八年级下册----二次根式压轴题解析.doc
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八年级下册----二次根式压轴题解析.doc
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二次根式压轴题(八下学完才能用)
一.选择题(共1小题)
1.(2003•杭州)对于以下四个命题:
①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边的长是5;②()2=a;③若点P(a,b)在第三象限,则点Q(﹣a,﹣b)在第一象限;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等,正确的说法是( )
A.
只有①错误,其他正确
B.
①②错误,③④正确
C.
①④错误,②③正确
D.
只有④错误,其他正确
二.填空题(共11小题)
2.(2012•山西模拟)若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2,则2*()的值是 .
3.(2010•鄂州)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,E是CB的中点,AE=EC,∠BAC=3∠DBC,BD=6+6,则AB= .
4.(2010•拱墅区一模)已知a,b是正整数,且满足也是整数:
(1)写出一对符合条件的数对是 ;
(2)所有满足条件的有序数对(a,b)共有 对.
5.(2010•澄海区校级模拟)化简= .
6.(2009•兴化市模拟)若实数a满足|a﹣8|+=a,则a= .
7.(2009•琼海模拟)化简二次根式的正确结果是 .
8.(2008•贵港)观察下列等式:
,,,…请你从上述等式中找出规律,并利用这一规律计算:
= .
9.(2004•宁波)已知:
a<0,化简= .
10.(1998•杭州)已知,则= .
11.(1998•内江)已知ab=2,则的值是 .
12.(1997•内江)已知1<x<2,,则的值是 .
三.解答题(共4小题)
13.(2012•巴中)先化简,再求值:
(﹣)•,其中x=.
14.(2009•邵阳)阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如,,一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
==;
(一)
=
(二)
==(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
=(四)
(1)请用不同的方法化简.
①参照(三)式得=( );
②参照(四)式得=( )
(2)化简:
.
15.(2008•凉山州)阅读材料,解答下列问题.
例:
当a>0时,如a=6则|a|=|6|=6,故此时a的绝对值是它本身;
当a=0时,|a|=0,故此时a的绝对值是零;
当a<0时,如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣(﹣6),故此时a的绝对值是它的相反数.
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况,即,
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
问:
(1)请仿照例中的分类讨论的方法,分析二次根式的各种展开的情况;
(2)猜想与|a|的大小关系.
16.(2005•台州)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为:
…①(其中a、b、c为三角形的三边长,s为面积).
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式:
s=…②(其中p=.)
(1)若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②,计算该三角形的面积s;
(2)你能否由公式①推导出公式②?
请试试.
二次根式压轴题(八下学完才能用)
参考答案与试题解析
一.选择题(共1小题)
1.(2003•杭州)对于以下四个命题:
①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边的长是5;②()2=a;③若点P(a,b)在第三象限,则点Q(﹣a,﹣b)在第一象限;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等,正确的说法是( )
A.
只有①错误,其他正确
B.
①②错误,③④正确
C.
①④错误,②③正确
D.
只有④错误,其他正确
考点:
二次根式的性质与化简;点的坐标;全等三角形的判定;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
①应明确边长为4的边是直角边还是斜边;
②隐含条件a≥0,根据二次根式的定义解答;
③根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号,再判断出﹣a、﹣b的符号即可;
④用“倍长中线法”可证明两个三角形全等.
解答:
解:
①错误,应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4,则第三边的长是5;
②正确,隐含条件a≥0,根据二次根式的意义,等式成立;
③正确,若点P(a,b)在第三象限,则a<0,b<0;则﹣a>0,﹣b>0,点Q(﹣a,﹣b)在第一象限;
④正确,作辅助线,倍长中线,可证明两个三角形全等.
故选:
A.
点评:
本题考查了对勾股定理的理解,二次根式的化简,点的对称性质,全等三角形的判定方法.
二.填空题(共11小题)
2.(2012•山西模拟)若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2,则2*()的值是 4﹣5 .
考点:
二次根式的混合运算.菁优网版权所有
专题:
压轴题;新定义.
分析:
先理解“*”的意义,然后将2*()表示出来计算即可.
解答:
解:
由题意得:
2*()=2×(﹣1)﹣=4﹣5.
故答案为:
4﹣5.
点评:
本题考查二次根式的混合运算,难度不大,注意理解“*”的意义.
3.(2010•鄂州)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,E是CB的中点,AE=EC,∠BAC=3∠DBC,BD=6+6,则AB= 12 .
考点:
二次根式的应用;等腰三角形的性质;垂径定理;解直角三角形.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
作辅助圆A,由已知证明△ABC为等腰直角三角形,△ACD为等边三角形,作CF⊥BD,将△BCD分为两个直角三角形,解直角三角形,列方程求解.
解答:
解:
法一:
以点A为圆心,AB为半径画圆,作CF⊥BD,垂足为F,
∵AB=AC=AD,∴C、D两点都在⊙A上,
∵E是CB的中点,AE=EC,由垂径定理得,
AE=EC=BE,AE⊥BC,
∴∠BAC=90°,
∠BDC=∠BAC=45°,
又∵∠BAC=3∠DBC,
∴∠DBC=30°,
∠CAD=2∠DBC=60°,
△ACD为等边三角形,
设AB=AC=CD=x,
在Rt△ABC中,BC=x,
在Rt△BCF中,∠FBC=30°,BF=BC=x,
同理,DF=x,
由DF+BF=BD,得x+x=6+6
解得x=12,即AB=12.
法二:
作CF⊥BD,垂足为F,
∵AB=AC,E是CB的中点,AE=EC
∴AE=BE=EC,AE⊥BC,
∴∠BAE=∠ABE=45°,∠ACE=∠EAC=45°,
∴∠BAC=90°,
又∵∠BAC=3∠DBC,
∴∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ADB=15°,
∴∠BAD=150°,
∴∠CAD=60°,
△ACD为等边三角形,
设AB=AC=CD=x,
在Rt△ABC中,BC=x,
在Rt△BCF中,∠FBC=30°,BF=BC=x,
同理,DF=x,
由DF+BF=BD,得x+x=6+6
解得x=12,即AB=12.
点评:
本题主要考查了等腰三角形的性质,直角三角形的判定及圆的相关知识,解直角三角形,列方程求解.
4.(2010•拱墅区一模)已知a,b是正整数,且满足也是整数:
(1)写出一对符合条件的数对是 (15,15)、(60、60)、(15,60)、(60,15)、(240,240)、(135,540)、(540,135) ;
(2)所有满足条件的有序数对(a,b)共有 7 对.
考点:
二次根式的性质与化简.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
把2放在根号下,得出+,是整数,a、b的值进行讨论,使和为整数或和为整数,从而得出答案.
解答:
解:
(1)∵=+,
∴当a、b的值为15,60,135,240,540时,
当a=15,b=15时,即=4;
当a=60,b=60时,即=2;
当a=15,b=60时,即=3;
当a=60,b=15时,即=3;
当a=240,b=240时,即=1;
当a=135,b=540时,即=1;
当a=540,b=135时,即=1;
故答案为:
(15,15)、(60、60)、(15,60)、(60,15)、(240,240)、(135,540)、(540,135);
(2)所有满足条件的有序数对(a,b)共有7对,
故答案为7.
点评:
本题考查了二次根式的性质和化简,解决此题的关键是分类讨论思想,得出a、b可能的取值.
5.(2010•澄海区校级模拟)化简= 2 .
考点:
二次根式的性质与化简.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
先将1﹣4x+4x2化成(1﹣2x)2,再根据()2有意义,即可求得x的取值范围,从而化简得出结果.
解答:
解:
∵()2有意义,
∴2x﹣3≥0,
∴x≥1.5,
∴2x﹣1≥3﹣1=2,
∴
=﹣2x+3
=2x﹣1﹣2x+3
=2,
故答案为2.
点评:
本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值,是基础知识要熟练掌握.
6.(2009•兴化市模拟)若实数a满足|a﹣8|+=a,则a= 74 .
考点:
二次根式有意义的条件.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
由可得a≥10,再对式子进行化简,从而求出a的值.
解答:
解:
根据题意得:
a﹣10≥0,解得a≥10,
∴原等式可化为:
a﹣8+=a,
即=8,
∴a﹣10=64,解得:
a=74.
点评:
二次根式中被开方数为非负数,是解此题的突破口.
7.(2009•琼海模拟)化简二次根式的正确结果是 .
考点:
二次根式的性质与化简.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
根据二次根式的性质及定义解答.
解答:
解:
由二次根式的性质得﹣a3b≥0
∵a<b
∴a<0,b>0
∴原式==﹣a.
点评:
解答此题,要弄清以下问题:
1、定义:
一般地,形如(a≥0)的代数式叫做二次根式.2、性质:
=|a|.
8.(2008•贵港)观察下列等式:
,,,…请你从上述等式中找出规律,并利用这一规律计算:
= 2006 .
考点:
分母有理化.菁优网版权所有
专题:
压轴题;规律型.
分析:
所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为:
+…+=,然后利用平方差公式计算.
解答:
解:
∵,,,…
∴原式=(+…+)()
=()()
=2008﹣2
=2006.
故本题答案为:
2006.
点评:
解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点,找出其中的抵消规律.
9.(2004•宁波)已知:
a<0,化简= ﹣2 .
考点:
二次根式的性质与化简.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
根据二次根式的性质化简.
解答:
解:
∵原式=﹣=﹣
又∵二次根式内的数为非负数
∴a﹣=0
∴a=1或﹣1
∵a<0
∴a=﹣1
∴原式=0﹣2=﹣2.
点评:
解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值.
10.(1998•杭州)已知,则= 13 .
考点:
二次根式的加减法.菁优网版权所有
专题:
压轴题;换元法.
分析:
用换元法代替两个带根号的式子,得出m、n的关系式,解方程组求m、n的值即可.
解答:
解:
设m=,n=,
那么m﹣n=2①,m2+n2=+=34②.
由①得,m=2+n③,
将③代入
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- 年级 下册 二次 根式 压轴 题解