OA=OD,
∴∠2=∠3,
∴∠1+∠2=90°.
又∠CDA=∠CBD,即∠4=∠1,
∴∠4+∠2=90°,即∠CDO=90°,
∴OD⊥OA.
又∵OA是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:
如图,连接OE.
∵EB、CD均为⊙O的切线,
∴ED=EB,OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA=,
∴tan∠OEB==,
∵Rt△CDO∽Rt△CBE,
∴===,
∴CD=8,
在Rt△CBE中,设BE=x,
∴(x+8)2=x2+122,
解得x=5.
即BE的长为5.
点评:
本题考查了切线的判定与性质:
过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质.
例题二(2013•呼和浩特)如图,AD是△ABC的角平分线,以点C为圆心,CD为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,EF:
FD=4:
3.
(1)求证:
点F是AD的中点;
(2)求cos∠AED的值;
(3)如果BD=10,求半径CD的长.
考点:
相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形.3718684
分析:
(1)由AD是△ABC的角平分线,∠B=∠CAE,易证得∠ADE=∠DAE,即可得ED=EA,又由ED是直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得EF⊥AD,由三线合一的知识,即可判定点F是AD的中点;
(2)首先连接DM,设EF=4k,df=3k,然后由勾股定理求得ED的长,继而求得DM与ME的长,由余弦的定义,即可求得答案;
(3)易证得△AEC∽△BEA,然后由相似三角形的对应边成比例,可得方程:
(5k)2=k•(10+5k),解此方程即可求得答案.
解答:
(1)证明:
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2,
∵∠ADE=∠1+∠B,∠DAE=∠2+∠3,且∠B=∠3,
∴∠ADE=∠DAE,
∴ED=EA,
∵ED为⊙O直径,
∴∠DFE=90°,
∴EF⊥AD,
∴点F是AD的中点;
(2)解:
连接DM,
设EF=4k,df=3k,
则ED==5k,
∵AD•EF=AE•DM,
∴DM===k,
∴ME==k,
∴cos∠AED==;
(3)解:
∵∠B=∠3,∠AEC为公共角,
∴△AEC∽△BEA,
∴AE:
BE=CE:
AE,
∴AE2=CE•BE,
∴(5k)2=k•(10+5k),
∵k>0,
∴k=2,
∴CD=k=5.
例题三2014烟台
例题四
(2014•沈阳)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD.
(1)求证:
AD=CD;
(2)若AB=10,cos∠ABC=,求tan∠DBC的值.
考点:
圆周角定理;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;解直角三角形..
分析:
(1)由AB为直径,OD∥BC,易得OD⊥AC,然后由垂径定理证得,=,继而证得结论;
(2)由AB=10,cos∠ABC=,可求得OE的长,继而求得DE,AE的长,则可求得tan∠DAE,然后由圆周角定理,证得∠DBC=∠DAE,则可求得答案.
解答:
(1)证明:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OD∥BC,
∴∠AEO=∠ACB=90°,
∴OD⊥AC,
∴=,
∴AD=CD;
(2)解:
∵AB=10,
∴OA=OD=AB=5,
∵OD∥BC,
∴∠AOE=∠ABC,
在Rt△AEO中,OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3,
∴DE=OD=OE=5﹣3=2,
∴AE===4,
在Rt△AED中,tan∠DAE===,
∵∠DBC=∠DAE,
∴tan∠DBC=.
点评:
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
综合练习
1、如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,
PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.
(1)求证:
∠EPD=∠EDO.
(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的长.[中国教育出&版*^#@网]
2、如图,AB是⊙0的直径,C是⊙0上的一点,直线MN经过
点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠DAC.
(1)猜想直线MN与⊙0的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,cos=∠ACD=,求⊙0的半径.
3、已知:
如图,是的直径,是上一点,于点,过点作的切线,交的延长线于点,连结.
(1)求证:
与相切;
(2)连结并延长交于点,若,求的长.
4、如图,已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AB⊥CD,⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
(1)求证:
CD∥BF;
(2)若⊙O的半径为5,cos∠BCD=,求线段AD的长.
图11
A
C
B
D
E
F
O
P
5、如图11,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙O于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
(1)求证:
直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
6、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.
(1)求证:
KE=GE;
(2)若=KD·GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
7、如图11,AB是⊙O的弦,D是半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于F,且CE=CB。
(1)求证:
BC⊙O是的切线;
(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径。
8、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点O作
OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面积为5,求sin∠BOE的值.
参考答案:
1
【
1、
3、【解析】圆与直线的位置关系;相似和三角函数
【答案】
(1)证明:
连结OC
∵OD⊥BC
所以∠EOC=∠EOB
在△EOC和△EOB中
∴△EOC≌△EOB (SAS)
∴∠OBE=∠OCE=90°
∴BE与⊙O相切
(2)解:
过点D作DH⊥AB
∵△ODH∽△OBD
∴OD:
OB=OH:
OD=DH:
BD
又∵sin∠ABC=
∴OD=6
∴OH=4,OH=5,DH=2
又∵△ADH∽△AFB
∴AH:
AB=DH:
PB
13:
18=2:
FB
∴FB=
【点评】
(1)利用全等三角形求出角度为90°,即得到相切的结论。
(2)利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。
4分析】
(1)由BF是圆O的切线,AB是圆O的直径,根据切线的性质,可得到BF⊥AB,然后利用平行线的判定得出CD∥BF
(2)由AB是圆O的直径,得到∠ADB=90º,由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD,再根据三角函数cos∠BAD=cos∠BCD==
即可求出AD的长
【解析】
(1)证明:
∵BF是圆O的切线,AB是圆O的直径
∴BF⊥AB
∵CD⊥AB
∴CD∥BF
(2)解:
∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=90º
∵圆O的半径5
∴AB=10
∵∠BAD=∠BCD
∴ cos∠BAD=cos∠BCD==
∴=8
∴AD=8
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形,此题难度适中。
圆是一个特殊的几何体,它有很多独到的几何性质,知识点繁多而精粹。
圆也是综合题中的常客,不仅会联系三角形、四边形来考察,代数中的函数也是它的友好合作伙伴。
因此圆在中考中占有重要的地位,是必考点之一。
在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查,与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.
5【解析】
(1)要证PA是⊙O的切线,只要连接OB,再证∠PAO=∠PBO=90°即可.
(2)OD,OP分别是Rt△OAD,Rt△OPA的边,而这两个三角形相似且这两边不是对应边,所以可证得OA2=OD·OP,再将EF=2OA代入即可得出EF,OD,OP之间的等量关系.(3)利用tan∠F=,得出AD,OD之间的关系,据此设未知数后,根据AD=BD,OD=BC=3,AO=OC=OF=FD-OF,将AB,AC也表达成含未知数的代数式,再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解.
【答案】解:
(1)证明:
如下图,连接OB,
∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°.
∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB.
又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO.
∴∠PAO=∠PBO=90°.∴直线PA为⊙O的切线.
A
C
B
D
E
F
O
P
(2)EF2=4OD·OP.
证明:
∵∠PAO=∠PDA=90°,
∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°.
∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.∴=,即OA2=OD·OP.
又∵EF=2OA,∴EF2=4OD·OP.
(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3.
设AD=x,∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x-3.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x-3)2=x2+32.
解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去).
AD=4,OA=2x-3=5.
∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.
而AC=2O
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 锐角三角 函数 综合 训练
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)