全国181套中考数学试题分类汇编42解直角三角形和应用.doc
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42:
解直角三角形和应用
一、选择题
1.(浙江宁波3分)如图,某游乐场一山顶滑梯的高为,滑梯的坡角为,那么滑梯长为
(A)(B)(C)(D)
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),三角函数定义。
【分析】由已知转化为解直角三角形问题,角的正弦等于对边比斜边求出滑梯长:
∵,
∴。
故选A。
2.(广西北海3分)如图所示,渔船在A处看到灯塔C在北偏东60º方向上,
渔船向正东方向航行了12海里到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,
这时渔船与灯塔C的距离是
A.12海里B.6海里C.6海里D.4海里
【答案】D。
【考点】解直角三角形,特殊角的三角函数值。
【分析】由已知,可知∠ABC=90º,∠BAC=30º,AB=12,所以BC=,故选D。
3.(湖南衡阳3分)如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:
,堤高BC=5cm,则坡面AB的长是
A、10m B、10m C、15m D、5m
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数,含30度角直角三角形的性质。
【分析】河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:
,即,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×5=10。
故选A。
4.(山东滨州3分)在△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)
A、9.1 B、9.5 C、3.1 D、3.5
【答案】C。
【考点】解直角三角形。
【分析】在Rt△ABC中,根据三角函数的定义有cosA=,∴AC=AB•cosA=10·cos72°≈3.1。
故选C。
5.(山东东营3分)河堤横断面如图所示.堤高BC=5,迎水坡AB的坡比是(坡比是坡面的铅直高度BC与水乎宽度AC之比).则AC的长是
A,米8.10米C.15米D.米
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数定义。
【分析】由已知BC:
AC=,即tanA=;由正切函数的定义,tanA=,而BC=5米,从而AC==米。
故选A。
6.(山东潍坊3分)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是.
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线长
140m
100m
95m
90m
线与地面夹角
30°
45°
45°
60°
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),特殊角的三角函数,无理数的大小比较。
【分析】根据题意画出图形,分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可:
如图,
甲中,AC=140,∠C=30°,AB=140×sin30°=70=;乙中,DF=100,∠C=45°,DE=100×sin45°=50
=;丙中,GI=95,∠I=45°,GH=95×sin45°==;丁中,JL=90,∠C=60°,JK=90
×sin60°=45=。
∵<<<,∴GH<AB<DE<JK。
可见丁同学所放的风筝最高。
故选D。
7.(湖北荆门3分)在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是
A.B.C.D.
【答案】D。
【考点】解直角三角形,锐角三角函数定义,勾股定理。
【分析】作CD⊥BD,交BA的延长线于D,
∵∠A=120°,AB=4,AC=2,∴∠DAC=60°,∠ACD=30°。
∴2AD=AC=2。
∴AD=1,CD=。
∴BD=5,∴BC=2。
∴sinB=。
故选D。
8.(内蒙古乌兰察布4分)某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8和10,大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是▲m.(不考虑其它因素)
【答案】。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。
【分析】过点A作AD⊥BC,垂足为点D。
由锐角三角函数定义,得
BC=BD-CD=。
b
a
B
A
9.(四川绵阳3分)周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角a为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角b为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,则可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据:
≈1.414,≈1.732)
A.36.21米B.37.71米C.40.98米D.42.48米
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)
【分析】:
已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°,A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,所以设塔高为米,则得:
解得:
≈42.48。
故选D。
10.(青海西宁3分)某水坝的坡度i=1:
,坡长AB=20米,则坝的高度为
A.10米 B.20米 C.40米 D.20米
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),勾股定理。
【分析】如图:
∵坡度i=1:
3,∴设AC=x,BC=3x,
根据勾股定理得,AC2+BC2=AB2,则x2+(3x)2=202,解得x=10。
故选A。
11.(贵州毕节3分)如图,将一个Rt△ABC形状
的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩
底下,使木桩向上运动,已知楔子斜面的倾斜角为
200,若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示),则
木桩上升了
A、B、C、D、
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)。
【分析】根据已知,运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为:
8tan20°。
故选A。
二、填空题
1.(天津3分)如图,AD,AC分别是⊙O的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC于点B.若OB=5,则BC的长等于▲。
【答案】5。
【考点】解直角三角形,直径所对圆周角的性质。
【分析】∵在Rt△ABO中,,
∴AD=2AO=。
连接CD,则∠ACD=90°。
∵在Rt△ADC中,,
∴BC=AC-AB=15-10=5。
2.(重庆潼南4分)如图,某小岛受到了污染,污染范围可以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD(点D为切点)上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=30°,∠ACD=60°,则直径AD= ▲ 米.(结果精确到1米)
(参考数据:
)
【答案】260。
【考点】解直角三角形的应用,特殊角的三角函数值,锐角三角函数定义,解分式方程。
【分析】设CD=,则由∠ADC=90°,∠ACD=60°可得AC=2,AD=,
由BC=300,得BD=300+,
在Rt△ABD中,tinB=,∴,解并检验得:
=150。
∴AD==(米)。
故答案为:
260米.
3.(浙江义乌4分)右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线,∠ABC=135°,BC的长约是m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是▲m.
【答案】5。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)。
【分析】过点C作AB的延长线的垂线CE,即乘电梯从点B到点C上升的高度h,
∵已知∠ABC=135°,∴∠CBE=180°-∠ABC=45°。
∴CE=BC•sin∠CBE=·sin45°=。
∴h=5。
4.(湖南岳阳3分)如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°.根据图形计算tan15°= ▲ .
【答案】。
【考点】解直角三角形,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】由已知设AB=AC=2,
∵∠A=30°,CD⊥AB,∴CD=AC=,则AD2=AC2﹣CD2=
(2)2﹣2=32。
∴AD=。
∴BD=AB﹣AD=2﹣=(2﹣),
∴tan15°=。
5.(湖南株洲3分)如图,孔明同学背着一桶水,从山脚A出
发,沿与地面成角的山坡向上走,送水到山上因今年春季
受旱缺水的王奶奶家(B处),AB=80米,则孔明从A到B上
升的高度BC是▲米.
【答案】40。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),含30°的角的直角三角形的性质。
【分析】根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题,利用“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”即可求得BC=80×12=40米。
6.(江苏南通3分)如图,为了测量河宽AB(假设河的两岸平行),
测得∠ACB=30°,∠ADB=60°,CD=60m,则河宽AB为▲
m(结果保留根号).
【答案】A。
【考点】解直角三角形,特殊角三角函数,二次根式计算。
【分析】在Rt∆ABD和Rt∆ABC中
7.(广东茂名3分)如图,在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC= ▲ 米.
【答案】100。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,
∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米。
8.(湖北襄阳3分)在207国道襄阳段改造工程中,需沿AC方向开山修路(如图所示),为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=1000m,∠D=50°.为了使开挖点E在直线AC上,那么DE=▲m.
(供选用的三角函数值:
sin50°=0.7660,cos50°=0.6428,tan50°=1.192)
【答案】642.8。
【考点】解直角三角形的应用,平角定义,三角形内角和定理,锐角三角函数定义。
【分析】先判断出△BED的形状,再根据锐角三角函数的定义解答即可:
∵∠ABD=140°,∴∠DBE=180°﹣140°=40°。
∵∠D=50°,∴∠E=180°﹣∠DBE﹣∠D=180°﹣40°﹣50°=90°。
∴DE=BD·cos∠D=1000×cos50°=1000×0.6428=642.8(m)。
9.(湖北黄冈、鄂州3分)如图,在△ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF﹣S△BEF= ▲ .
【答案】2。
【考点】三角形的面积。
【分析】∵点D是AC的中点,S△ABC=12,∴S△ABD=×12=6。
∵EC=2BE,S△ABC=12,∴S△ABE=×12=4。
∴S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2。
10.(甘肃兰州4分)某水库大坝的横截面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1:
,坝外斜坡的坡度i=1:
1,则两个坡角的和为▲.
【答案】75°。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),坡度
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