全国初中数学竞赛试题含答案.doc
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“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)
1.已知实数x,y满足:
-=3,y4+y2=3,则+y4的值为 ( )
(A)7 (B) (C) (D)5
2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定的不同直线最少有 ( )
(A)6条 (B)8条 (C)10条 (D)12
4.已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=a<1.以AB为一边在圆O内作正△ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DB=AB=a,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为 ( )
(A)a (B)1 (C) (D)a
5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有 ( )
(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:
u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是_______.
7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_____分钟.
8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为______.
9.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,则DE的长为______.
10.关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解为________.
三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)
11.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.
(1)用b表示k;
(2)求△OAB面积的最小值.
12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=0有有理数根?
13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC?
证明你的结论.
14.从1,2,…,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值.
简答:
一.选择题ACBBD;
二.填空题6.a>0或a<-1;7.4;8.9;9.;10.x=48,x=160,
y=32;y=32.
三.解答题:
11.
(1)k=,b>2;
(2)当b=2+,k=-1时,△OAB面积的最小值为7+2;12.存在满足题设条件的质数p,q.当p=2,q=5时,方程2x2-5x+2=0的两根为x1=,x2=2.它们都是有理数;13.存在满足条件的三角形.△ABC的边a=6,b=4,c=5,且∠A=2∠B,证明略.14.n的最小值是5,证明略.
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.已知非零实数a,b满足,则等于().
(A)-1(B)0(C)1(D)2
【答】C.
解:
由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是,从而=1.
2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于().
(第2题)
(A)(B)(C)1(D)2
【答】A.
解:
因为△BOC∽△ABC,所以,即
,
所以,.
由,解得.
3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于x,y的方程组只有正数解的概率为().
(A)(B)(C)(D)
【答】D.
解:
当时,方程组无解.
当时,方程组的解为
由已知,得即或
由,的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得
共有5×2=10种情况;或共3种情况.
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为.
4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,.动点P从点
B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为().
(A)10(B)16(C)18(D)32
(第4题)
图2
图1
【答】B.
解:
根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故
S△ABC=×8×4=16.
5.关于x,y的方程的整数解(x,y)的组数为().
(A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组
【答】C.
解:
可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为
.
由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数.
由≥,
解得≤.于是
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然,只有时,是完全平方数,符合要求.
当时,原方程为,此时;
当y=-4时,原方程为,此时.
所以,原方程的整数解为
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km.
【答】3750.
解:
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km
磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加,得,
则.
7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则的值为.
解:
如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF.
由题设知,,在△FHA和△EFA中,
,
所以Rt△FHA∽Rt△EFA,
.
(第7题)
而,所以.
8.已知是满足条件的五个不同的整数,若是关于x的方程的整数根,则的值为.
【答】10.
解:
因为,且是五个不同的整数,所有也是五个不同的整数.
又因为,所以
.
由,可得.
9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.
【答】.
解:
如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25.
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且.
作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF∥AC,所以
,
(第9题)
即,
解得.所以.
(第10题)
10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:
每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是.
【答】.
解:
设报3的人心里想的数是,则报5的人心里想的数应是.
于是报7的人心里想的数是,报9的人心里想的数是,报1的人心里想的数是,报3的人心里想的数是.所以
,
解得.
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.已知抛物线与动直线有公共点,,
且.
(1)求实数t的取值范围;
(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.
解:
(1)联立与,消去y得二次方程
①
有实数根,,则.所以
==.②
………………5分
把②式代入方程①得
.③
………………10分
t的取值应满足
≥0,④
且使方程③有实数根,即
=≥0,⑤
解不等式④得≤-3或≥1,解不等式⑤得≤≤.
所以,t的取值范围为
≤≤.⑥
………………15分
(2)由②式知.
由于在≤≤时是递增的,所以,当
时,.………………20分
12.已知正整数满足,且,求满足条件的所有可能的正整数的和.
解:
由可得.,且
.
………………5分
因为是奇数,所以等价于,又因为,所以等价于.因此有,于是可得.
………………15分
又,所以.因此,满足条件的所有可能的正整数的和为
11+192(1+2+…+10)=10571.………………20分
13.如图,给定锐角三角形AB
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