初一升初二暑假数学教材.doc
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起飞教育初二数学(培优)
第1讲平方根
月日姓名:
【学习目标】
1、了解算术平方根与平方根的概念,并且会用根号表示;
2、会进行有关平方根和算术平方根的运算;
3、理解算术平方根与平方根的区别和联系,培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】
1、算术平方根:
如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数就叫做的算
术平方根,记作“”,读作“根号”。
注意:
(1)规定0的算术平方根为0,即;
(2)负数没有算术平方根,也就是有意义时,一定表示一个非负数;
(3)()。
2、平方根:
如果一个数的平方等于,即,那么这个数就叫做的平方根
(也叫二次方根)。
注意:
(1)一个正数必须有两个平方根,一个是的算术平方根“”,另外一个是“-”,读作“负根号”,它们互为相反数;
(2)0只有一个平方根,是它本身;
(3)负数没有平方根。
3、开平方:
求一个数的平方根的运算。
其中叫做被开方数。
观察二者的特征,注意他们的区别与联系。
【典型例题】
例1、求下列各数的算术平方根与平方根
(1)
(2)100(3)1
(4)0(5)(6)7
例2、计算
(1)
(2)(3)-
例3、计算
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
例4、当有意义时,a的取值范围是多少?
【经典练习】
1、求下列各数的算术平方根和平方根
(1)16
(2)(3)12
(4)0.01(5)
2、计算
(1)
(2)
(3)(4)
3、判断
(1)-52的平方根为-5()
(2)正数的平方根有两个,它们是互为相反数()
(3)0和负数没有平方根()
(4)4是2的算术平方根()
(5)的平方根是±3()
(6)因为的平方根是±,所以=±()
4、有意义,则的范围___________
5、如果a(a>0)的平方根是±m,那么()
A.a2=±m B.a=±m2 C.=±m D.±=±m
【课后作业】
1、下列各数中没有平方根的数是()
A.-(-2)3 B.3-3 C.a0 D.-(a2+1)
2、等于()
A.a B.-a C.±a D.以上答案都不对
3、若正方形的边长是a,面积为S,那么()
A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根
C.a=± D.S=
4、当___________时,是二次根式.
5、要使有意义,则的范围为___________
6、计算
(1)-
(2)
记一记
第6讲立方根
月日姓名:
【学习目标】
1.掌握立方根的概念,并会用根号表示一个数的立方根。
2.能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根,并理解两者之间的互逆关系,同时掌握立方根与平方根的区别。
3.熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。
4.会用立方根解决简单的实际应用问题,提高学生的应用能力。
【知识要点】
1、立方根的概念:
如果一个数x的立方等于a,即=a,那么这个数x就叫做a的立方根(或叫做三次方根)。
2、立方与立方根的关系:
若有x3=a成立,则a是x的立方,x就是a的立方根。
注:
任何数均有立方根,立方根是唯一的;任何数不一定有平方根,平方根是不唯一的。
3、开立方的概念:
求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数。
注:
,
4、正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数
注:
正数的立方根大于负数的立方根,0是介于两者之间。
【典型例题】
例1、
(1)由于的-27,则是的立方根。
(2)若=成立,则是的立方;是的立方根。
例2、
(1)2的立方等于多少?
是否有其他的数,他的立方等于8?
(2)-3的立方等于多少?
是否有其他的数,它的立方也是-27?
例3、求下列各数的立方根
(1)512
(2)(3)0(4)
例4、比较三个数的大小:
0,
例5、若=0,则的立方根是多少?
★例6、已知x=是m+n+3的算术平方根,y=是m+2n的立方根,求y-x的立方根.
【经典练习】姓名:
成绩:
一、填空题:
1、若=0.125,则是的立方根.
2、64的立方根是________.
3、的立方根是________
二、判断并加以说明.
1、的立方根是;( )
2、没有立方根;( )
3、的立方根是;( )
4、是的立方根;( )
5、负数没有平方根和立方根;( )
6、a的三次方根是负数,a必是负数;( )
7、立方根等于它本身的数只能是0或1;( )
8、如果x的立方根是,那么;( )
9.的立方根是;( )
10、的立方根是没有意义;( )
11、的立方根是;( )
三、选择题:
1、8的立方根是()
A、2B、-2C、4D、+2
2、的立方根是().
A、16B、C、4D、8
3、计算的结果是().
A.3B.7C.-3D.-7
4.下列叙述正确的是().
A.是7的一个立方根B.的立方是11
C.如果x有算术平方根,则x>0D.如果x有平方根,它一定有立方根
四、计算题
1、已知=0,求的立方根。
★2、若3x+1的平方根是+4,求9x+19的立方根.
【课后作业】姓名成绩家长签名
一、判断题:
1、的立方根是+()
2、负数没有立方根()
3、-是-7的立方根()
4、若,则x=y()
5、若,则()
二.选择题
1、若m<0,则m的立方根是()
A、B、-C、+D、
2、如果是6-x的立方根,那么()
A、x<6B、x=6C、D、x是任意实数
三、填空题
1、若x<0,=,=
2、比较大小:
3、的算术平方根与的立方根的乘积是
4、若,则=
四、求下列各数的立方根.
(1)
(2)(3)(4)
五、能力拓展题。
已知,,(为整数,为正的纯小数),求的平方根。
第7讲平方根和立方根的应用
月日姓名:
【学习目标】
1、进一步了解理解平方根,算术平方根,立方根和开立方的概念;
2、会用根号表示一个数的平方根,算术平方根,立方根,掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算;熟练掌握一些基本数的平方和立方,以便解决开平方和开立方的运算。
3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用,让学生知道数学来源于实际生活,增强学生数学的学习兴趣。
【知识要点】
1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系:
(1) 区别:
A、根指数不同:
平方根的根指数为2,且可以省略不写;立方根的根指数为3,且不能省略不写。
B、被开方的取值范围不同:
平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以是任何数。
C、 结果不同:
平方根的结果除0之外,有两个互为相反的结果;算术平方根只有一个,且是正数;立方根的结果只有一。
(2) 联系:
二者都是与乘方运算互为逆运算。
特别注意:
2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。
3、比较两个无理数的大小:
(1)>>
(2)>>或>
4、含有二次根号式子取最小值时,当且仅当被开方数为0,且被开方数为非负数有意义。
5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。
【典型例题】
例1、下列说法,正确的有()
(1) 只有非负数才有平方根和立方根;
(2)如果a有立方根,那么a一定是正数;(3)如果a没有平方根,那么a一定是负数;(4)立方根等于它本身的数是0;
(5)一个正数的平方根一定大于它的立方根。
A.1个 B2个 C3个 D4
例2、a.由于,则是的立方;是的立方根。
b.若>0,则;
例3、的相反数是;的绝对值是
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